人教版第22章 二次函數(shù)測試卷(3)
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第22章 二次函數(shù)測試卷(3) 一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分) 1.(3分)在下列y關(guān)于x的函數(shù)中,一定是二次函數(shù)的是( ?。? A.y=x2 B.y= C.y=kx2 D.y=k2x 2.(3分)是二次函數(shù),則m的值為( ?。? A.0,﹣2 B.0,2 C.0 D.﹣2 3.(3分)在同一平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+b和二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可能為( ?。? A. B. C. D. 4.(3分)某同學(xué)在用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時(shí),列出下面的表格: x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … ﹣7.5 ﹣2.5 0.5 1.5 0.5 … 根據(jù)表格提供的信息,下列說法錯(cuò)誤的是( ?。? A.該拋物線的對稱軸是直線x=﹣2 B.該拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣2.5) C.b2﹣4ac=0 D.若點(diǎn)A(0.5,y1)是該拋物線上一點(diǎn).則y1<﹣2.5 5.(3分)關(guān)于拋物線y=x2﹣2x+1,下列說法錯(cuò)誤的是( ?。? A.開口向上 B.與x軸有兩個(gè)重合的交點(diǎn) C.對稱軸是直線x=1 D.當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而減小 6.(3分)已知拋物線y=x2+bx+c的部分圖象如圖所示,若y<0,則x的取值范圍是( ?。? A.﹣1<x<4 B.﹣1<x<3 C.x<﹣1或x>4 D.x<﹣1或x>3 7.(3分)二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( ?。? A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) 8.(3分)已知關(guān)于x的方程ax+b=0(a≠0)的解為x=﹣2,點(diǎn)(1,3)是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上的一個(gè)點(diǎn),則下列四個(gè)點(diǎn)中一定在該拋物線上的是( ?。? A.(2,3) B.(0,3) C.(﹣1,3) D.(﹣3,3) 9.(3分)二次函數(shù)y=﹣x2+2x+4的最大值為( ?。? A.3 B.4 C.5 D.6 10.(3分)已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①abc>0;②a+b+c=2;③a<;④b>1.其中正確的結(jié)論是( ?。? A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 二、填空題(共6小題,每小題3分,共18分) 11.(3分)已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù),則m的值為 . 12.(3分)如圖是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函數(shù)y2=mx+n(m≠0)的圖象,當(dāng)y2>y1,x的取值范圍是 ?。? 13.(3分)若二次函數(shù)的圖象開口向下,且經(jīng)過(2,﹣3)點(diǎn).符合條件的一個(gè)二次函數(shù)的解析式為 ?。? 14.(3分)已知點(diǎn)P(m,n)在拋物線y=ax2﹣x﹣a上,當(dāng)m≥﹣1時(shí),總有n≤1成立,則a的取值范圍是 ?。? 15.(3分)二次函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,y1)、(2,y2),則y1 y2(填“>”或“<”). 16.(3分)二次函數(shù)y=x2+2x+2的最小值為 . 三、解答題(共8題,共72分) 17.(8分)已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2,3),且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),求這條拋物線的解析式. 18.(8分)已知函數(shù)y=u+v,其中u與x的平方成正比,v是x的一次函數(shù), (1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),確定v的函數(shù)式; (2)如果x=﹣1時(shí),函數(shù)y取最小值,求y關(guān)于x的函數(shù)式; (3)在(2)的條件下,寫出y的最小值. 19.(8分)如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0)、B(3,0)兩點(diǎn). (1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo); (2)當(dāng)0<x<3時(shí),求y的取值范圍; (3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),若S△PAB=10,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 20.(8分)如圖,拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A,經(jīng)過點(diǎn)A的直線交該拋物線于點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C,且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn). (1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式; (2)求直線AB對應(yīng)的函數(shù)解析式. 21.(8分)如圖,用一段長為30米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻(墻的長度不限)的矩形菜園ABCD,設(shè)AB邊長為x米,則菜園的面積y(單位:米2)與x(單位:米)的函數(shù)關(guān)系式為多少? 22.(10分)某商店原來平均每天可銷售某種水果200千克,每千克可盈利6元,為減少庫存,經(jīng)市場調(diào)查,如果這種水果每千克降價(jià)1元,則每天可所多售出20千克. (1)設(shè)每千克水果降價(jià)x元,平均每天盈利y元,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式; (2)若要平均每天盈利960元,則每千克應(yīng)降價(jià)多少元? 23.(10分)如圖,頂點(diǎn)為M的拋物線y=a(x+1)2﹣4分別與x軸相交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C(0,﹣3). (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式; (2)判斷△BCM是否為直角三角形,并說明理由. 