《角平分線的性質(zhì)》教案 2022年 (省一等獎(jiǎng))

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1、角平分線的性質(zhì) 總課題 課 題  全等三角形 角平分線的性質(zhì)〔2〕  總課時(shí)數(shù) 主 備 人  課型  第 16課時(shí) 新授 時(shí) 間 教 學(xué) 目 標(biāo) 教學(xué) 重點(diǎn) 教學(xué) 難點(diǎn) 教學(xué) 過(guò)程  1．會(huì)表達(dá)角的平分線的性質(zhì)，即“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上〞． 2．能應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題． 角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用． 靈活應(yīng)用兩個(gè)性質(zhì)解決問(wèn)題． 教 學(xué) 內(nèi) 容 一．創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 師：請(qǐng)同學(xué)們拿出一張紙，自己動(dòng)手，撕下一個(gè)角，把撕下

2、的角對(duì)折，使角的兩邊疊合在一起，再把紙 片展開(kāi)，你看到了什么？把對(duì)折的紙片再任意折一次，然后把紙片展開(kāi)，又看到了什么？ 生：我發(fā)現(xiàn)第一次對(duì)折后的折痕是這個(gè)角的平分線；再折一次，又會(huì)出現(xiàn)兩條折痕，而且這兩條折痕是 等長(zhǎng)的．這種方法可以做無(wú)數(shù)次，所以這種等長(zhǎng)的折痕可以折出無(wú)數(shù)對(duì)． 師：你的表達(dá)太精彩了．這說(shuō)明角的平分線除了有平分角的性質(zhì)，還有其他性質(zhì)，今天我們就來(lái)研究這 個(gè)問(wèn)題． 二．導(dǎo)入新課 角平分線的性質(zhì)即角的平分線，能推出什么樣的結(jié)論． 操作： 1．折出如以下圖的折痕 PD、PE． 2．你與同伴用三角板檢測(cè)你們所折的折痕是否符合圖示要求． 畫(huà)一畫(huà)： 按照折紙的順序畫(huà)

3、出一個(gè)角的三條折痕，并度量所畫(huà) PD、PE 是否等長(zhǎng)？ 拿出兩名同學(xué)的畫(huà)圖，放在投影下，請(qǐng)大家評(píng)一評(píng)，以達(dá)明確概念的目的． [生]同學(xué)乙的畫(huà)法是正確的．同學(xué)甲畫(huà)的是過(guò)角平分線上一點(diǎn)畫(huà)角平分線的垂線，而不是過(guò)角平分線上 一點(diǎn)畫(huà)兩邊的垂線段，所以同學(xué)甲的畫(huà)法不符合要求． [生甲]噢，對(duì)，我知道了． [師]同學(xué)甲，你再做一遍加深一下印象． 問(wèn)題 1：你能用文字語(yǔ)言表達(dá)所畫(huà)圖形的性質(zhì)嗎？ [生]角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等． 問(wèn)題 2：〔出示投影片〕 能否用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)翻譯“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等〞這句話．請(qǐng)?zhí)钕卤恚? 學(xué)生通過(guò)討論作出以下概括： 事

4、項(xiàng)：OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E 為垂足． 由事項(xiàng)推出的事項(xiàng)：PD=PE． 于是我們得角的平分線的性質(zhì)： 在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等． [師]那么到角的兩邊距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？〔出示投影〕 問(wèn)題 3：根據(jù)下表中的圖形和事項(xiàng)，猜測(cè)由事項(xiàng)可推出的事項(xiàng)，并用符號(hào)語(yǔ)言填寫(xiě)下表： [生討論]事項(xiàng)符合直角三角形全等的條件，所以 PEO≌△PDO〔HL〕．于是可得∠PDE=∠POD． 由推出的事項(xiàng)：點(diǎn) P 在∠AOB 的平分線上． [師]這樣的話，我們又可以得到一個(gè)性質(zhì)：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．同學(xué)們思考一下， 這

5、兩個(gè)性質(zhì)有什么聯(lián)系嗎？ [生]這兩個(gè)性質(zhì)條件和所推出的結(jié)論可以互換． [師]對(duì)，這是自己的語(yǔ)言，這一點(diǎn)在數(shù)學(xué)上叫“互逆性〞． 下面請(qǐng)同學(xué)們思考一個(gè)問(wèn)題． 思考： 如以下圖，要在 S 區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路、鐵路距離相等，?離公路與鐵路交叉處 500m，這個(gè)集 貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處〔在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為 1：20000〕？ 1．集貿(mào)市場(chǎng)建于何處，和本節(jié)學(xué)的角平分線性質(zhì)有關(guān)嗎？用哪一個(gè)性質(zhì)可以解決這個(gè)問(wèn)題？ 2．比例尺為 1：20000 是什么意思？ 〔學(xué)生以小組為單位討論，教師可深入到學(xué)生中，及時(shí)引導(dǎo)〕 討論結(jié)果展示： 1．應(yīng)該是用第二個(gè)性質(zhì)． ?這個(gè)集貿(mào)市

