2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 數(shù)列不等式 理

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1、數(shù)列不等式三個考察點：①通項公式②求和③證不等式 一、 通項公式 學(xué)校的訓(xùn)練較多這里不詳細介紹。 要熟練掌握： 1、 待定系數(shù)法、不動點法、特征根法（連續(xù)兩年中有考差） 2、 熟悉變形。包括：兩邊同時除以如、平方、變倒數(shù)、因式分解、取對數(shù)、換元 若不熟悉可以找講義，或者高妙上有介紹 3、累加累乘法 但是高考一般不會直白地給出關(guān)系，或者給出常見的通項公式。 高考題大多這樣出題： 1、 與函數(shù)、解析幾何結(jié)合 這個范圍太泛了不好歸納，難度一般不會太大，見招拆招即可 2、 給出不常規(guī)的通項公式，但有提示 比如：=1，8-16+2+5=0（0），=,求｛｝通項公式

2、 現(xiàn)在不可能把通項公式求出再求，那么顯然需先求出，故變形為=，代入遞推關(guān)系即可得，再乘以即可。 還有一種情況便是先讓考生得出、、后猜想用數(shù)學(xué)歸納證明，有時不會提示考生要猜想，但別的常規(guī)方法得不出通項公式時要果斷大膽猜想 總之，這種題一定要順著提示做 通項公式中一定要重視的是累加累乘法 看上去似乎很簡單： 但是這卻是解決不等式證明最原始也是最重要的方法。原因很簡單：高考考的是靈活，除了通項公式的變形，不動點法等方法靈活度不大，所以大多所謂的很難想的題目大多歸根到底是遞推。比如： 1、 奇偶項不同的數(shù)列。奇項間或者偶項間的遞推（后會介紹） 2、 數(shù)歸。證明的核心便是 3

3、、 通過通過與間的關(guān)系得出或或，這是解決（為常數(shù)）。這種對的運用是解決大多數(shù)絕對值不等式的核心。對也能靈活運用 具體后面會介紹。 二、 求和 要求等差、等比數(shù)列求和公式、掌握裂項、錯位相減 一模的裂項需要引起重視，湖南2010文科題考查到這一點： 三、 不等式證明 大多數(shù)考生認為不等式無從下手，其實熟悉每種證明方法的使用情況、學(xué)會用逆向思維，絕大多數(shù)不等式可以迎刃而解 基本方法有： 1、 二項式定理 2、 構(gòu)造函數(shù) 3、 數(shù)學(xué)歸納法（加強命題） 4、 不等式 5、 遞推 6、 上下聯(lián)系 7、 放縮 現(xiàn)具體介紹： 一、 二項式定理 雖

4、然以前習(xí)題有出現(xiàn)，但廣東高考應(yīng)該不會出現(xiàn)公式的考查 側(cè)重點是二項式定理：，運用如下： 1、 證明: 2、 證明: 若出現(xiàn)求（k為常數(shù)），萬不得已才可考慮用洛必達法則，因為取對數(shù)后求導(dǎo)比較難（可考慮用貝努力不等式證明單調(diào)性） 一般可以用放縮代勞 二、 構(gòu)造函數(shù) 1、經(jīng)常運用在上下聯(lián)系的題目中。這種情況下題目會提示如何構(gòu)造函數(shù)，難度不大 2、構(gòu)造函數(shù)在探究存在性問題中可以用于討論單調(diào)性從而得出結(jié)論 3、含指數(shù)、對數(shù)的不等式可以通過貝努力不等式變換與函數(shù)構(gòu)造結(jié)合使用。Eg：證明：時， 4、含的不等式可能用到函數(shù)構(gòu)造。Eg：證明：（） 三、數(shù)學(xué)歸納法 證明：能用

5、數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是： 、易于推得且或 證明時要充分利用已知條件，比如：除已知條件外假設(shè)成立時的不等式是可用的條件；更多時候直接證明：或 在數(shù)學(xué)歸納法證明：時經(jīng)常碰到這個問題：若則，這就有不動點的感覺了。有一種加強命題就是用這種方法確定出的上下確界的。 Eg：，，，證明：對于一切自然數(shù)n都有 令，則（不要糾結(jié)的話是多少），故加強命題為： 一方面，，另一方面 給出一題較為特殊的考查數(shù)學(xué)歸納法的題目：十年P(guān)160 22題，特殊值法與數(shù)歸的結(jié)合。后有另一種解法（充分利用已知條件） Ex：加強命題 如果有明確的通項公式，那么加強命題可以解決大部分