24.(12分)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+1經(jīng)過點(diǎn)A(4,﹣3),頂點(diǎn)為點(diǎn)B,點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),l是過點(diǎn)(0,2)且垂直于y軸的直線,過P作PH⊥l,垂足為H,連接PO. (1)求拋物線的解析式,并寫出其頂點(diǎn)B的坐標(biāo); (2)①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)處時(shí),計(jì)算:PO= ,PH= ,由此發(fā)現(xiàn),PO PH(填“>”、“<”或“=”); ②當(dāng)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想; (3)如圖2,設(shè)點(diǎn)C(1,﹣2),問是否存在點(diǎn)P,使得以P,O,H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 參考答案與試題解析 一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分) 1.(3分)在下列y關(guān)于x的函數(shù)中,一定是二次函數(shù)的是( ?。? A.y=x2 B.y= C.y=kx2 D.y=k2x 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的定義. 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義形如y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函數(shù). 【解答】解:A、是二次函數(shù),故A符合題意; B、是分式方程,故B錯(cuò)誤; C、k=0時(shí),不是函數(shù),故C錯(cuò)誤; D、k=0是常數(shù)函數(shù),故D錯(cuò)誤; 故選:A. 【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的定義,形如y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函數(shù). 2.(3分)是二次函數(shù),則m的值為( ?。? A.0,﹣2 B.0,2 C.0 D.﹣2 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的定義. 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義知道其系數(shù)不為零且指數(shù)為2,從而求得m的值. 【解答】解:∵是二次函數(shù), ∴ 解得:m=﹣2, 故選D. 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的定義,特別是遇到二次函數(shù)的解析式中二次項(xiàng)含有字母系數(shù)時(shí),要注意字母系數(shù)的取值不能使得二次項(xiàng)系數(shù)為0. 3.(3分)在同一平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+b和二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可能為( ) A. B. C. D. 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象. 【分析】本題可先由二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象得到字母系數(shù)的正負(fù),再與一次函數(shù)y=ax+b的圖象相比較看是否一致. 【解答】解:A、由拋物線可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直線可知,a<0,b<0,故本選項(xiàng)正確; B、由拋物線可知,a>0,由直線可知,a<0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; C、由拋物線可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直線可知,a>0,b>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; D、由拋物線可知,a>0,由直線可知,a<0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故選:A. 【點(diǎn)評】本題考查拋物線和直線的性質(zhì),用假設(shè)法來搞定這種數(shù)形結(jié)合題是一種很好的方法. 4.(3分)某同學(xué)在用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時(shí),列出下面的表格: x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … ﹣7.5 ﹣2.5 0.5 1.5 0.5 … 根據(jù)表格提供的信息,下列說法錯(cuò)誤的是( ) A.該拋物線的對稱軸是直線x=﹣2 B.該拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣2.5) C.b2﹣4ac=0 D.若點(diǎn)A(0.5,y1)是該拋物線上一點(diǎn).則y1<﹣2.5 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象. 【分析】根據(jù)表格提供的信息以及拋物線的性質(zhì)一一判斷即可. 【解答】解:A、正確.因?yàn)閤=﹣1或﹣3時(shí),y的值都是0.5,所以對稱軸是x=﹣2. B、正確.根據(jù)對稱性,x=0時(shí)的值和x=﹣4的值相等. C、錯(cuò)誤.因?yàn)閽佄锞€與x軸有交點(diǎn),所以b2﹣4ac>0. D、正確.因?yàn)樵趯ΨQ軸的右側(cè)y隨x增大而減?。? 故選C. 【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象以及性質(zhì),需要靈活應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題,讀懂信息是解題的關(guān)鍵,屬于中考??碱}型. 5.(3分)關(guān)于拋物線y=x2﹣2x+1,下列說法錯(cuò)誤的是( ?。? A.開口向上 B.與x軸有兩個(gè)重合的交點(diǎn) C.對稱軸是直線x=1 D.當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而減小 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì);二次函數(shù)的圖象. 【分析】根據(jù)拋物線的解析式畫出拋物線的圖象,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象,逐項(xiàng)分析四個(gè)選項(xiàng),即可得出結(jié)論. 