6、場(chǎng)應(yīng)該建在公路與鐵路形成的角的平分線上，并且要求離角的頂 點(diǎn) 500 米處． 2．在紙上畫(huà)圖時(shí)，我們經(jīng)常在厘米為單位，而題中距離又是以米為單位， ?這就涉及一個(gè)單位換算問(wèn)題 了．1m=100cm，所以比例尺為 1：20000，其實(shí)就是圖中 1cm?表示實(shí)際距離 200m 的意思．作圖如下： 第一步：尺規(guī)作圖法作出∠AOB 的平分線 OP． 第二步：在射線 OP 上截取 OC=，確定 C 點(diǎn)，C 點(diǎn)就是集貿(mào)市場(chǎng)所建地了． 總結(jié)：應(yīng)用角平分線的性質(zhì)，就可以省去證明三角形全等的步驟，?使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．所以假設(shè)遇到有關(guān)角 平分線，又要證線段相等的問(wèn)題，?我們可以直接利用性質(zhì)解決問(wèn)題．

7、[例]如圖，△ABC 的角平分線 BM、CN 相交于點(diǎn) P． 求證：點(diǎn) P 到三邊 AB、BC、CA 的距離相等． [師生共析]點(diǎn) P 到 AB、BC、CA 的垂線段 PD、PE、PF 的長(zhǎng)就是 P 點(diǎn)到三邊的距離，?也就是說(shuō)要證：PD=PE=PF．而 BM、CN 分別是∠B、∠C 的平分線，?根據(jù)角平分線性質(zhì)和等式的傳遞性可以解決這個(gè)問(wèn)題． 證明：過(guò)點(diǎn) P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足為 D、E、F． 因?yàn)?BM 是△ABC 的角平分線，點(diǎn) P 在 BM 上． 所以 PD=PE． 同理 PE=PF． 所以 PD=PE=PF． 即點(diǎn) P 到三邊 AB

8、、BC、CA 的距離相等． 三．隨堂練習(xí) 1．課本 P50 練習(xí)． 2．課本 P51 習(xí)題 12．3 第 3 題． 在這里要提醒學(xué)生直接利用角平分線的性質(zhì)，無(wú)須再證三角形全等． 四．課時(shí)小結(jié) 今天，我們學(xué)習(xí)了關(guān)于角平分線的兩個(gè)性質(zhì)：①角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；②到角的兩邊 距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．它們具有互逆性，可以看出，隨著研究的深入，解決問(wèn)題越來(lái)越簡(jiǎn)便了．像 與角平分線有關(guān)的求證線段相等、角相等問(wèn)題，我們可以直接利用角平分線的性質(zhì)，而不必再去證明三角形 全等而得出線段相等． 五．課后作業(yè)： 課本 P51 頁(yè)習(xí)題 12．3 第 4、5、6 題． 課

9、后 反 思 [教學(xué)反思] 學(xué)生對(duì)展開(kāi)圖通過(guò)各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇到問(wèn)題時(shí)，多數(shù)學(xué) 生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學(xué)中，我會(huì)不斷的鉆研探索，使我的課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的 樂(lè)園。 本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)，主要是讓學(xué)生通過(guò)觀察、動(dòng)手操作，熟悉長(zhǎng)方體、正方體的展開(kāi)圖以及圖形折疊后的 形狀。教學(xué)時(shí)，我讓每個(gè)學(xué)生帶長(zhǎng)方體或正方體的紙盒，每個(gè)學(xué)生都剪一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪 的方法不同，展開(kāi)圖的形狀也可能是不同的。學(xué)生在剪、拆盒子過(guò)程中，很容易把盒子拆散了，無(wú)法形成完整 的展開(kāi)圖，就要求適當(dāng)進(jìn)行指導(dǎo)。通過(guò)動(dòng)

10、手操作，動(dòng)腦思考，集體交流，不僅提高了學(xué)生的空間思維能力，而 且在情感上每位學(xué)生 都獲得了成功的體驗(yàn)，建立自信心。 24.1 圓 (第 3 課時(shí)) 教學(xué)內(nèi)容 1．圓周角的概念． 2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，?都等于這條弦所對(duì)的圓心角的一半． 推論：半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑及其它們的應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 1．了解圓周角的概念． 2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，?都等于這條弧所對(duì)的圓心角的 一半． 3．理解圓周角定理的推論：半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角，90?°的圓周角所對(duì)的

11、弦是直徑． 4．熟練掌握?qǐng)A周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用． 設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想給予邏輯證明定理，得 出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動(dòng)證明定理推論的正確性，最后運(yùn)用定理及其推導(dǎo)解決一些實(shí)際問(wèn)題． 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題． 2．難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理． 3．關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 〔學(xué)生活動(dòng)〕請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩個(gè)問(wèn)題． 1．什么叫圓心角？ 2．圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？ 老師點(diǎn)評(píng)：〔1〕我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角． 〔2〕在同圓

