2021-2022學(xué)年北師大新版八年級上冊數(shù)學(xué)《第1章 勾股定理》單元測試卷【含答案】

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1、2021-2022學(xué)年北師大新版八年級上冊數(shù)學(xué)《第1章 勾股定理》單元測試卷 一．選擇題 1．下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L的線段能構(gòu)成直角三角形的是（　?。? A．2，4，5 B．6，8，11 C．5，12，12 D．1，1， 2．在下列各組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形的三邊邊長的是（　?。? A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 3．如圖，一棵大樹在一次強臺風(fēng)中于離地面3m處折斷倒下，樹干頂部在根部4m處，這棵大樹在折斷前的高度為（　　）m． A．3 B．4 C．5 D．8 4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三邊為邊向

2、外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，則S2＝（　　） A．20 B．12 C．2 D．2 5．下列數(shù)據(jù)能作為直角三角形三邊長的是（　?。? A．6，7，8 B．1，，2 C．5，12，14 D．7，24，26 6．在如圖的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，A、B、C三點均在正方形格點上，則下列結(jié)論錯誤的是（　?。? A．AB＝ B．∠BAC＝90° C．S△ABC＝10 D．點A到直線BC的距離是2 7．下面是證明勾股定理的四個圖形，其中是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 8．如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，

3、此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，則EF的長是（　?。? A．14 B．13 C．14 D．14 9．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列說法錯誤的是（　?。? A．如果∠C﹣∠B＝∠A，則△ABC是直角三角形 B．如果c2＝b2﹣a2，則△ABC是直角三角形 C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC是直角三角形 D．如果a2+b2≠c2，則△ABC不是直角三角形 10．小明想知道學(xué)校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子剛好垂到地面，當(dāng)她把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)繩子下端距離地面1米，則旗桿的高是（　?。? A．8米

4、 B．10米 C．12米 D．13米 二．填空題 11．如圖由于臺風(fēng)的影響，一棵樹在離地面6m處折斷，樹頂落在離樹干底部8m處，則這棵樹在折斷前（不包括樹根）長度是　 　m． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝30cm2，則AB＝　 ?。? 13．附加題：觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41；… 請你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：　 　． 14．觀察下列式子： 當(dāng)n＝2時，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5 n＝3時，a＝2

5、×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10 n＝4時，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17… 根據(jù)上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用含n（n≥2的整數(shù)）的代數(shù)式表示上述特點的勾股數(shù)a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． 15．在《九章算術(shù)》中有一個問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面　 　尺． 16．由4個直角邊長分別為a，b的直角三角形圍成的“趙爽弦圖”如圖所示，根據(jù)大正方形的面積c2等于小正方形的面積（a﹣b）2與4個直角三角形的面積2

6、ab的和證明了勾股定理a2+b2＝c2，還可以用來證明結(jié)論：若a＞0、b＞0且a2+b2為定值，則當(dāng)a　 　b時，ab取得最大值． 17．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若a+b＝，ab＝2，則小正方形的面積為　 ?。? 18．在△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC邊上的高AD＝12，則△ABC的周長為　 ?。? 19．若8，a，17是一組勾股數(shù)，則a＝　 ?。? 20．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠BAC﹣∠DAE＝　 　°（點A，B，C，D，E是網(wǎng)格線交點）．

7、 三．解答題 21．如圖，從帳篷支撐竿AB的頂部A向地面拉一根繩子AC固定帳篷，若繩子的長度為5.5米，固定點C到帳篷支撐桿底部B的距離是4.5米，現(xiàn)有一根高為3.2米的竿，它能否做帳篷的支撐竿，請說明理由． 22．已知，如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點E，且BE2﹣EA2＝AC2． （1）判斷△ABC的形狀并說明理由； （2）若DE＝3，BD＝4，求AE的長． 23．（1）教材在探索平方差公式時利用了面積法，面積法可以幫助我們直觀地推導(dǎo)或驗證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，

8、較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為4×ab+（a﹣b）2，所以4×ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c2．圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理． （2）試用勾股定理解決以下問題： 如果直角三角形ABC的兩直角邊長為3和4，則斜邊上的高為　 　． （3）試構(gòu)造一個圖形，使它的面積能夠解釋（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，畫在上面的網(wǎng)格中，并標(biāo)出字母a，b所表示的線段． 24．

9、如圖，三個村莊A、B、C之間的距離分別是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km．要從B修一條公路BD直達AC．已知公路的造價為26000元/km，求修這條公路的最低造價是多少？ 25．我們新定義一種三角形：兩邊平方和等于第三邊平方的4倍的三角形叫做常態(tài)三角形．例如：某三角形三邊長分別是5，6和8，因為62+82＝4×52＝100，所以這個三角形是常態(tài)三角形． （1）若△ABC三邊長分別是2，和4，則此三角形　 　常態(tài)三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常態(tài)三角形，則此三角形的三邊長之比為　 ?。ㄕ埌磸男〉酱笈帕校? （3）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90

