人教A版必修4《平面幾何中的向量方法》教學設計

人教A版必修4《平面幾何中的向量方法》教學設計 一、教材分析： 向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具。在向量的概念引入后，平面幾何中的全等和平行、相似、垂直、勾股定理等問題就可轉化為向量的加（減）法、數乘向量、數量積運算，從而把圖形的基本性質轉化為向量的運算體系，體現了數形結合思想。 本節(jié)課的內容是一節(jié)平面向量知識的應用課，通過對平面幾何中的向量方法的研究，體現向量作為工解決平面幾何問題的優(yōu)越性，滲透數形結合思想和轉化化歸思想；也讓學生體驗數學實用價值，明白教材在《主編寄語》中提到的“數學是有用的” 的真正含義。 二、教學目標： 1.能利用向量運算研究幾何問題中點、線段、夾角之間的關系；經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題體會向量是一種處理平面幾何問題的工具； 2.發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力，同時滲透數形結合思想、轉化化歸思想，培養(yǎng)學生“利用數學”的意識。 3.通過豐富的實例和過程性參與，引導學生體驗“形到數——數的運算——數到形”的研究思想；激發(fā)學生學習數學的興趣和積極性,培養(yǎng)嚴謹的學習態(tài)度，培養(yǎng)積極進取的精神。 4.通過向量運算研究幾何問題讓感受數學和生活的聯系，體驗數學的工具優(yōu)越性，關注數學知識及其思想在人類認識世界，改造世界中所起的作用，感受數學的美。 三、教學重難點： 1.教學重點：理解并能靈活運用向量加減法與向量數量積的法則；向量法解決平面幾何問題的“三步曲”。 2.教學難點：將平面幾何問題轉化為向量問題并加以解決。 四、教學問題診斷分析： 學生在學習本節(jié)課內容之前，已經掌握平面向量的基本知識技能。本節(jié)內容是針對學生對向量作為工具性的疑惑而設計的一節(jié)知識應用課。新課程所倡導的理念“知識是有用的”得到充分的體現，但是在實際教學過程中，如何將平面幾何問題轉化為向量問題來解決是有所難度的，特別是課本中例2的設計難度較大。因此，在教學過程中以學生熟悉的平行四邊形作為載體展開討論研究來降低學習難度，并在例題的設計上有層次感，由淺入深，層層導入，逐步引導學生進行探究活動，激發(fā)學生學習的自主性和積極性，從而達到教學目的。 五、教學過程設計： 1.復習回顧： 向量平行的判定：①； ②當時， 向量垂直的判定：①； ②當時， [設計意圖]回顧已學知識，為本節(jié)課接下來的探究活動作必要的知識儲備。 2.新課導入： 由于向量的線性運算和數量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質，如平移、全等、相似、長度、夾角都可以由向量的線性運算及數量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。本節(jié)課我們就來探究一下如何利用向量解決平面幾何的問題。 在初中我們學過“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”這一知識?，F在大家能用向量知識給出一個證明嗎？ [設計意圖]以學生熟悉的特殊平行四邊形——菱形作為載體導入新課，讓學生初步了解利用向量解決平面幾何問題的一般流程，體驗向量作為工具的優(yōu)越性，激發(fā)學生對本節(jié)內容的探究熱情，也為接下來的探究打下伏筆。 3.新課探究： 問題1：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)現平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系嗎？ 猜想：菱形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有什么關系？類比猜想，平行四邊形也有相似的關系嗎？ [設計意圖]通過類比、猜想并討論得到結論，讓學生體驗數學知識發(fā)現的過程，自然引出平面幾何中的向量方法，又讓學生產生新的困惑，激發(fā)他們探究的積極性。 結論：平行四邊形四邊的平方和等于兩對角線的平方和。 教師活動：指導學生寫出已知求證，完善題設。 