12、或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，?那么它們所對(duì)的其余各組量 都分別相等． 剛剛講的，頂點(diǎn)在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點(diǎn)不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周 上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決 二、探索新知 的問(wèn)題． 問(wèn)題：如下圖的⊙O，我們?cè)谏溟T(mén)游戲中，設(shè) E、F 是球門(mén)，?設(shè)球員們只 能 在 EF 所在的⊙O 其它位置射門(mén)，如下圖的 A、B、C 點(diǎn)．通過(guò)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像 EBF、∠ECF 這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，?并且兩邊都與圓相交的角叫做圓 現(xiàn)在通過(guò)圓周角的概念和度量的方法答復(fù)下面

13、的問(wèn)題． ∠EAF、∠ 周角． 1．一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？ 2．同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ A C 3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？ 〔學(xué)生分組討論〕提問(wèn)二、三位同學(xué)代表發(fā)言．  O 老師點(diǎn)評(píng)：  B 1．一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)． 2．通過(guò)度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對(duì)的圓周角是沒(méi)有變化的． 3．通過(guò)度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半． 下面，我們通過(guò)邏輯證明來(lái)說(shuō)明“同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)沒(méi)有變化， ? A  D  并且 它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓

14、心角的度數(shù)的一半．〞 〔1〕設(shè)圓周角∠ABC 的一邊 BC 是⊙O 的直徑，如下圖 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO  B O  C ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC= 1 2  ∠AOC 〔2〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB、AC 在一條直徑 OD 的兩側(cè)，那么∠ABC= 嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成這道題的說(shuō)明過(guò)程． 1 2  ∠ AOC 老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié) BO 交⊙O 于 D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC ?那么就有∠A

15、OD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC． 的外角， 〔3〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB、AC 在一條直徑 OD 的同側(cè)，那么∠ABC= 嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成證明． 1 2  ∠ AOC 老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié) OA、OC，連結(jié) BO 并延長(zhǎng)交⊙O 于 D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD- ∠CBO= 1 1 1 ∠AOD- ∠COD= ∠AOC 2 2 2 現(xiàn)在，我如果在畫(huà)一個(gè)任意的圓周角∠AB′C，?同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓 周角是相等的． 從〔1

16、〕、〔2〕、〔3〕，我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半． 進(jìn)一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)： 半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑． 下面，我們通過(guò)這個(gè)定理和推論來(lái)解一些題目． 例 1．如圖，AB 是⊙O 的直徑，BD 是⊙O 的弦，延長(zhǎng) BD 到 C，使 AC=AB，BD 與 CD 的大小有什么關(guān)系？為什么？ 分析：BD=CD，因?yàn)?AB=AC，所以這個(gè)△ABC 是等腰，要證明 D 是 BC 的中點(diǎn)， ?只要連結(jié) AD 證明 AD 是高或是∠BAC 的平分線即可． 解：BD=CD

17、 理由是：如圖 24-30，連接 AD ∵AB 是⊙O 的直徑 ∴∠ADB=90°即 AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、穩(wěn)固練習(xí) 1．教材 P92 思考題． 2．教材 P93 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例 2 ．如圖，△ ABC 內(nèi)接于⊙ O ，∠A 、∠B、∠C 的對(duì)邊分別設(shè)為 a ，b ，c ，⊙O 半徑為 R ，求證： a b c = = =2R． sin A sin B sin C a b c a 分析：要證明 = = =2R，只要證明 =2R， sin A sin B sin C sin A b sin B  =2R ，

18、 c a b c =2R，即 sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十清楚顯要在直角三角形中進(jìn)行． sin C 2 R 2 R 2 R 證明：連接 CO 并延長(zhǎng)交⊙O 于 D，連接 DB ∵CD 是直徑 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D 在 Rt△DBC 中，sinD= BC a ，即 2R= DC sin A b c 同理可證： =2R， =2R sin B sin C a b c ∴ = = =2R sin A sin B sin C 五、歸納小結(jié)〔學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)〕 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．圓周角的概念； 2．圓周角的定理：在

19、同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，?都相等這條弧所對(duì)的圓心角的一半； 3．半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑． 4．應(yīng)用圓周角的定理及其推導(dǎo)解決一些具體問(wèn)題． 六、布置作業(yè) 1．教材 P95 綜合運(yùn)用 9、10、 [教學(xué)反思] 學(xué)生對(duì)展開(kāi)圖通過(guò)各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇到問(wèn)題時(shí)，多數(shù)學(xué) 生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學(xué)中，我會(huì)不斷的鉆研探索，使我的課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的 樂(lè)園。 本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)，主要是讓學(xué)生通過(guò)觀察、動(dòng)手操作，熟悉長(zhǎng)方體、正方體的展開(kāi)圖以及圖形折疊后的 形狀。教學(xué)時(shí)，我讓每個(gè)學(xué)生帶長(zhǎng)方體或正方體的紙盒，每個(gè)學(xué)生都剪一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪 的方法不同，展開(kāi)圖的形狀也可能是不同的。學(xué)生在剪、拆盒子過(guò)程中，很容易把盒子拆散了，無(wú)法形成完整 的展開(kāi)圖，就要求適當(dāng)進(jìn)行指導(dǎo)。通過(guò)動(dòng)手操作，動(dòng)腦思考，集體交流，不僅提高了學(xué)生的空間思維能力，而 且在情感上每位學(xué)生 都獲得了成功的體驗(yàn)，建立自信心。