2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)53 坐標(biāo)系與參數(shù)方程

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1、考點(diǎn)53 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 一、填空題 1.(2012·湖北高考理科·T16)在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知射線與曲線(t為參數(shù))相較于A,B來兩點(diǎn),則線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_________. 【解題指南】本題考查極坐標(biāo)的意義與參數(shù)方程,可轉(zhuǎn)化為直線與拋物線的交點(diǎn)問題,再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解. 【解析】曲線可化為: ,射線可化為,聯(lián)立著兩個(gè)方程得:,點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)就是此方程的根, 線段AB的中點(diǎn) . 【答案】. 2.(2012·廣東高考文科·T14)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線和 的參數(shù)方程分別為(為參數(shù),和(t為參數(shù)),則曲線和的交

2、點(diǎn)坐標(biāo)為 . 【解題指南】解決本題顯然把C1的方程化成普通方程之后,再把C2中點(diǎn)的坐標(biāo)代入C1方程,可求出t,進(jìn)而可確定交點(diǎn)坐標(biāo). 【解析】把的方程化成普通方程為,,兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為. 【答案】. 3.(2012·廣東高考理科·T14)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為和,則曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為_______. 【解題指南】解決本題顯然把C2的方程化成普通方程之后,再把C1中點(diǎn)的坐標(biāo)代入C2方程,可求出t,進(jìn)而可確定交點(diǎn)坐標(biāo). 【解析】把C2的方程化成普通方程為,兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為. 【答案】(1,1). 4.(2012·湖南高考

3、文科·T10)在極坐標(biāo)系中,曲線:與曲線:的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上,則a=_______. 【解題指南】本題考查直線的極坐標(biāo)方程、圓的極坐標(biāo)方程,直線與圓的位置關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化的思想、方程的思想,考查運(yùn)算能力;題型年年有,難度適中.把曲線與曲線的極坐標(biāo)方程都轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,求出與軸交點(diǎn),即得.極軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角,所以可以取,進(jìn)行求解. 【解析】曲線的直角坐標(biāo)方程是,曲線的普通方程是直角坐標(biāo)方程,因?yàn)榍€C1:與曲線C2:的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上,所以與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)與值相等,由,知=. 【答案】. 5.(2012·北京高考理科·T9)直線(t為參數(shù))與曲線 (α為任意實(shí)數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

4、 【解題指南】消參后,得到直線與圓的方程,利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系. 【解析】消參后,直線為,曲線為圓。圓心(0,0)到直線的距離為,小于半徑3,所以直線與圓相交,因此,交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè). 【答案】2. 6.(2012·陜西高考理科·T15)直線與圓相交的弦 長為 【解題指南】解方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo),再求弦長;或先化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程,再求弦長. 【解析】解法一:解方程組得或,所求弦長為2.解法二:直線可化為,即;圓兩邊同乘以得,化為直角坐標(biāo)方程是,解方程組得,∴,∴弦長是. 【答案】. 7.(2012·

5、湖南高考理科·T9)在直角坐標(biāo)系xOy 中,已知曲線C1: (t為參數(shù))與曲線C2 : (為參數(shù),a>0 ) 有一個(gè)公共點(diǎn)在X軸上,則a= . 【解題指南】x軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,以此為突破口,逐步解出a的值。 【解析】由y=0知1-2t=0,t=, 【答案】. 8.(2012·安徽高考理科·T13)在極坐標(biāo)系中,圓的圓心到直線的距離是 . 【解題指南】將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為普通方程,根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式求距離. 【解析】圓的圓心 直線;點(diǎn)到直線的距離是. 【答案】. 9.(2012·江西高考理科·T15)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-

