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1、
人教A版必修4《平面幾何中的向量方法》教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教材分析：
向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具。在向量的概念引入后，平面幾何中的全等和平行、相似、垂直、勾股定理等問題就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn)算，從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。
本節(jié)課的內(nèi)容是一節(jié)平面向量知識的應(yīng)用課，通過對平面幾何中的向量方法的研究，體現(xiàn)向量作為工解決平面幾何問題的優(yōu)越性，滲透數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想；也讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)用價(jià)值，明白教材在《主編寄語》中提到的“數(shù)學(xué)是有用的”
2、 的真正含義。
二、教學(xué)目標(biāo)：
1.能利用向量運(yùn)算研究幾何問題中點(diǎn)、線段、夾角之間的關(guān)系；經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題體會向量是一種處理平面幾何問題的工具；
2.發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力，同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，培養(yǎng)學(xué)生“利用數(shù)學(xué)”的意識。
3.通過豐富的實(shí)例和過程性參與，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)“形到數(shù)——數(shù)的運(yùn)算——數(shù)到形”的研究思想；激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)取的精神。
4.通過向量運(yùn)算研究幾何問題讓感受數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的工具優(yōu)越性，關(guān)注數(shù)學(xué)知識及其思想在人類認(rèn)識世界，改造世界中所起的作用，感受數(shù)學(xué)的美。
三、
3、教學(xué)重難點(diǎn)：
1.教學(xué)重點(diǎn)：理解并能靈活運(yùn)用向量加減法與向量數(shù)量積的法則；向量法解決平面幾何問題的“三步曲”。
2.教學(xué)難點(diǎn)：將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題并加以解決。
四、教學(xué)問題診斷分析：
學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前，已經(jīng)掌握平面向量的基本知識技能。本節(jié)內(nèi)容是針對學(xué)生對向量作為工具性的疑惑而設(shè)計(jì)的一節(jié)知識應(yīng)用課。新課程所倡導(dǎo)的理念“知識是有用的”得到充分的體現(xiàn)，但是在實(shí)際教學(xué)過程中，如何將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題來解決是有所難度的，特別是課本中例2的設(shè)計(jì)難度較大。因此，在教學(xué)過程中以學(xué)生熟悉的平行四邊形作為載體展開討論研究來降低學(xué)習(xí)難度，并在例題的設(shè)計(jì)上有層次感，由淺入深，層層導(dǎo)入，
4、逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究活動，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和積極性，從而達(dá)到教學(xué)目的。
五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)：
1.復(fù)習(xí)回顧：
向量平行的判定：①；
②當(dāng)時(shí)，
向量垂直的判定：①；
②當(dāng)時(shí)，
[設(shè)計(jì)意圖]回顧已學(xué)知識，為本節(jié)課接下來的探究活動作必要的知識儲備。
2.新課導(dǎo)入：
由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。本節(jié)課我們就來探究一下如何利用向量解決平面幾何的問題。
在初中我們學(xué)過“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”這一知識。現(xiàn)在大
5、家能用向量知識給出一個(gè)證明嗎？
[設(shè)計(jì)意圖]以學(xué)生熟悉的特殊平行四邊形——菱形作為載體導(dǎo)入新課，讓學(xué)生初步了解利用向量解決平面幾何問題的一般流程，體驗(yàn)向量作為工具的優(yōu)越性，激發(fā)學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容的探究熱情，也為接下來的探究打下伏筆。
3.新課探究：
問題1：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系嗎？
猜想：菱形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有什么關(guān)系？類比猜想，平行四邊形也有相似的關(guān)系嗎？
[設(shè)計(jì)意圖]通過類比、猜想并討論得到結(jié)論，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)的過程，自然引出平面幾何中的向量方法，又讓學(xué)生產(chǎn)生新的困惑，激發(fā)他們探究
6、的積極性。
結(jié)論：平行四邊形四邊的平方和等于兩對角線的平方和。
教師活動：指導(dǎo)學(xué)生寫出已知求證，完善題設(shè)。
已知：平行四邊形ABCD。
求證：.
