2013年高考數(shù)學(xué) 考前沖刺大題精做 專題06 圓錐曲線綜合篇(學(xué)生版)

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1、2013年高考數(shù)學(xué) 考前沖刺大題精做 專題06 圓錐曲線綜合篇(學(xué)生版) 【2013高考會(huì)這樣考】 1、 在解橢圓中的最值與范圍問(wèn)題時(shí),要考慮到橢圓的限制條件對(duì)自變量取值的影響; 2、 與平面向量等知識(shí)的結(jié)合,綜合考查圓錐曲線的相關(guān)運(yùn)算; 3、 以直線和圓錐曲線為載體,研究弦長(zhǎng)、最值、取值范圍、三角形的面積問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn). 【原味還原高考】 【高考還原1:(2012年高考(上海理))】在平面直角坐標(biāo)系中,已知雙曲線. (1)過(guò)的左頂點(diǎn)引的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成 的三角形的面積; (2)設(shè)斜率為1的直線l交于P、Q兩點(diǎn),若l與圓相切,

2、求證:OP⊥OQ; (3)設(shè)橢圓. 若M、N分別是、上的動(dòng)點(diǎn),且OM⊥ON,求證:O到直線MN的距離是定值. 【高考還原2:(2012年高考(山東理))】在平面直角坐標(biāo)系中,是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為,點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為. (Ⅰ)求拋物線的方程; (Ⅱ)是否存在點(diǎn),使得直線與拋物線相切于點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由; (Ⅲ)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),與圓 有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求當(dāng)時(shí),的最小值. 【高考還原3:(2012年高考(江蘇理))】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別

3、為,.已知和都在橢圓上,其中為橢圓的離心率. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn),且直線與直線平行,與交于點(diǎn)P. (i)若,求直線的斜率; (ii)求證:是定值. 【細(xì)品經(jīng)典例題】 【經(jīng)典例題1】設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上且異于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)若直線與的斜率之積為,求橢圓的離心率; (2)對(duì)于由(1)得到的橢圓,過(guò)點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn),若,求直線的斜率. 【經(jīng)典例題2】已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓,它的離心率為,一個(gè)焦點(diǎn)是,過(guò)直線上一點(diǎn)M引橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別是A,B. (1)求橢圓的方程;

4、(2)若在橢圓Ω:上的點(diǎn)處的切線方程是. 求證:直線AB恒過(guò)定點(diǎn)C,并出求定點(diǎn)C的坐標(biāo). (3)是否存在實(shí)數(shù),使得恒成立?(點(diǎn)C為直線AB恒過(guò)的定點(diǎn))若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【精選名題巧練】 【名題巧練1】已知橢圓. (Ⅰ)我們知道圓具有性質(zhì):若為圓O:的弦AB的中點(diǎn),則直線AB的斜率與直線OE的斜率的乘積為定值。類比圓的這個(gè)性質(zhì),寫(xiě)出橢圓的類似性質(zhì),并加以證明; (Ⅱ)如圖(1),點(diǎn)B為在第一象限中的任意一點(diǎn),過(guò)B作的切線,分別與x軸和y軸的正半軸交于C,D兩點(diǎn),求三角形OCD面積的最小值; (Ⅲ)如圖(2),過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)作的兩條切線PM和PN,

5、切點(diǎn)分別為M,N.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在定圓恒與直線MN相切?若存在,求出圓的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【名題巧練2】已知橢圓的離心率為 (I)若原點(diǎn)到直線的距離為求橢圓的方程; (II)設(shè)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線和橢圓交于A,B兩點(diǎn). (i)當(dāng),求b的值; (ii)對(duì)于橢圓上任一點(diǎn)M,若,求實(shí)數(shù)滿足的關(guān)系式. 【名題巧練3】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在橢圓 上,過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),拋物線在點(diǎn)處的切線分別為,且與交于點(diǎn). (1)求橢圓的方程; (2)是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在,指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)(不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)); 若不

6、存在,說(shuō)明理由. 【名題巧練4】在矩形ABCD中,|AB|=2,|AD|=2,E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點(diǎn),以HF、GE所在直線分別為x,y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示).若R、R′分別在線段0F、CF上,且==. (Ⅰ)求證:直線ER與GR′的交點(diǎn)P在橢圓:+=1上; (Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點(diǎn),且直線GM與直線GN的斜率之積為,求證:直線MN過(guò)定點(diǎn);并求△GMN面積的最大值. 【名題巧練5】已知拋物線點(diǎn)的坐標(biāo)為(12,8),N點(diǎn)在拋物線C上,且滿足O為坐標(biāo)原點(diǎn). (I)求拋物線C的方程; (II)以點(diǎn)M為起點(diǎn)的任意兩條射線關(guān)于直線l:y=x—4,并且與拋物線

7、C交于A、B兩點(diǎn),與拋物線C交于D、E兩點(diǎn),線段AB、DE的中點(diǎn)分別為G、H兩點(diǎn)求證:直線GH過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo). 【名題巧練6】已知直線過(guò)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)。 (1) 求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)F為橢圓E的左焦點(diǎn),且P 橢圓上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作直線PF的垂線,垂足為N,當(dāng)變化時(shí),線段PN的長(zhǎng)度是否為定值?若是,請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值,并證明你的結(jié)論;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由?!久}巧練7】如圖,,是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn).,直線的斜率為. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)直線平行于,與軸分別交于點(diǎn),與橢圓相交于.證明:△的面積等于△的面積. 【名題巧練8】如圖,在平面直坐標(biāo)系中,已知橢

8、圓,經(jīng)過(guò)點(diǎn),其中e為橢圓的離心率.且橢圓與直線 有且只有一個(gè)交點(diǎn)。 (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交與A,B兩點(diǎn),第一象限內(nèi)的點(diǎn)在橢圓上,直線平分線段,求:當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)直線的方程。 【名題巧練9】如圖所示,橢圓C:?的離心率,左焦 點(diǎn)為右焦點(diǎn)為,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為.與軸不垂直的直線與 橢圓C交于不同的兩點(diǎn)、,記直線、的斜率分別為、,且. (1)求橢圓?的方程; (2)求證直線?與軸相交于定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo). (3)當(dāng)弦?的中點(diǎn)落在內(nèi)(包括邊界)時(shí),求直線的斜率的取值。 【名題巧練10】設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,離心率.過(guò)該橢圓上任一點(diǎn)作軸,垂足為,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,且. (1)求橢圓的方程; (2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程; (3)設(shè)直線(點(diǎn)不同于)與直線交于點(diǎn),為線段的中點(diǎn),試判斷直線與曲線的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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