（福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章第7課時(shí) 雙曲線課時(shí)闖關(guān)（含解析）

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1、 （福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章第7課時(shí) 雙曲線課時(shí)闖關(guān)（含解析） 一、選擇題 1．(2011·高考陜西卷)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是(　　) A．y2＝－8x　　　　　　　　 B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 解析：選B.設(shè)拋物線方程為y2＝ax，則準(zhǔn)線方程為x＝－于是－＝－2?a＝8. 2．拋物線y＝4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(0,1) B．(1,0) C．(0，) D．(0，) 解析：選C.由x2＝y(tǒng)，∴p＝.所以，焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 3．(2012·泉州質(zhì)檢)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)

2、的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|PQ|＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：選B.直線過(guò)焦點(diǎn)，|PQ|＝|PF|＋|QF|，將|PF|、|QF|轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離之和，故|PQ|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝8. 4．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點(diǎn)，并且滿足OA⊥OB，則y1y2等于(　　) A．－4p2 B．－3p2 C．－2p2 D．－p2 解析：選A.∵OA⊥OB，∴O·O＝0. ∴x1x2＋y1y2＝0.① ∵A、B都在拋物線上， ∴∴ 代入①得

3、·＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2. 5．(2010·高考山東卷)已知拋物線y2＝2px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 解析：選B.∵y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)， ∴過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y(tǒng)＋，將其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1. 二、填空題 6．(2

4、010·高考重慶卷)已知過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn)，|AF|＝2，則|BF|＝________. 解析：設(shè)A(x0，y0)，由拋物線定義知x0＋1＝2，∴x0＝1，則直線AB⊥x軸，∴|BF|＝|AF|＝2. 答案：2 7．已知拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距離水面2米時(shí)，測(cè)量水面寬為8米，當(dāng)水面上升米后，水面的寬度是________米． 解析：設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，將(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8， 故方程為x2＝－8y，水面上升米，則y＝－，代入方程，得x2＝－8·(－)＝12，x＝±2. 故水面寬4米． 答案

5、：4 8．過(guò)點(diǎn)M(1,0) 作直線與拋物線y2＝4x交于A、B兩點(diǎn)，則＋＝________. 解析：設(shè)直線方程為y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝1， ∴＋＝＋ ＝＝1. 答案：1 三、解答題 9．拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，并與雙曲線實(shí)軸垂直，已知拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為(，)，求拋物線與雙曲線方程． 解：由題設(shè)知，拋物線以雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，∴p＝2c，設(shè)拋物線方程為y2＝4c·x. ∵拋物線

6、過(guò)點(diǎn)(，)，∴6＝4c·. ∴c＝1，故拋物線方程為y2＝4x. 又雙曲線－＝1過(guò)點(diǎn)(，)， ∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1， ∴－＝1. ∴a2＝或a2＝9(舍)． ∴b2＝，故雙曲線方程為：4x2－＝1. 10．(2012·蘇州高三調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離與定直線l：x＝－1的距離相等． (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程； (2)過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線m交軌跡E于點(diǎn)A，B，求△AOB的面積． 解：(1)設(shè)P(x，y)，由拋物線定義知，點(diǎn)P的軌跡E為拋物線，方程為y2＝4x. (2)l：y＝x－1，代入y2＝4x，消去x得y2－

7、4y－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|y2－y1|＝4， 所以S△AOB＝×|OF|×|y2－y1|＝×1×4＝2. 一、選擇題 1．(2011·高考大綱全國(guó)卷)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線y＝2x－4與C交于A，B兩點(diǎn)．則cos∠AFB＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選D.∵y2＝4x得F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1， 由得A(1，－2)，B(4,4)． 則|AB|＝＝3， 由拋物線的定義得|AF|＝5，|BF|＝2. 由余弦定理得cos∠AFB＝＝－故選D. 2.如圖，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A、B、C

8、為該拋物線上三點(diǎn)，若＋＋＝0，則||＋||＋||等于(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 解析：選A.由F(1,0)且＋＋＝0知F為△ABC的重心，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則x1＋x2＋x3＝3. 又||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝3＋3＝6. 二、填空題 3．已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1,0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為(2,2)，則直線l的方程為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)閽佄锞€頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F(1,0)， 故拋物線方程為y2＝4x，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2

9、)， 則y＝4x1，y＝4x2. ∴(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)， ∴kAB＝＝1， ∴直線AB的方程為y－2＝x－2，即y＝x. 答案：y＝x 4．對(duì)于拋物線y2＝2x上任意一點(diǎn)Q，點(diǎn)P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|，則a的取值范圍是________． 解析：設(shè)拋物線y2＝2x上任意一點(diǎn)Q，點(diǎn)P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|，若a≤0，顯然適合；若a>0，點(diǎn)P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|，即a2≤2＋y2，即a≤＋1，此時(shí)00)交于A，B

10、兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，OD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1)，求拋物線的方程． 解：由題意得kOD＝， ∵AB⊥OD，∴kAB＝－2，又直線AB過(guò)點(diǎn)D(2,1)， ∴直線AB的方程為y＝－2x＋5， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O，∴O·O＝0， 即x1x2＋y1y2＝0， 由得4x2－(2p＋20)x＋25＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5) ＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25＝25－5p－50＋25＝－5p， ∴＋(－5p)＝0，∴p＝， ∴拋物線方程為y2＝x.

11、 6．(2012·廈門質(zhì)檢)已知點(diǎn)F(1,0)和直線l1：x＝－1，直線l2過(guò)直線l1上的動(dòng)點(diǎn)M且與直線l1垂直，線段MF的垂直平分線l與直線l1相交于點(diǎn)P. (1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)設(shè)直線PF與軌跡C 相交于另一點(diǎn)Q，與直線l1相交于點(diǎn)N，求·的最小值． 解：(1)連接PF(圖略)，因?yàn)镸F的垂直平分線l交l2于點(diǎn)P， 所以|PF|＝|PM|. 即點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離等于點(diǎn)P到直線l1：x＝－1的距離． 由拋物線的定義，點(diǎn)P的軌跡為拋物線y2＝4x. (2)法一：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 直線PF：y＝k(x－1)． 代入y2＝4x得： k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，有k≠0且Δ＞0. 并且， 而N(－1，－2k)，＝(x1＋1，k(x1＋1))． ＝(x2＋1，k(x2＋1))， ·＝(k2＋1)[x1x2＋(x1＋x2)]＝4 ≥4·＝16. 當(dāng)且僅當(dāng)k＝±1時(shí)取等號(hào)． 綜上，·的最小值為16.