10、°，BC＝6，點D為AB的中點，連接CD，若△BCD是常態(tài)三角形，求△ABC的面積． 26．我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊． （1）寫出你所知道的四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱　 　，　 ??； （2）如圖，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到△DBE，連接AD、DC，若∠DCB＝30°，試證明；DC2+BC2＝AC2．（即四邊形ABCD是勾股四邊形） 27．?dāng)?shù)學(xué)實驗室：制作4張全等的直角三角形紙片（如圖1），把這4張紙片拼成以弦長c為邊長的

11、正方形構(gòu)成“弦圖”（如圖2），古代數(shù)學(xué)家利用“弦圖”驗證了勾股定理． 探索研究： （1）小明將“弦圖”中的2個三角形進行了旋轉(zhuǎn)，得到圖3，請利用圖3證明勾股定理； 數(shù)學(xué)思考： （2）小芳認(rèn)為用其它的方法改變“弦圖”中某些三角形的位置，也可以證明勾股定理．請你想一種方法支持她的觀點（先在備用圖中補全圖形，再予以證明）． 答案與試題解析 一．選擇題 1．解：A、∵22+42＝20≠52，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意； B、∵62+82＝100≠112，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意； C、∵52+122＝169≠122，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項

12、不符合題意； D、∵12+12＝2＝（）2，∴能夠構(gòu)成直角三角形，故本選項符合題意． 故選：D． 2．解：A、32+42≠62，故A符合題意； B、72+242＝252，故B不符合題意； C、62+82＝102，故C不符合題意； D、92+122＝152，故D不符合題意． 故選：A． 3．解：如圖所示： ∵△ABC是直角三角形，AB＝3m，AC＝4m， ∴BC＝＝5（m）， ∴這棵樹原高：3+5＝8（m）， 故選：D． 4．解：由勾股定理得，AC2＝AB2﹣BC2＝16﹣4＝12， 則S2＝AC2＝12， 故選：B． 5．解：A、62+72≠82，根據(jù)勾股定

13、理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合題意； B、12+（）2＝22，根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合題意； C、122+52≠142，根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合題意； D、72+242≠262，根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合題意； 故選：B． 6．解：由題意可得， AB＝＝2，故選項A正確； AC＝＝， BC＝＝5， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，故選項B正確； ∴S△ABC＝＝5，故選項C錯誤； 作AD⊥BC于點D， 則＝5， 即＝5， 解得，AD＝2

14、， 即點A到直線BC的距離是2，故選項D正確； 故選：C． 7．解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意； B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意； C、是軸對稱圖形，故此選項符合題意； D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意； 故選：C． 8．解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10為兩條直角邊長時， 小正方形的邊長＝24﹣10＝14， ∴EF＝＝14． 故選：D． 9．解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，則∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，說法正確； B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直

15、角三角形且∠B＝90，說法正確； C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，則∠C＝90°，則△ABC是直角三角形，說法正確； D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，則△ABC可能是直角三角形，故原來說法錯誤． 故選：D． 10．解：如圖，已知AB＝AC，CD⊥BD，CH⊥AB，CD＝1米，CH＝5米，設(shè)AB＝AC＝x米． 在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2， ∴x2＝52+（x﹣1）2， ∴x＝13， ∴AB＝13（米）， 故選：D． 二．填空題 11．解：由題意得BC＝8m，AC＝6m， 在直角三角形

16、ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB＝＝10（米）． 所以大樹的高度是10+6＝16（米）． 故16． 12．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝AC?BC＝30cm2， ∴AC＝5cm， 根據(jù)勾股定理得：AB＝＝13cm． 故13cm． 13．解：從上邊可以發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)是奇數(shù)，且逐步遞增2， 故第5組第一個數(shù)是11，又發(fā)現(xiàn)第二、第三個數(shù)相差為一， 故設(shè)第二個數(shù)為x，則第三個數(shù)為x+1， 根據(jù)勾股定理得：112+x2＝（x+1）2， 解得x＝60， 則得第5組數(shù)是：11、60、61． 故11、60、61． 14．解：∵當(dāng)n＝2時，a＝2×2

17、＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5 n＝3時，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10 n＝4時，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17… ∴勾股數(shù)a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1． 故2n，n2﹣1，n2+1． 15．解：設(shè)折斷處離地面x尺，根據(jù)題意可得： x2+32＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.55， 答：折斷處離地面4.55尺． 故4.55． 16．解：如圖，作斜邊c上高h， ∵（a﹣b）2≥0， ∴a2+b2﹣2ab≥0， 又∵a2+b2＝c2，a2+b2為定值， ∴ab≤， ∴ab最大值為， ∵a，b為直角

18、邊的直角三角形面積＝a?b＝c?h， ∴＝c?h， ∴h＝， ∵等腰直角三角形斜邊上的高是斜邊的一半， ∴當(dāng)a＝b時，h＝， 故＝． 17．解：觀察圖形可知，小正方形的邊長＝a﹣b， ∵a+b＝，ab＝2， ∴小正方形的面積＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝15﹣8＝7． 故7． 18．解：如圖1，△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC邊上高AD＝12， 在Rt△ABD中AB＝20，AD＝12， 由勾股定理得，BD＝＝16， 在Rt△ADC中AC＝13，AD＝12， 由勾股定理得，DC＝＝5， 則BC的長為BD+DC＝9+16＝21， △ABC的周長為：1