已知：平行四邊形ABCD。 求證：. （學生分組討論證明，教師適當給予簡單提醒：勾股定理、直角三角形、輔助線等知識。） 師生活動：請學生代表發(fā)表解題見解，師生共同完善解題過程。 [設計意圖]讓學生體驗向量作為工具解決平面幾何問題的優(yōu)越性，以及一般的解題步驟，訓練學生利用向量知識解決平面幾何問題的能力。 問題2：通過上面的例題，你能總結一下利用向量法解決平面幾何問題的基本解題思路嗎？ [設計意圖]引導鼓勵學生扮演數學家的角色，培養(yǎng)學生總結歸納的習慣及能力，讓學生整理、完善剛才探究時所形成的知識體系。 用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”： （1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題； （2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題； （3）把運算結果“翻譯”成幾何元素。 教師簡述：形到向量→向量的運算→向量和數到形 課堂練習：如圖所示，已知⊙O，AB為直徑，C為⊙O上任意一點。 求證：∠ACB=90°. [設計意圖]引發(fā)學生利用剛剛建立的認知進行解題，完善他們的認知結構。同時讓他們在練習中體驗成功與進步的喜悅。 師生活動：學生完成練習，教師巡視教室，并對解題有困難的學生給予適當的指導。 思考：能否用向量坐標形式對上述問題進行證明？ [設計意圖]讓學生剛剛建立的認知結構產生新的矛盾，促進他們繼續(xù)探究。并體現一題多解，展示向量坐標在解題中的簡潔性及優(yōu)越性。 問題3：如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD 、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R 、T兩點，你能發(fā)現AR 、RT 、TC之間的關系嗎？ 教師活動：仔細觀察圖形，你能猜出它們之間存在什么關系嗎？ 學生活動：看圖猜想并得到AR=RT=TC. [設計意圖]先對本題的解題方向有個大體的了解，培養(yǎng)學生的 觀察分析問題的能力。 思考：要證明AR=RT=TC，我們該從哪里下手？為了解題的 方便我們可以適當假設一些量，該如何假設才是最簡單的？ [設計意圖]使學生明白解題過程中為了降低書寫及解題難度可以恰當地設置一些量。讓學生完成假設：. 思考：為了證明AR=RT=TC我們該從哪里入手？難道真的要證明它們三個相等嗎？還是轉換方向？ 師生活動：教師引導學生觀察分析，發(fā)現要直接證明AR=RT=TC有點困難，引導學生轉換解題方向，轉而證明：。 [設計意圖]：培養(yǎng)學生從多角度看問題，有時候解題時可以適當進行轉換，體驗“柳暗花明又一村”的境界。 師生活動：共同完成解題過程，并強調利用向量解決平面幾何問題要注意的地方及解題步驟。 4.新課小結： 請總結用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是什么？ （1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題； （2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題； （3）把運算結果“翻譯”成幾何元素。 [設計意圖]讓學生自己總結，這是一個讓學生的認知結構進行再次優(yōu)化的過程，這樣可以幫助學生再次認識本節(jié)課所學習的思想方法并理清他們的知識脈絡，完善他們的認識結構。 5.作業(yè)布置：課本第125頁 習題2.5 A組 第1、2題 六、設計反思： 數學新課程在編排上十分注重數學的應用價值，在書中涉及應用問題的章節(jié)非常多。但是，學生對于這方面的知識儲備略顯不足，缺乏解決應用問題的手段及方法。因此，本節(jié)課的設計是以學生熟悉的平行四邊形為載體，采用逐步推進，螺旋上升的方式，目的在于讓學生充分溶入本堂課的教學過程中來，自始自終處于一種積極進取的學習狀態(tài)中，通過主動探究、分組討論來獲得知識，讓學生體驗數學知識發(fā)現的喜悅。提高課堂的教學質量。 七、參考文獻： 1.普通高中課程標準實驗教科數學必修4《教師教學參考書》 人民教育出版社2006年. 2.《新課堂教案——數學A版必修4》 人民教育出版社2006年. 4