6、2x=0,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則曲線C的極坐標(biāo)方程為___________. 【解題指南】通過極坐標(biāo)的定義建立曲線C的參數(shù)方程將其代入直角坐標(biāo)方程,化簡整理可得極坐標(biāo)方程. 【解析】設(shè)曲線C的參數(shù)方程為,代入直角坐標(biāo)方程可得,化簡整理得. 【答案】. 10.(2012·天津高考理科·T12)已知拋物線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其中p>0,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為L,過拋物線上一點(diǎn)M作的垂線,垂足為E,若|EF|=|MF|,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3,則=________. 【解題指南】化拋物線為普通方程,求出焦點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)拋物線定義結(jié)合解三角形即可求得值. 【解析】,焦點(diǎn),過

7、點(diǎn)M做Y軸的垂線,垂足為N,由題意可知,是正三角形,所以,在中,,. 【答案】2. 二、解答題 11.(2012·新課標(biāo)全國高考文科·T23)與(2012·新課標(biāo)全國高考理科·T23)相同 已知曲線的參數(shù)方程是,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,曲線的坐標(biāo)方程是,正方形的頂點(diǎn)都在上,且依逆時(shí)針次序排列,點(diǎn)的極坐標(biāo)為. (1)求點(diǎn)的直角坐標(biāo); (2)設(shè)為上任意一點(diǎn),求的取值范圍 【解題指南】(1)利用極坐標(biāo)的定義求得A、B、C、D的坐標(biāo); (2)由方程的參數(shù)式表示出|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2關(guān)于的函數(shù)式,利用三角函數(shù)的知識(shí)求取值范圍. 【

8、解析】(1)由已知可得 , , 即 . (2)設(shè)令,則 . 因?yàn)樗缘娜≈捣秶? 12.(2012·遼寧高考文科·T23)與(2012·遼寧高考理科·T23)相同 在直角坐標(biāo)中,圓,圓. (Ⅰ)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,分別寫出圓的極坐標(biāo)方程,并求出圓的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示); (Ⅱ)求出的公共弦的參數(shù)方程. 【解題指南】將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程,聯(lián)立,求得交點(diǎn)極坐標(biāo); 【解析】(1)圓的極坐標(biāo)方程為;圓的極坐標(biāo)方程為; 聯(lián)立方程組,解得。故圓,的交點(diǎn)極坐標(biāo)為. (2)由,及得, 圓,的交點(diǎn)直角坐標(biāo)為 故圓,的公共弦的參數(shù)方程為

9、. 13.(2012·福建高考理科·T21)在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線上兩點(diǎn)M,N的極坐標(biāo)分別為,,圓C的參數(shù)方程(為參數(shù)). (Ⅰ) 設(shè)P為線段MN的中點(diǎn),求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程; (Ⅱ) 判斷直線與圓C的位置關(guān)系. 【解題指南】本題主要考查極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的互化、圓的參數(shù)方程,利用轉(zhuǎn)化與化歸思想求解. 【解析】(Ⅰ)由題意知,M,N的平面直角坐標(biāo)分別為,, 又P為線段MN的中點(diǎn),從而P的平面直角坐標(biāo)為 故直線的平面直角坐標(biāo)方程為. (Ⅱ)因?yàn)橹本€上兩點(diǎn)M,N的平面直角坐標(biāo)分別為,, 所以直線的平面直角坐標(biāo)方程為 又圓C的圓心坐標(biāo)為,半徑 ∴圓心到直線的距離為 ∴直線和圓相交. 14.(2012·江蘇高考·T21)在極坐標(biāo)系中,已知圓C經(jīng)過點(diǎn),圓心為直線與極軸的交點(diǎn),求圓C的極坐標(biāo)方程. 【解題指南】根據(jù)圓圓心為直線與極軸的交點(diǎn)求出圓心坐標(biāo);根據(jù)圓經(jīng)過點(diǎn)求出圓的半徑.從而得到圓的極坐標(biāo)方程. 【解析】∵圓圓心為直線與極軸的交點(diǎn), ∴在中令,得. ∴圓的圓心坐標(biāo)為(1,0). ∵圓經(jīng)過點(diǎn),∴圓的半徑為. ∴圓經(jīng)過極點(diǎn)?!鄨A的極坐標(biāo)方程為.

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