【解答】解:畫出拋物線y=x2﹣2x+1的圖象,如圖所示. A、∵a=1, ∴拋物線開口向上,A正確; B、∵令x2﹣2x+1=0,△=(﹣2)2﹣4×1×1=0, ∴該拋物線與x軸有兩個(gè)重合的交點(diǎn),B正確; C、∵﹣=﹣=1, ∴該拋物線對稱軸是直線x=1,C正確; D、∵拋物線開口向上,且拋物線的對稱軸為x=1, ∴當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而增大,D不正確. 故選D. 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象,解題的關(guān)鍵是結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象分析四個(gè)選項(xiàng).本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時(shí),根據(jù)二次函數(shù)的解析式畫出函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合來解決問題是關(guān)鍵. 6.(3分)已知拋物線y=x2+bx+c的部分圖象如圖所示,若y<0,則x的取值范圍是( ?。? A.﹣1<x<4 B.﹣1<x<3 C.x<﹣1或x>4 D.x<﹣1或x>3 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn). 【專題】計(jì)算題. 【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸求出它與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo),求當(dāng)y<0,x的取值范圍就是求函數(shù)圖象位于x軸的下方的圖象相對應(yīng)的自變量x的取值范圍. 【解答】解:由圖象知,拋物線與x軸交于(﹣1,0),對稱軸為x=1, ∴拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0), ∵y<0時(shí),函數(shù)的圖象位于x軸的下方, 且當(dāng)﹣1<x<3時(shí)函數(shù)圖象位于x軸的下方, ∴當(dāng)﹣1<x<3時(shí),y<0. 故選B. 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)及學(xué)生的識圖能力,是一道不錯(cuò)的考查二次函數(shù)圖象的題目. 7.(3分)二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( ?。? A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn). 【分析】先計(jì)算根的判別式的值,然后根據(jù)b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷. 【解答】解:∵△=(﹣2)2﹣4×1×(﹣2)=12>0, ∴二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣2與x軸有2個(gè)交點(diǎn),與y軸有一個(gè)交點(diǎn). ∴二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是3個(gè). 故選D. 【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn):求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),令y=0,即ax2+bx+c=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo).二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關(guān)系:△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù);△=b2﹣4ac>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn). 8.(3分)已知關(guān)于x的方程ax+b=0(a≠0)的解為x=﹣2,點(diǎn)(1,3)是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上的一個(gè)點(diǎn),則下列四個(gè)點(diǎn)中一定在該拋物線上的是( ?。? A.(2,3) B.(0,3) C.(﹣1,3) D.(﹣3,3) 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征. 【分析】根據(jù)一次方程ax+b=0(a≠0)的解為x=﹣2得出b=2a,由此即可得出拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=﹣1,找出點(diǎn)(1,3)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn),即可得出結(jié)論. 【解答】解:∵關(guān)于x的方程ax+b=0(a≠0)的解為x=﹣2, ∴有﹣2a+b=0,即b=2a. ∴拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸x=﹣=﹣1. ∵點(diǎn)(1,3)是拋物線上的一點(diǎn), ∴點(diǎn)(﹣3,3)是拋物線上的一點(diǎn). 故選D. 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,解題的關(guān)鍵是找出拋物線的對稱軸為x=﹣1.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時(shí),找出拋物線的對稱軸,找出已知點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)即可. 9.(3分)二次函數(shù)y=﹣x2+2x+4的最大值為( ?。? A.3 B.4 C.5 D.6 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值. 【專題】計(jì)算題. 【分析】先利用配方法得到y(tǒng)=﹣(x﹣1)2+5,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解. 【解答】解:y=﹣(x﹣1)2+5, ∵a=﹣1<0, ∴當(dāng)x=1時(shí),y有最大值,最大值為5. 故選:C. 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的最值:當(dāng)a>0時(shí),拋物線在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而減少;在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而增大,因?yàn)閳D象有最低點(diǎn),所以函數(shù)有最小值,當(dāng)x=﹣時(shí),y=;當(dāng)a<0時(shí),拋物線在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而增大;在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而減少,因?yàn)閳D象有最高點(diǎn),所以函數(shù)有最大值,當(dāng)x=﹣時(shí),y=;確定一個(gè)二次函數(shù)的最值,首先看自變量的取值范圍,當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí),其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo);當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí),要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較這些函數(shù)值,從而獲得最值. 