6、題目，很不幸的是這種提醒其實在高考中很少見。 因為放縮的最后一步大多為，所以大多情況可用直接加強命題解決問題。遇到問題首選應(yīng)是放縮后裂項或者轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列 如果通項公式中含有，則加強命題為，首先必須保證，通過分離變量得出a取值范圍后再去考慮數(shù)學(xué)歸納法第一步對a取值的要求，因為若要時加強命題就成立，對a的取值范圍要求比較高，不一定有合適的數(shù)值，因此可以從、…開始加強命題。但是加強命題需要較強的計算能力，建議在平時熟悉這種方法加快破題速度 下面給出三道習(xí)題（答案見后）： 1、 證明： 2、 證明： 3、 證明： 4、 試做四校聯(lián)考（華附省實深中廣雅）壓軸題（想辦法用加強命題去掉）

7、 最后強調(diào)下數(shù)學(xué)歸納法的格式： 和假設(shè)前要加序號①② 證明成功后要寫由①②可知不等式（ ）成立。 四、不等式 注意：數(shù)學(xué)歸納法解是證明不了重要不等式的，因此必須基本不等式解決的題不能用數(shù)歸代勞。 11年廣東數(shù)列題就是例子 不等式真正廣東大題會考查的就是基本不等式與各種變形（柯西不等式的考查在弱化，雖然一些高考題可以運用柯西不等式巧解但技巧性較高，較難想到）： （時取等） 它取自均值不等式，均值不等式是： 基本不等式的運用于收尾項的放縮，需要注意的是： 證明：時，若用基本不等式首尾并項則需要討論項數(shù)奇偶性，若直接運用均值不等式就快多了。 Ex:

8、 不等式首尾相加遇到奇偶性問題時可以考慮用倒敘相加 還有就是絕對值不等式了，后面會介紹 五、遞推 我們證明不等式時有個誤區(qū)，總覺得必須得到通項公式拉開架勢去證明心理才有底，其實有時即使能得到復(fù)雜的通項公式，對與證明不等式反而會加大難度。 而我們看到與是不等關(guān)系或者通項公式求不出時就會特別緊張，其實這種題方向極好把握 Eg：已知0，，，記：=，= 求證：當時，（1）（2）（3）3 第一問作商法、作差法、數(shù)學(xué)歸納法都可以得出，數(shù)歸最容易想到。 對于證明（2）（3）問，顯然前面介紹的四種方法在這里都失靈了。這就回到證明時應(yīng)首先考慮的問題：（1）放縮后裂項或者（2）轉(zhuǎn)化為等

9、比數(shù)列 第二問有兩種解法，都是運用了前一種思想。第一種方法較為靈活： 欲證，只需證：，而 由（1）知，故，所以得證 第二種解法較容易想到：=，因而從遞推關(guān)系得到，就得出，通過（1）的結(jié)論得證 第三問也有兩種方法，都運用了第二種思想： 若化為等比數(shù)列（），則，即為題中的3的3.所以確定與就是要確定的。而通過與的遞推關(guān)系得出：想辦法從通項公式中湊出或者：，這時就聯(lián)想，想到用重要不等式降次：，接下來通過與3之間的推敲接順利得出，著就知道需要保留第一項后化為等比數(shù)列： 第二種方法非常巧妙：，則只需證3即可。 雖然這兩小問都是同一題，但是以較高的難度體現(xiàn)出解決相鄰項數(shù)間

10、有不等關(guān)系的題的精髓：逆向思維。想辦法用遞推關(guān)系得出與，把這一點解決了一切都好辦了。第二問的方法二、第三問的方法一看似復(fù)雜，其實是循規(guī)蹈矩得出的。 大致思路為：①確認用哪種遞推；確定②通過已知條件逐漸迫近 如果把這兩小題都吃透了，那么就可以看回以前所謂的許多壓軸題了： 套卷17壓軸（只需小于1即可） 套卷14壓軸（運用已知條件中的得出） 試做：若，（），，證： （已知：對任意成立的充要條件是） 六、上下聯(lián)系 上面題目有提示時優(yōu)先考慮這個。高考題與奧賽題的區(qū)別就是高考題可以拾級而上。不等式證明如果不順著出題人的思維走往往容易繞彎子（這不是函數(shù)的特殊值法）。例子

11、：套卷12壓軸題 七、放縮 這個課堂上講的最多，補充幾個少見的不等式即可 1、 2、 3、 4、 5、 6、，證明：令 介紹兩種熱門題型： 一、絕對值不等式 可以和不等式證明、反證法、函數(shù)（拉格朗日中值定理）相結(jié)合 解題誤區(qū)就是老是看絕對值不順眼想將改為，其實是自找苦吃。 絕對值不等式本來挺多的： 1、 2、、 3、 高考題其實都基本考的是第三個兩種變形： 題目分析：湖南09年壓軸題是需要用第一種遞推思想而且它隱藏了一個條件：就是是有限的 廣東11年一模題最后一問計算量思維量都比較大，膽子大的人才能完全做出來，當長見識吧。第二問還是

