2013屆高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)回歸總復(fù)習(xí)《第四十講橢圓》.ppt

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1、第四十講 橢圓,回歸課本 1.橢圓的定義 (1)定義:平面內(nèi)兩定點(diǎn)為F1F2,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足條件點(diǎn)P到點(diǎn)F1F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)時(shí),P點(diǎn)的軌跡為橢圓;F1F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn). (2)定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|). (3)注意:定義中,“定值大于|F1F2|”(即2a2c)是必要條件.當(dāng)2a=2c時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡是兩焦點(diǎn)的連線(xiàn)段;而當(dāng)2a<2c時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.,2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),考點(diǎn)陪練 1.已知兩定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),點(diǎn)M滿(mǎn)足|MA|+|MB|=2,則點(diǎn)M的軌跡是( ) A.圓B.橢圓 C.線(xiàn)段D.直線(xiàn) 答案

2、:C,答案:D,答案:A,答案:C,類(lèi)型一 橢圓的定義 解題準(zhǔn)備:(1)橢圓是圓錐曲線(xiàn)中最重要的內(nèi)容之一,因而也是高考命題的熱點(diǎn).而橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程往往是主要的考查點(diǎn),也是研究其它橢圓問(wèn)題的基礎(chǔ). (2)橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和為常數(shù)(大于|F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡(或集合)叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.用集合表示:橢圓上的點(diǎn)M滿(mǎn)足集合 均為常數(shù)且2a2c.,(3)涉及橢圓定義的問(wèn)題時(shí),一定要注意“2a2c”這一個(gè)前提條件.因?yàn)楫?dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F1F2的距離之和等于|F1F2|時(shí),其動(dòng)點(diǎn)軌跡就是線(xiàn)段F1F2;

3、當(dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F1F2的距離之和小于|F1F2|時(shí),其軌跡不存在.,【典例1】一動(dòng)圓與已知圓O1:(x+3)2+y2=1外切,與圓O2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切,試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程. 解兩定圓的圓心和半徑分別是O1(-3,0),r1=1, O2(3,0),r2=9.設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y),半徑為R, 則由題設(shè)條件,可知 |MO1|=1+R,|MO2|=9-R, |MO1|+|MO2|=10, 由橢圓的定義知:M在以O(shè)1O2為焦點(diǎn)的橢圓上,且 a=5,c=3,b2=a2-c2=25-9=16, 故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為,反思感悟先根據(jù)定義判斷軌跡的類(lèi)型,再用待定系數(shù)法求軌跡方程的方

4、法叫定義法.用定義法求軌跡方程時(shí),應(yīng)首先充分挖掘圖形的幾何性質(zhì),找出動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件,看其是否符合某種曲線(xiàn)的定義,如本例,根據(jù)平面幾何知識(shí),列出內(nèi)切外切的條件后,可發(fā)現(xiàn)利用動(dòng)圓的半徑過(guò)渡,恰好符合橢圓的定義,從而用待定系數(shù)法求解,這里充分利用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵.,類(lèi)型二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解題準(zhǔn)備:(1)定義法; (2)待定系數(shù)法.若已知焦點(diǎn)的位置可唯一確定標(biāo)準(zhǔn)方程;若焦點(diǎn)位置不確定,可采用分類(lèi)討論來(lái)確定方程的形式,也可以直接設(shè)橢圓的方程為Ax2+By2=1,其中A,B為不相等的正常數(shù)或由已知條件設(shè)橢圓系 來(lái)求解,以避免討論和繁瑣的計(jì)算.,類(lèi)型三橢圓的幾何性質(zhì) 解題準(zhǔn)備:1.對(duì)橢圓幾何性

5、質(zhì)的考查一直是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),尤其是對(duì)橢圓離心率的求解問(wèn)題,更是考查的重點(diǎn).,2.對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上,中心在原點(diǎn)的橢圓 有以下性質(zhì):范圍:-axa,-byb.橢圓位于直線(xiàn)x=a和y=b所圍成的矩形框里;對(duì)稱(chēng)性:橢圓關(guān)于x軸y軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱(chēng)的;橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b).線(xiàn)段A1A2和B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸,它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b;橢圓的離心率,反思感悟求解與幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,即使不畫(huà)出圖形,思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形.當(dāng)涉及到頂點(diǎn)焦點(diǎn)長(zhǎng)軸短軸等橢圓的基本量時(shí),要理清它們之間的關(guān)系,建立基本量之間的聯(lián)系.,類(lèi)型

6、四直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系 解題準(zhǔn)備:1.直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立,消元后得到一元二次方程,然后通過(guò)判別式來(lái)判斷直線(xiàn)和橢圓相交相切或相離. 2.消元后得到的一元二次方程的根是直線(xiàn)和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo),通常是寫(xiě)成兩根之和與兩根之積的形式,這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ).,【典例4】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓C相交于AB兩點(diǎn)(AB不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn).求證:直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).,分析(1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.(2)直線(xiàn)方

7、程與橢圓方程聯(lián)立后得到交點(diǎn)AB的坐標(biāo)關(guān)系,再根據(jù)以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)可得到兩直線(xiàn)垂直,從而求得交點(diǎn)AB的坐標(biāo)關(guān)系,聯(lián)立后可求k、m的關(guān)系.,反思感悟(1)直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立,消元后得到一元二次方程,然后通過(guò)判別式來(lái)判斷直線(xiàn)和橢圓相交相切或相離的情況. (2)消元后得到的一元二次方程的根是直線(xiàn)和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo),通常是寫(xiě)成兩根之和與兩根之積的形式,這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ).,錯(cuò)源一 定義理解不清致錯(cuò) 【典例1】已知A(4,0),B(2,2)是橢圓 內(nèi)的一點(diǎn),如圖所示,M是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn),求|MA|+|MB|的范圍. 錯(cuò)解欲使|MA|+|MB|最大或最小,考慮動(dòng)點(diǎn)M在橢圓上的

8、位置,再結(jié)合圖形,由于A是橢圓的右焦點(diǎn),當(dāng)M是左頂點(diǎn)時(shí),|MA|最大,當(dāng)M是右頂點(diǎn)時(shí),|MA|最小.于是|MA|+|MB|的最大值為 最小值為,剖析當(dāng)|MA|最大時(shí),|MA|+|MB|就一定最大嗎?顯然,不一定. 正解易知A(4,0)為橢圓的右焦點(diǎn),設(shè)左焦點(diǎn)為F1,由a2=25知|MF1|+|MA|=10,因此|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF1|.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“求橢圓上一點(diǎn)到B,F1兩點(diǎn)距離之差的最大值與最小值”;連接B,F1并延長(zhǎng)交橢圓于兩點(diǎn);其一使|MB|-|MF1|最大,另一個(gè)使|MB|-|MF1|最小.則|MA|+|MB|的最大值為 最小值為,錯(cuò)源二 忽視焦點(diǎn)位置致錯(cuò),答案12或20,錯(cuò)源三 忽視變量的范圍致錯(cuò),剖析0只能保證方程x2-6x+2k=0有解,而不能保證原方程組有解.因?yàn)樵匠探M中有隱含條件0 x2,消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程看不到這個(gè)限制條件.,技法一 求焦點(diǎn)位置不確定的橢圓方程 焦點(diǎn)位置不確定的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常設(shè)為:mx2+ny2=1(m0,n0且mn). 【典例1】已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸,且長(zhǎng)軸是短軸的2倍,并且過(guò)點(diǎn)P(2,-6),求橢圓的方程.,技法二 求與已知橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程,