10.(3分)已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①abc>0;②a+b+c=2;③a<;④b>1.其中正確的結(jié)論是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系. 【專題】壓軸題. 【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系,由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系,然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理,進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷. 【解答】解:①∵拋物線的開口向上,∴a>0, ∵與y軸的交點(diǎn)為在y軸的負(fù)半軸上,∴c<0, ∵對稱軸為x=<0,∴a、b同號,即b>0, ∴abc<0, 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; ②當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)值為2, ∴a+b+c=2; 故本選項(xiàng)正確; ③∵對稱軸x=>﹣1, 解得:<a, ∵b>1, ∴a>, 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; ④當(dāng)x=﹣1時(shí),函數(shù)值<0, 即a﹣b+c<0,(1) 又a+b+c=2, 將a+c=2﹣b代入(1), 2﹣2b<0, ∴b>1 故本選項(xiàng)正確; 綜上所述,其中正確的結(jié)論是②④; 故選D. 【點(diǎn)評】二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號的確定: (1)a由拋物線開口方向確定:開口方向向上,則a>0;否則a<0. (2)b由對稱軸和a的符號確定:由對稱軸公式x=判斷符號. (3)c由拋物線與y軸的交點(diǎn)確定:交點(diǎn)在y軸正半軸,則c>0;否則c<0. (4)b2﹣4ac的符號由拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定:2個(gè)交點(diǎn),b2﹣4ac>0;1個(gè)交點(diǎn),b2﹣4ac=0;沒有交點(diǎn),b2﹣4ac<0. (5)當(dāng)x=1時(shí),可確定a+b+c的符號,當(dāng)x=﹣1時(shí),可確定a﹣b+c的符號. (6)由對稱軸公式x=,可確定2a+b的符號. 二、填空題(共6小題,每小題3分,共18分) 11.(3分)已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù),則m的值為 ﹣1?。? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的定義. 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列出不等式求解即可. 【解答】解:根據(jù)題意得:, 解得:m=﹣1. 故答案是:﹣1. 【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的定義,注意到m﹣1≠0是關(guān)鍵. 12.(3分)如圖是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函數(shù)y2=mx+n(m≠0)的圖象,當(dāng)y2>y1,x的取值范圍是 ﹣2<x<1 . 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象. 【分析】關(guān)鍵是從圖象上找出兩函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系,判斷y2>y1時(shí),x的取值范圍. 【解答】解:從圖象上看出,兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(﹣2,0),(1,3), ∴當(dāng)有y2>y1時(shí),有﹣2<x<1, 故答案為:﹣2<x<1. 【點(diǎn)評】此題考查了學(xué)生從圖象中讀取信息的數(shù)形結(jié)合能力.解決此類識圖題,同學(xué)們要注意分析其中的“關(guān)鍵點(diǎn)”,還要善于分析各圖象的變化趨勢. 13.(3分)若二次函數(shù)的圖象開口向下,且經(jīng)過(2,﹣3)點(diǎn).符合條件的一個(gè)二次函數(shù)的解析式為 y=﹣x2﹣2x+5 . 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì). 【專題】開放型. 【分析】由于二次函數(shù)的圖象開口向下,所以二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù),而圖象還經(jīng)過(2,﹣3)點(diǎn),由此即可確定這樣的函數(shù)解析式不唯一. 【解答】解:∵若二次函數(shù)的圖象開口向下,且經(jīng)過(2,﹣3)點(diǎn), ∴y=﹣x2﹣2x+5符合要求. 答案不唯一. 例如:y=﹣x2﹣2x+5. 【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵根據(jù)圖象的性質(zhì)確定解析式的各項(xiàng)系數(shù). 14.(3分)已知點(diǎn)P(m,n)在拋物線y=ax2﹣x﹣a上,當(dāng)m≥﹣1時(shí),總有n≤1成立,則a的取值范圍是 ﹣≤a<0?。? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征. 【分析】依照題意畫出圖形,結(jié)合函數(shù)圖形以及已知條件可得出關(guān)于a的一元一次不等式組,解不等式組即可得出a的取值范圍. 【解答】解:根據(jù)已知條件,畫出函數(shù)圖象,如圖所示. 由已知得:, 解得:﹣≤a<0. 故答案為:﹣≤a<0 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象,依照數(shù)形結(jié)合得出關(guān)于a的不等式組.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時(shí),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合解決問題是關(guān)鍵. 15.