12、可以很輕松做出來的。 試做： 是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意的，都有；②存在常數(shù)，使得對任意的，都有. (I)設(shè) ，證明： (II)設(shè)，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的； (III) 設(shè)，任取，令，，證明：給定正整數(shù)，對任意的正整數(shù)，成立不等式 二、 奇偶項問題 最經(jīng)典最難的便是天津2010（十年P(guān)160 17題）、2011的兩題 這兩題可以吸取的經(jīng)驗有： 1、凡是求通項公式中存在就分奇偶項（可能不用求通項公式，直接并項） 2、遞推是解決奇偶項數(shù)列通項公式的關(guān)鍵方法 3、奇偶項數(shù)列求和證明不等式要分類討論 4、11年那題更為復(fù)雜，從第二小問

13、的代換可以看出奇偶項數(shù)列僅憑一對相鄰項不能完全解決問題，通過3項間的代換才能徹底解決問題 5、看似=增加了討論范圍，將變?yōu)?，其實有降次的方法?？稍囎觯菏?P160 27題 再給出一道經(jīng)典的題：，求證：時， 先看答案：通過逆向思維得：當n為奇數(shù)時有： 則當n為偶數(shù)時 當n為奇數(shù)時 啟示： 1、 證明奇偶項求和不等式也可以化為等比數(shù)列（通過并項） 2、 證明部分奇偶項求和不等式可先證明n為奇數(shù)（或偶數(shù)）時成立，再利用證明n為偶數(shù)（或奇數(shù)）時成立。 總結(jié)（不一定齊全，自己可繼續(xù)積累經(jīng)驗）： 1、 第一原則是上下聯(lián)系 2、 盡量化簡原不等式至方便分析、解決的形態(tài)

14、3、 存在考慮取對數(shù)后求導(dǎo)或者二項式 4、 存在可考慮求導(dǎo)或者去指數(shù)或者直接運算 5、 存在可以求導(dǎo)或者通過值域定義域的關(guān)系去掉 6、 證明或者可考慮：或者；證明：時可考慮并項 7、 如果對于證明一個不等式不確定用哪個方法，多試幾次遇到這種情況總結(jié)出適合自己的方法試用順序 例子： 一、2012年一模題壓軸題： 證明： 思路：因為兩邊求和或者裂項都不太容易，所以果斷試證： 即證： 若構(gòu)造函數(shù)因為的存在很難求導(dǎo)；若用不等式也因為的存在很難運用二項式定理證明得出，重要不等式就更難運用了；顯然這個不等式?jīng)]什么好上下聯(lián)系的；放縮其實自己沒底，于是試試數(shù)歸先 直接在草稿紙上算

15、第二步：要證：，現(xiàn)在顯然二項式定理就適用了 所以思路就出來了：要證，只需證，再通過數(shù)歸和二項式定理的結(jié)合即可證出 二、，（），已知，求證： （上題證得：） 題目都有提示了，于是取對數(shù)，即證： 顯然容易遞推后裂項求和，而就變得礙事了，為了遞推求和怎么辦呢？由于上題有，于是將遞推關(guān)系改為：，接下來通過遞推后求和問題便迎刃而解了。 總之，證不等式一定要運用好逆向思維，學(xué)會預(yù)判。這種思維通過熟悉各種方法使用范圍后，做幾題陌生題，按這種思維應(yīng)該能提供比較明確的思路。 答案： 數(shù)學(xué)歸納法（全國題）： 先特殊值法：若要則 然后巧妙利用已知條件證明單調(diào)性：（數(shù)歸第二步）： 接下來就是要證明：，而，分離變量得 再次運用數(shù)歸證明即為所求即可 加強放縮： 1、右邊增加后數(shù)歸 2、右邊增加，從n2起開始數(shù)歸 3、右邊增加，其中常數(shù)可在[,2]間，從n2起開始數(shù)歸 遞推： 顯然為，接下來的就是遞推，變形通項公式： 由已知條件得 絕對值不等式： 第一問：運用拉格朗日中值定理，注意對應(yīng)①②的性質(zhì)證明，明確寫出 二三問直接上答案： （2）設(shè)存在兩個使得,則 由，得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。 （3），所以 +… 最后祝大家高考順利，考到理想的大學(xué)^ ^