2013年中考數學模擬試題匯編 一元二次方程

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1、2013年中考數學模擬試題匯編 一元二次方程 【例1】已知：關于的方程． ⑴求證：取任何實數時，方程總有實數根； ⑵若二次函數的圖象關于軸對稱． ①求二次函數的解析式； ②已知一次函數，證明：在實數范圍內，對于的同一個值，這兩個函數所對應的函數值均成立； ⑶在⑵條件下，若二次函數的圖象經過點，且在實數范圍內，對于的同一個值，這三個函數所對應的函數值，均成立，求二次函數的解析式． 【思路分析】本題是一道典型的從方程轉函數的問題，這是比較常見的關于一元二次方程與二次函數的考查方式。由于并未說明該方程是否是一元二次方程，所以需要討論M=0和M≠0兩種情況，然后利用根的判別式去判斷。第二

2、問的第一小問考關于Y軸對稱的二次函數的性質，即一次項系數為0，然后求得解析式。第二問加入了一個一次函數，證明因變量的大小關系，直接相減即可。事實上這個一次函數恰好是拋物線的一條切線，只有一個公共點（1，0）。根據這個信息，第三問的函數如果要取不等式等號，也必須過該點。于是通過代點，將用只含a的表達式表示出來,再利用,構建兩個不等式,最終分析出a為何值時不等式取等號,于是可以得出結果. 【解析】 解：（1）分兩種情況： 當時，原方程化為，解得， （不要遺漏） ∴當，原方程有實數根. 當時，原方程為關于的一元二次方程， ∵. ∴原方程有兩個實數根. （如果上面的方程不是完全

3、平方式該怎樣辦？再來一次根的判定，讓判別式小于0就可以了，不過中考如果不是壓軸題基本判別式都會是完全平方式，大家注意就是了） 綜上所述，取任何實數時，方程總有實數根. （2）①∵關于的二次函數的圖象關于軸對稱， ∴.（關于Y軸對稱的二次函數一次項系數一定為0） ∴ ∴拋物線的解析式為. ②∵，（判斷大小直接做差） ∴（當且僅當時，等號成立）. （3）由②知，當時，. ∴、的圖象都經過. （很重要，要對那個等號有敏銳的感覺） ∵對于的同一個值，， ∴的圖象必經過. 又∵經過， ∴. （巧妙的將表達式化成兩點式，避免繁瑣計算） 設. ∵對于的同一

4、個值，這三個函數所對應的函數值均成立， ∴， ∴. 又根據、的圖象可得 ， ∴.（a>0時,頂點縱坐標就是函數的最小值） ∴. ∴. 而. 只有，解得. ∴拋物線的解析式為. 【例2】關于的一元二次方程. （1）當為何值時，方程有兩個不相等的實數根； （2）點是拋物線上的點，求拋物線的解析式； （3）在（2）的條件下，若點與點關于拋物線的對稱軸對稱，是否存在與拋物線只交于點的直線，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由. 【思路分析】第一問判別式依然要注意二次項系數不為零這一條件。第二問給點求解析式，比較簡單。值得關注的是第三問，要注意如果有一

5、次函數和二次函數只有一個交點，則需要設直線y=kx+b以后聯立，新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因為y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x軸的直線,恰恰這種直線也是和拋物線僅有一個交點,所以需要分情況討論,不要遺漏任何一種可能. 【解析】： （1）由題意得 解得 解得 當且時，方程有兩個不相等的實數根. （2）由題意得 解得（舍） (始終牢記二次項系數不為0) （3）拋物線的對稱軸是 由題意得 (關于對稱軸對稱的點的性質要掌握) 與拋物線有且只有一

6、個交點 (這種情況考試中容易遺漏) 另設過點的直線（） 把代入，得， 整理得 有且只有一個交點， 解得 綜上，與拋物線有且只有一個交點的直線的解析式有， 【例3】 已知P（)和Q（1，）是拋物線上的兩點． （1）求的值； （2）判斷關于的一元二次方程=0是否有實數根，若有，求出它的實數根；若沒有，請說明理由； （3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數）個單位，使平移后的圖象與軸無交點，求的最小值． 【思路分析】 拿到題目，很多同學不假思索就直接開始代點，然后建立二元方程組， 十分麻煩，計算量大，浪費時間并