（學(xué)生分組討論證明，教師適當(dāng)給予簡單提醒：勾股定理、直角三角形、輔助線等知識。）
師生活動：請學(xué)生代表發(fā)表解題見解，師生共同完善解題過程。
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生體驗(yàn)向量作為工具解決平面幾何問題的優(yōu)越性，以及一般的解題步驟，訓(xùn)練學(xué)生利用向量知識解決平面幾何問題的能力。
問題2：通過上面的例題，你能總結(jié)一下利用向量法解決平面幾何問題的基本解題思路嗎？
[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)鼓勵(lì)學(xué)生扮演數(shù)學(xué)家的角色，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納的習(xí)慣及能力，讓學(xué)生整理、完善
7、剛才探究時(shí)所形成的知識體系。
用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：
（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；
（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。
教師簡述：形到向量→向量的運(yùn)算→向量和數(shù)到形
課堂練習(xí)：如圖所示，已知⊙O，AB為直徑，C為⊙O上任意一點(diǎn)。
求證：∠ACB=90°.
[設(shè)計(jì)意圖]引發(fā)學(xué)生利用剛剛建立的認(rèn)知進(jìn)行解題，完善他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。同時(shí)讓他們在練習(xí)中體驗(yàn)成功與進(jìn)步的喜悅。
師生活動：學(xué)生完成練習(xí)，教師巡視教室，并對解題有困難的學(xué)生給予適
8、當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。
思考：能否用向量坐標(biāo)形式對上述問題進(jìn)行證明？
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生剛剛建立的認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生新的矛盾，促進(jìn)他們繼續(xù)探究。并體現(xiàn)一題多解，展示向量坐標(biāo)在解題中的簡潔性及優(yōu)越性。
問題3：如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD 、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R 、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR 、RT 、TC之間的關(guān)系嗎？
教師活動：仔細(xì)觀察圖形，你能猜出它們之間存在什么關(guān)系嗎？
學(xué)生活動：看圖猜想并得到AR=RT=TC.
[設(shè)計(jì)意圖]先對本題的解題方向有個(gè)大體的了解，培養(yǎng)學(xué)生的
觀察分析問題的能力。
思考：要證明AR=RT=TC，我們該從哪里下手？為了解題的
方
9、便我們可以適當(dāng)假設(shè)一些量，該如何假設(shè)才是最簡單的？
[設(shè)計(jì)意圖]使學(xué)生明白解題過程中為了降低書寫及解題難度可以恰當(dāng)?shù)卦O(shè)置一些量。讓學(xué)生完成假設(shè)：.
思考：為了證明AR=RT=TC我們該從哪里入手？難道真的要證明它們?nèi)齻€(gè)相等嗎？還是轉(zhuǎn)換方向？
師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察分析，發(fā)現(xiàn)要直接證明AR=RT=TC有點(diǎn)困難，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換解題方向，轉(zhuǎn)而證明：。
[設(shè)計(jì)意圖]：培養(yǎng)學(xué)生從多角度看問題，有時(shí)候解題時(shí)可以適當(dāng)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，體驗(yàn)“柳暗花明又一村”的境界。
師生活動：共同完成解題過程，并強(qiáng)調(diào)利用向量解決平面幾何問題要注意的地方及解題步驟。
4.新課小結(jié)：
請總結(jié)用向量方法解決平面幾何問題的“
10、三步曲”是什么？
（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；
（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生自己總結(jié)，這是一個(gè)讓學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行再次優(yōu)化的過程，這樣可以幫助學(xué)生再次認(rèn)識本節(jié)課所學(xué)習(xí)的思想方法并理清他們的知識脈絡(luò)，完善他們的認(rèn)識結(jié)構(gòu)。
5.作業(yè)布置：課本第125頁 習(xí)題2.5 A組 第1、2題
六、設(shè)計(jì)反思：
數(shù)學(xué)新課程在編排上十分注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，在書中涉及應(yīng)用問題的章節(jié)非常多。但是，學(xué)生對于這方面的知識儲備略顯不足，缺乏解決應(yīng)用問題的手段及方法。因此，本節(jié)課的設(shè)計(jì)是以學(xué)生熟悉的平行四邊形為載體，采用逐步推進(jìn)，螺旋上升的方式，目的在于讓學(xué)生充分溶入本堂課的教學(xué)過程中來，自始自終處于一種積極進(jìn)取的學(xué)習(xí)狀態(tài)中，通過主動探究、分組討論來獲得知識，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)的喜悅。提高課堂的教學(xué)質(zhì)量。
七、參考文獻(xiàn)：
1.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科數(shù)學(xué)必修4《教師教學(xué)參考書》 人民教育出版社2006年.
2.《新課堂教案——數(shù)學(xué)A版必修4》 人民教育出版社2006年.
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人教A版必修4《平面幾何中的向量方法》教學(xué)設(shè)計(jì)