(3分)二次函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,y1)、(2,y2),則y1?。肌2(填“>”或“<”). 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;二次函數(shù)的性質(zhì). 【分析】根據(jù)a>0,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出“當(dāng)x>0時(shí),二次函數(shù)y值隨著x值的增大而增大”,再由0<1<2即可得出結(jié)論. 【解答】解:∵a>0,且二次函數(shù)的對稱軸為x=0, ∴當(dāng)x>0時(shí),二次函數(shù)y值隨著x值的增大而增大, ∵0<1<2, ∴y1<y2. 故答案為:<. 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是找出當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)為增函數(shù).本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時(shí),根據(jù)二次函數(shù)的系數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)找出其單調(diào)區(qū)間是關(guān)鍵. 16.(3分)二次函數(shù)y=x2+2x+2的最小值為 1 . 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值. 【分析】把二次函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式,然后寫出最小值即可. 【解答】解:配方得:y=x2+2x+2=y=x2+2x+12+1=(x+1)2+1, 當(dāng)x=﹣1時(shí),二次函數(shù)y=x2+2x+2取得最小值為1. 故答案是:1. 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的最值.求二次函數(shù)的最大(小)值有三種方法,第一種可由圖象直接得出,第二種是配方法,第三種是公式法. 三、解答題(共8題,共72分) 17.(8分)已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2,3),且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),求這條拋物線的解析式. 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式. 【分析】由于已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+1)2+2,然后把(0,4)代入求出a的值即可. 【解答】解:∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1), 設(shè)拋物線為y=a(x﹣1)2+1, ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2,3), ∴3=a(2﹣1)2+1, 解得:a=2. ∴y=2(x﹣1)2+1=2x2﹣4x+3. 【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式:在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí),要根據(jù)題目給定的條件,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式,從而代入數(shù)值求解.一般地,當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí),常選擇一般式,用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解;當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí),常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解;當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解. 18.(8分)已知函數(shù)y=u+v,其中u與x的平方成正比,v是x的一次函數(shù), (1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),確定v的函數(shù)式; (2)如果x=﹣1時(shí),函數(shù)y取最小值,求y關(guān)于x的函數(shù)式; (3)在(2)的條件下,寫出y的最小值. 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值;待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式. 【專題】計(jì)算題. 【分析】(1)v是x的一次函數(shù),可設(shè)v=kx+b,然后把表中兩組數(shù)據(jù)代入得到關(guān)于k、b的方程組,解方程組求出k、b即可; (2)由于u與x的平方成正比,則設(shè)u=ax2,所以y=ax2+2x﹣1,根據(jù)二次函數(shù)的最值問題得到﹣=﹣1,解得a=1,由此得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)式; (3)把x=﹣1代入y關(guān)于x的函數(shù)式中計(jì)算出對應(yīng)的函數(shù)值即可. 【解答】解:(1)設(shè)v=kx+b,把(0,﹣1)、(1,1)代入得,解得, ∴v=2x﹣1; (2)設(shè)u=ax2,則y=ax2+2x﹣1, ∵當(dāng)x=﹣1時(shí),y=ax2+2x﹣1取最小值, ∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1,即, ∴a=1, ∴y=x2+2x﹣1, (3)把x=﹣1代入y=x2+2x﹣1得y=1﹣2﹣1=﹣2, 即y的最小值為﹣2. 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最值:當(dāng)a>0時(shí),拋物線在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而減少;在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而增大,因?yàn)閳D象有最低點(diǎn),所以函數(shù)有最小值,當(dāng)x=時(shí),y=;當(dāng)a<0時(shí),拋物線在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而增大;在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而減少,因?yàn)閳D象有最高點(diǎn),所以函數(shù)有最大值,當(dāng)x=時(shí),y=. 19.