19、3+20+21＝54， 如圖2，同（1）的作法相同，BC＝11， △ABC的周長為：13+20+11＝44， 故44或54． 19．解：①a為最長邊，a＝＝，不是正整數(shù)，不符合題意； ②17為最長邊，a＝＝15，三邊是整數(shù)，能構(gòu)成勾股數(shù)，符合題意． 故15． 20．解：如圖，連接CG、AG， 由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10， ∴AC2+AG2＝CG2， ∴∠CAG＝90°， ∴△CAG是等腰直角三角形， ∴∠ACG＝45°， ∵CF∥AB， ∴∠ACF＝∠BAC， 在△CFG和△ADE中， ∵， ∴△CFG≌

20、△ADE（SAS）， ∴∠FCG＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°， 故45． 三．解答題 21．解：∵△ABC中，AC＝5.5米，BC＝4.5米，AB＝3.2米； ∴AC2＝30.25，BC2＝20.25，AB2＝10.24； ∵30.25≠20.25+10.24， ∴不能做帳篷的支撐竿． 22．解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下： 連接CE，如圖， ∵D是BC的中點，DE⊥BC， ∴CE＝BE， ∵BE2﹣EA2＝AC2， ∴CE2﹣EA2＝AC2， ∴EA2+AC2＝CE2， ∴△ACE是直角三角形，即∠A＝

21、90°， ∴△ABC是直角三角形； （2）∵DE⊥BC，DE＝3，BD＝4， ∴BE＝＝5＝CE， ∴AC2＝EC2﹣AE2＝25﹣EA2， ∵D是BC的中點，BD＝4， ∴BC＝2BD＝8， 在Rt△BAC中：BC2﹣BA2＝64﹣（5+EA）2＝AC2， ∴64﹣（5+AE）2＝25﹣EA2，解得AE＝． 23．解：（1）梯形ABCD的面積為（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2， 也利用表示為ab+c2+ab， ∴a2+ab+b2＝ab+c2+ab， 即a2+b2＝c2； （2）∵直角三角形的兩直角邊分別為3，4， ∴斜邊為5， ∵設(shè)斜邊上的高為h，直角三角

22、形的面積為×3×4＝×5×h， ∴h＝， 故答案為； （3）∵圖形面積為：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2， ∴邊長為a﹣2b， 由此可畫出的圖形為： 24．解：∵BC2+AB2＝122+52＝169， AC2＝132＝169， ∴BC2+AB2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， 當(dāng)BD⊥AC時BD最短，造價最低 ∵S△ABC＝AB?BC＝AC?BD， ∴BD＝＝km ×26000＝元． 答：最低造價為元． 25．解：（1）∵22+42＝4×（）2＝20， ∴△ABC三邊長分別是2，和4，則此三角形是常態(tài)三角形． 故是； （2）∵Rt△ABC是常態(tài)三角

23、形， ∴設(shè)兩直角邊長為：a，b，斜邊長為：c， 則a2+b2＝c2，a2+c2＝4b2， 則2a2＝3b2， 故a：b＝：， ∴設(shè)a＝x，b＝x， 則c＝x， ∴此三角形的三邊長之比為：：：． 故：：； （3）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，點D為AB的中點，△BCD是常態(tài)三角形， ∴當(dāng)AD＝BD＝DC，CD2+BD2＝4×62時， 解得：BD＝DC＝6， 則AB＝12， 故AC＝＝6， 則△ABC的面積為：×6×6＝． 當(dāng)AD＝BD＝DC，CD2+BC2＝4×BD2時， 解得：BD＝DC＝2， 則AB＝4， 故AC＝2， 則△ABC的面積為

24、：×6×2＝6． 故△ABC的面積為或6． 26．（1）解：∵直角梯形和矩形的角都為直角，所以它們一定為勾股四邊形． （2）證明：連接CE，∵BC＝BE，∠CBE＝60° ∴△CBE為等邊三角形， ∴∠BCE＝60° 又∵∠DCB＝30°∴∠DCE＝90° ∴△DCE為直角三角形 ∴DE2＝DC2+CE2 ∵AC＝DE，CE＝BC ∴DC2+BC2＝AC2 27．解：（1）如圖3所示 ∵圖形的面積表示為a2+b2+2×ab＝a2+b2+ab， 圖形的面積也可表示為c2+2×ab＝c2+ab； ∴a2+b2+ab＝c2+ab， ∴a2+b2＝c2 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方． （2））如圖4所示： ∵大正方形的面積表示為（a+b）2； 大正方形的面積也可表示為c2+4×ab ∴（a+b）2＝c2+4×ab， a2+b2+2ab＝c2+2ab， ∴a2+b2＝c2； 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．