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1、高考大題增分專項三高考中的數(shù)列,從近五年高考試題分析來看,高考數(shù)列解答題主要題型有:等差、等比數(shù)列的綜合問題;證明一個數(shù)列為等差或等比數(shù)列;求數(shù)列的通項及非等差、等比數(shù)列的前n項和;證明數(shù)列型不等式.命題特點是試題題型規(guī)范、方法可循、難度穩(wěn)定在中檔.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,突破策略一公式法 對于等差、等比數(shù)列,求其通項及求前n項的和時,只需利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式及求和公式求解即可.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,例1已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求an的通項公式;
2、 (2)求和:b1+b3+b5++b2n-1. 解:(1)設等差數(shù)列an的公差為d. 因為a2+a4=10,所以2a1+4d=10. 解得d=2.所以an=2n-1. (2)設等比數(shù)列bn的公比為q. 因為b2b4=a5,所以b1qb1q3=9. 解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,對點訓練1(2018山東淄博一模)已知an是公差為3的等差數(shù)列,,(1)求數(shù)列an的通項公式; (2)求數(shù)列bn的前n項和Sn.,a1=4,an是首項為4,公差為3的等差數(shù)列. an=4+(n-1)3=3n+1. (2)由(1)及anbn
3、+1=nbn+bn+1,,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,突破策略二轉(zhuǎn)化法 無論是求數(shù)列的通項還是求數(shù)列的前n項和,通過變形、整理后,能夠把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式或求和公式解決問題.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,例2在數(shù)列an中,a1=1,數(shù)列an+1-3an是首項為9,公比為3的等比數(shù)列. (1)求a2,a3;,解:(1)數(shù)列an+1-3an是首項為9,公比為3的等比數(shù)列,an+1-3an=93n-1=3n+1. a2-3a1=9,a3-3a2=27.a2=12,a3=63.,題型一,題型二,題型
4、三,題型四,題型五,策略一,策略二,對點訓練2設an是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項公式; (2)令bn=ln a3n+1,n=1,2,,求數(shù)列bn的前n項和Tn.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,突破策略一定義法 用定義法證明一個數(shù)列是等差數(shù)列,常采用的兩個式子an-an-1=d(n2)和an+1-an=d,前者必須加上“n2”,否則n=1時a0無意義;用定義法證明一個數(shù)列是等比數(shù)列也常采用兩個式子,題型一,題型二,
5、題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,例3已知數(shù)列an滿足an+1=2an+n-1,且a1=1. (1)求證:數(shù)列an+n為等比數(shù)列; (2)求數(shù)列an的前n項和Sn.,所以數(shù)列an+n是首項為2,公比為2的等比數(shù)列. (2)解:由(1)得an+n=22n-1=2n,故an=2n-n.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,對點訓練3(2018江蘇淮安一模節(jié)選)已知數(shù)列an,其前n項和為Sn,滿足a1=2,Sn=nan+an-1,其中n2,nN*,,R. (1)若=0,=4,bn=an+1-2an(nN*),求證:數(shù)列bn是等比數(shù)列;,證明:(1)若=0,=4,則Sn=4a
6、n-1(n2), 所以an+1=Sn+1-Sn=4(an-an-1), 即an+1-2an=2(an-2an-1),所以bn=2bn-1. 又由a1=2,a1+a2=4a1, 得a2=3a1=6,a2-2a1=20,即bn0,,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,(2)若a2=3,由a1+a2=2a2+a1,得5=6+2.,即(n-1)an+1-(n-2)an-2an-1=0, 所以nan+2-(n-1)an+1-2an=0, 兩式相減得nan+2-2(n-1)an+1+(n-2)an-2an+2an-1=0, 所以n(an+2-2an+1+an)+2(an+1-2an+a
7、n-1)=0,,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,因為a1-2a2+a3=0,所以an+2-2an+1+an=0, 即數(shù)列an是等差數(shù)列.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,突破策略二遞推相減化歸法 對已知數(shù)列an與Sn的關系,證明an為等差或等比數(shù)列的問題,解題思路為:由an與Sn的關系遞推出n為n+1時的關系式,兩關系式相減后,進行化簡、整理,最終化歸為用定義法證明.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,例4已知數(shù)列an的前n項和為Sn,Sn=(m+1)-man對任意的nN*都成立,其中m為常數(shù),且m<-1. (1)求證:數(shù)列
8、an是等比數(shù)列; (2)記數(shù)列an的公比為q,設q=f(m),若數(shù)列bn滿足 (3)在(2)的條件下,設cn=bnbn+1,數(shù)列cn的前n項和為Tn,求證:Tn<1.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,證明(1)當n=1時,a1=S1=1. Sn=(m+1)-man, Sn-1=(m+1)-man-1(n2), 由-,得an=man-1-man(n2), 即(m+1)an=man-1. a10,m<-1,an-10,m+10.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,對點訓練4設數(shù)列an的前n項和為S
9、n,且(3-m)Sn+2man=m+3(nN*),其中m為常數(shù),且m-3. (1)求證:an是等比數(shù)列;,證明 (1)由(3-m)Sn+2man=m+3, 得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3, 兩式相減,得(3+m)an+1=2man. an是等比數(shù)列.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,突破策略一錯位相減法 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的,那么這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法來求,即和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比,然后作差求解.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策
10、略一,策略二,例5已知數(shù)列an的前n項和Sn=3n2+8n,bn是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1. (1)求數(shù)列bn的通項公式; 解(1)由題意知當n2時,an=Sn-Sn-1=6n+5, 當n=1時,a1=S1=11,符合上式. 所以an=6n+5.設數(shù)列bn的公差為d.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,又Tn=c1+c2++cn, 得Tn=3222+323++(n+1)2n+1, 2Tn=3223+324++(n+1)2n+2, 兩式作差,得 -Tn=3222+23+24++2n+1-(n+1)2n+2 所以Tn=3n2n+2.,題型一,題型二,題型三,題型四,題