(8分)如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0)、B(3,0)兩點(diǎn). (1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo); (2)當(dāng)0<x<3時(shí),求y的取值范圍; (3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),若S△PAB=10,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)的性質(zhì). 【分析】(1)由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式,再利用配方法即可求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo); (2)結(jié)合函數(shù)圖象以及A、B點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)論; (3)設(shè)P(x,y),根據(jù)三角形的面積公式以及S△PAB=10,即可算出y的值,代入拋物線解析式即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo). 【解答】解:(1)把A(﹣1,0)、B(3,0)分別代入y=x2+bx+c中, 得:,解得:, ∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3. ∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4, ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣4). (2)由圖可得當(dāng)0<x<3時(shí),﹣4≤y<0. (3)∵A(﹣1,0)、B(3,0), ∴AB=4. 設(shè)P(x,y),則S△PAB=AB?|y|=2|y|=10, ∴|y|=5, ∴y=±5. ①當(dāng)y=5時(shí),x2﹣2x﹣3=5,解得:x1=﹣2,x2=4, 此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,5)或(4,5); ②當(dāng)y=﹣5時(shí),x2﹣2x﹣3=﹣5,方程無解; 綜上所述,P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,5)或(4,5). 【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積公式以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,解題的關(guān)鍵是:(1)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式;(2)根據(jù)函數(shù)圖象解不等式;(3)找出關(guān)于y的方程.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時(shí),根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵. 20.(8分)如圖,拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A,經(jīng)過點(diǎn)A的直線交該拋物線于點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C,且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn). (1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式; (2)求直線AB對應(yīng)的函數(shù)解析式. 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn);待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式. 【專題】計(jì)算題. 【分析】(1)利用△=b2﹣4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)得到4a2﹣4a=0,然后解關(guān)于a的方程求出a,即可得到拋物線解析式; (2)利用點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)可判斷點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),則可以利用拋物線解析式確定B點(diǎn)坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式. 【解答】解:(1)∵拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A, ∴△=4a2﹣4a=0,解得a1=0(舍去),a2=1, ∴拋物線解析式為y=x2+2x+1; (2)∵y=(x+1)2, ∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0), ∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn), 即點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于C點(diǎn)對稱, ∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1, 當(dāng)x=1時(shí),y=x2+2x+1=1+2+1=4,則B(1,4), 設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b, 把A(﹣1,0),B(1,4)代入得,解得, ∴直線AB的解析式為y=2x+2. 【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn):對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0),△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):△=b2﹣4ac>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn).也考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式. 21.(8分)如圖,用一段長為30米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻(墻的長度不限)的矩形菜園ABCD,設(shè)AB邊長為x米,則菜園的面積y(單位:米2)與x(單位:米)的函數(shù)關(guān)系式為多少? 【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式. 【分析】由AB邊長為x米根據(jù)已知可以推出BC=(30﹣x),然后根據(jù)矩形的面積公式即可求出函數(shù)關(guān)系式. 【解答】解:∵AB邊長為x米, 而菜園ABCD是矩形菜園, ∴BC=(30﹣x), 菜園的面積=AB×BC=(30﹣x)?x, 則菜園的面積y(單位:米2)與x(單位:米)的函數(shù)關(guān)系式為:y=﹣x2+15x. 【點(diǎn)評】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)解析式,利用矩形的周長公式用x表示BC,然后利用矩形的面積公式即可解決問題,本題的難點(diǎn)在于得到BC長. 