7、且可能出錯。但是仔細看題，發(fā)現P,Q縱坐標是一樣的，說明他們關于拋物線的對稱軸對稱。而拋物線只有一個未知系數，所以輕松寫出對稱軸求出b。 第二問依然是判別式問題，比較簡單。第三問考平移，也是這類問題的一個熱點，在其他區(qū)縣的模擬題中也有類似的考察?？忌欢ㄒ盐掌揭坪蠼馕鍪桨l(fā)生的變化，即左加右減(單獨的x),上加下減(表達式整體)然后求出結果。 【解析】 (1)因為點P 、Q在拋物線上且縱坐標相同，所以P、Q關于拋物線對稱軸對稱并且到對稱軸距離相等． 所以，拋物線對稱軸，所以，． （2）由（1）可知，關于的一元二次方程為=0． 因為，=16－8=80． 所以，方程有兩個不同的實數根，

8、分別是 ，． （3）由（1）可知，拋物線的圖象向上平移（是正整數）個單位后的解析式為． 若使拋物線的圖象與軸無交點，只需 無實數解即可． 由==<0，得 又是正整數，所以得最小值為2． 【例4】 已知拋物線，其中是常數． （1）求拋物線的頂點坐標； （2）若，且拋物線與軸交于整數點（坐標為整數的點），求此拋物線的解析式． 【思路分析】本題第一問較為簡單，用直接求頂點的公式也可以算，但是如果巧妙的將a提出來,里面就是一個關于X的完全平方式,從而得到拋物線的頂點式,節(jié)省了時間.第二問則需要把握拋物線與X軸交于整數點的判別式性質.這和一元二次方程有整數根

9、是一樣的.尤其注意利用題中所給,合理變換以后代入判別式,求得整點的可能取值. （1）依題意，得， ∴ ∴拋物線的頂點坐標為 （2）∵拋物線與軸交于整數點， ∴的根是整數． ∴是整數． ∵， ∴是整數． ∴是整數的完全平方數． ∵， ∴． (很多考生想不到這種變化而導致后面無從下手) ∴取1，4， 當時，； 當時， ． ∴的值為2或 ． ∴拋物線的解析式為或． 【例5】 已知：關于的一元二次方程（為實數） （1）若方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍； （2）在（1）的條件下，求證：無論取何值，拋物線總過軸上的一個

10、固定點； （3）若是整數，且關于的一元二次方程有兩個不相等的整數根，把拋物線向右平移個單位長度，求平移后的解析式． 【思路分析】本題第一問比較簡單，直接判別式≥0就可以了，依然不能遺漏的是m－1≠0。第二問則是比較常見的題型.一般來說求固定點既是求一個和未知系數無關的X,Y的取值.對于本題來說,直接將拋物線中的m提出,對其進行因式分解得到y=(mx－x－1)(x+1)就可以看出當x=－1時,Y=0，而這一點恰是拋物線橫過的X軸上固定點.如果想不到因式分解,由于本題固定點的特殊性(在X軸上),也可以直接用求根公式求出兩個根,標準答案既是如此,但是有些麻煩,不如直接因式分解來得快.至于第三問,又是整數根問題+平移問題,因為第二問中已求出另一根,所以直接令其為整數即可,比較簡單. 解：（1） ∵方程有兩個不相等的實數根, ∴ ∵, ∴的取值范圍是且. （2）證明：令得. ∴. ∴ (這樣做是因為已經知道判別式是,計算量比較小,如果根號內不是完全平方就需要注意了) ∴拋物線與軸的交點坐標為, ∴無論取何值，拋物線總過定點 （3）∵是整數 ∴只需是整數. ∵是整數，且, ∴ 當時，拋物線為． 把它的圖象向右平移個單位長度，得到的拋物線解析式為