11、型五,策略一,策略二,對點訓練5已知an為等差數(shù)列,前n項和為Sn(nN*),bn是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求an和bn的通項公式; (2)求數(shù)列a2nb2n-1的前n項和(nN*).,解:(1)設等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q. 由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12, 而b1=2,所以q2+q-6=0. 又因為q0,解得q=2. 所以bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8. 由S11=11b4,可得a1+5d=16, 聯(lián)立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以數(shù)
12、列an的通項公式為an=3n-2,數(shù)列bn的通項公式為bn=2n.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,(2)設數(shù)列a2nb2n-1的前n項和為Tn, 由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n, 故Tn=24+542+843++(3n-1)4n, 4Tn=242+543+844++(3n-4)4n+(3n-1)4n+1, 上述兩式相減,得 -3Tn=24+342+343++34n-(3n-1)4n+1,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,突破策略二裂項相消法 把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵
13、消,從而求得其和.利用裂項相消法求和時,要注意抵消后所剩余的項是前后對稱的.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,例6已知等差數(shù)列an的前n項和Sn滿足S3=0,S5=-5. (1)求an的通項公式;,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,對點訓練6在等差數(shù)列an中,a2=5,a5=11,數(shù)列bn的前n項和Sn=n2+an. (1)求數(shù)列an,bn的通項公式;,解:(1)設等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,,故an=3+(n-1)2=2n+1. 當n=1時,b1=S1=4; 當n2時,bn=Sn-Sn-1=(n2+2n+1)-(n-1)2+2(n-1)+
14、1=2n+1, 又b1=4不符合該式,,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,策略一,策略二,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,要證明關于一個數(shù)列的前n項和的不等式,一般有兩種思路:一是先求和再對和式放縮;二是先對數(shù)列的通項放縮再求數(shù)列的和,必要時對其和再放縮.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,例7已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足Sn=an+n2-1(nN*). (1)求an的通項公式;,(1)解:Sn=an+n2-1(nN*), a1+a2=a2+22-1,解得a1=3. 當n2時,an=Sn-Sn-1=an+n2-1-an-1+(n-1)2-1, 整理得an-1=2n-
15、1,可得an=2n+1,當n=1時也成立.an=2n+1.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,(2)證明:由(1)可得Sn=2n+1+n2-1=n2+2n.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,對點訓練7(2018天津部分區(qū)質(zhì)量調(diào)查)已知數(shù)列an為等比數(shù)列,數(shù)列bn為等差數(shù)列,且b1=a1=1,b2=a1+a2,a3=2b3-6. (1)求數(shù)列an,bn的通項公式;,(1)解:設數(shù)列an的公比為q,數(shù)列bn的公差為d,,所以an=2n-1,bn=2n-1.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,求解數(shù)列中的存在性問題,先假設所探求對象存在,再
16、以此假設為前提條件進行運算或邏輯推理,若由此推出矛盾,則假設不成立,即不存在.若推不出矛盾,則得到存在的結果.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,例8已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中為常數(shù). (1)證明:an+2-an=; (2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說明理由. 答案：(1)證明因為anan+1=Sn-1,所以an+1an+2=Sn+1-1. 兩式相減,得an+1(an+2-an)=an+1. 因為an+10,所以an+2-an=.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,(2)解：由題設,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1
17、. 由(1)知,a3=+1. 令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4. 由此可得a2n-1是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3; a2n是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,即an+1-an=2. 因此存在=4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,對點訓練8若an是各項均不為零的等差數(shù)列,公差為d,Sn為其前 的前n項和. (1)求an和Tn; (2)是否存在正整數(shù)m,n(1
18、題型五,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,1.解決等差、等比數(shù)列的綜合問題時,重點在于讀懂題意,靈活利用等差、等比數(shù)列的定義、通項公式及前n項和公式解決問題,求解這類問題要重視方程思想的應用;用好等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可以降低運算量,減少差錯. 2.求數(shù)列的通項公式就是求出an與n的關系式,無論條件中的關系式含有哪些量,一般都需要通過消元、轉(zhuǎn)化和化歸的思想使之變?yōu)榈炔?、等比?shù)列. 3.高考對數(shù)列求和的考查主要是:等差、等比數(shù)列的公式求和;能通過錯位相減法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;裂項相消法求和;分組或合并后轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和.,4.證明數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列主要依據(jù)定義,盡管題目給出的條件多種多樣,但總體目標是把條件轉(zhuǎn)化成 與an的差或比為一個定值. 5.數(shù)列與不等式的綜合問題 (1)數(shù)列不等式的證明要把數(shù)列的求和與放縮法結合起來,靈活使用放縮法. (2)證明數(shù)列不等式也經(jīng)常轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的最值問題,同時要注意比較法、放縮法、基本不等式的應用.,
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