22.(10分)某商店原來平均每天可銷售某種水果200千克,每千克可盈利6元,為減少庫存,經(jīng)市場調(diào)查,如果這種水果每千克降價(jià)1元,則每天可所多售出20千克. (1)設(shè)每千克水果降價(jià)x元,平均每天盈利y元,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式; (2)若要平均每天盈利960元,則每千克應(yīng)降價(jià)多少元? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用. 【分析】(1)根據(jù)“每天利潤=每天銷售質(zhì)量×每千克的利潤”即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; (2)將y=960代入(1)中函數(shù)關(guān)系式中,得出關(guān)于x的一元二次方程,解方程即可得出結(jié)論. 【解答】解:(1)根據(jù)題意得: y=(200+20x)×(6﹣x)=﹣20x2﹣80x+1200. (2)令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960,則有960=﹣20x2﹣80x+1200, 即x2+4x﹣12=0, 解得:x=﹣6(舍去),或x=2. 答:若要平均每天盈利960元,則每千克應(yīng)降價(jià)2元. 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出函數(shù)關(guān)系式;(2)將y=960代入函數(shù)關(guān)系式得出關(guān)于x的一元二次方程.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時(shí)結(jié)合數(shù)量關(guān)系找出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵. 23.(10分)如圖,頂點(diǎn)為M的拋物線y=a(x+1)2﹣4分別與x軸相交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C(0,﹣3). (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式; (2)判斷△BCM是否為直角三角形,并說明理由. 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn);待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式. 【分析】(1)將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式求得a即可; (2)先根據(jù)拋物線解析式求得點(diǎn)M、B、C的坐標(biāo),繼而可得線段BC、CM、BM的長,根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷. 【解答】解:(1)∵拋物線y=a(x+1)2﹣4與y軸相交于點(diǎn)C(0,﹣3). ∴﹣3=a﹣4, ∴a=1, ∴拋物線解析式為y=(x+1)2﹣4=x2+2x﹣3, (2)△BCM是直角三角形 ∵由(1)知拋物線解析式為y=(x+1)2﹣4, ∴M(﹣1,﹣4), 令y=0,得:x2+2x﹣3=0, ∴x1=﹣3,x2=1, ∴A(1,0),B(﹣3,0), ∴BC2=9+9=18,CM2=1+1=2,BM2=4+16=20, ∴BC2+CM2=BM2, ∴△BCM是直角三角形. 【點(diǎn)評】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及勾股定理逆定理,根據(jù)題意求得拋物線解析式是解題的根本,掌握勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵. 24.(12分)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+1經(jīng)過點(diǎn)A(4,﹣3),頂點(diǎn)為點(diǎn)B,點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),l是過點(diǎn)(0,2)且垂直于y軸的直線,過P作PH⊥l,垂足為H,連接PO. (1)求拋物線的解析式,并寫出其頂點(diǎn)B的坐標(biāo); (2)①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)處時(shí),計(jì)算:PO= 5 ,PH= 5 ,由此發(fā)現(xiàn),PO = PH(填“>”、“<”或“=”); ②當(dāng)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想; (3)如圖2,設(shè)點(diǎn)C(1,﹣2),問是否存在點(diǎn)P,使得以P,O,H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題. 【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題. (2)①求出PO、PH即可解決問題. ②結(jié)論:PO=PH.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)(m,﹣m2+1),利用兩點(diǎn)之間距離公式求出PH、PO即可解決問題. (3)首先判斷PH與BC,PO與AC是對應(yīng)邊,設(shè)點(diǎn)P(m,﹣m2+1),由=列出方程即可解決問題. 【解答】(1)解:∵拋物線y=ax2+1經(jīng)過點(diǎn)A(4,﹣3), ∴﹣3=16a+1, ∴a=﹣, ∴拋物線解析式為y=﹣x2+1,頂點(diǎn)B(0,1). (2)①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)處時(shí),∵PO=5,PH=5, ∴PO=PH, 故答案分別為5,5,=. ②結(jié)論:PO=PH. 理由:設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)(m,﹣m2+1), ∵PH=2﹣(﹣m2+1)=m2+1 PO==m2+1, ∴PO=PH. (3)∵BC==,AC==,AB==4 ∴BC=AC, ∵PO=PH, 又∵以P,O,H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似, ∴PH與BC,PO與AC是對應(yīng)邊, ∴=,設(shè)點(diǎn)P(m,﹣m2+1), ∴=, 解得m=±1, ∴點(diǎn)P坐標(biāo)(1,)或(﹣1,). 【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是記住兩點(diǎn)之間的距離公式,學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想,用方程去解決問題,屬于中考壓軸題. 第27頁(共27頁)- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 人教版第22章 二次函數(shù)測試卷3 人教版第 22 二次 函數(shù) 測試
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