2010年高考數(shù)學(xué) 考點7三角函數(shù)

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1、考點7 三角函數(shù) 1.（2010·陜西高考理科·Ｔ3）對于函數(shù)，下列選項中正確的是（ ） （A）在（，）上是遞增的 （B）的圖像關(guān)于原點對稱 （C）的最小正周期為2 （D）的最大值為2 【命題立意】本題考查倍角公式、三角函數(shù)的基本性質(zhì)，屬保分題。 【思路點撥】是奇函數(shù) B 【規(guī)范解答】選B. 因為，所以是奇函數(shù)，因而的圖像關(guān)于原點對稱，故選B 2.（2010·陜西高考文科·Ｔ3）函數(shù)是 （ ） (A)最小正周期為2π的奇函數(shù) （B）最小正周期為2π的偶函數(shù) (C)最小正周期為π的奇函數(shù) （D）最小正周期為

2、π的偶函數(shù) 【命題立意】本題考查倍角公式、三角函數(shù)的基本性質(zhì)，屬保分題。 【思路點撥】是奇函數(shù) C正確 【規(guī)范解答】選C 因為，所以是最小正周期為π的奇函數(shù) 3.（2010·遼寧高考理科·Ｔ5）設(shè)>0,函數(shù)y=sin(x+)+2的圖像向右平移個單位后與原圖像重合，則的最小值是（ ） （A） (B) (C) (D)3 【命題立意】本題考查了三角函數(shù)的周期性。 【思路點撥】由周期求 【規(guī)范解答】選C。由題意可得最小正周期T＝，所以。故選C 4.（2010·北京高考文科·Ｔ１5）已知函數(shù) （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值和最小值 【命

3、題立意】本題考查誘導(dǎo)公式、三角變換中的二倍角公式及三角函數(shù)的最值的求法。 【思路點撥】直接把代入求的值。求的最值時，通過觀察解析式的形式，可以統(tǒng)一三角形函數(shù)名，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題。 【規(guī)范解答】（Ⅰ）= （Ⅱ） 因為,所以，當(dāng)時取最大值2；當(dāng)時，取最小值-1。 【方法技巧】三角函數(shù)式化簡的常用技巧有：統(tǒng)一角、統(tǒng)一三角函數(shù)名，降冪擴(kuò)角，升冪縮角等。 5.（2010 海南高考理科T4）如圖，質(zhì)點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為，角速度為1，那么點P到x軸距離d關(guān)于時間t的函數(shù)圖像大致為( ) 【命題立意】本小題主要考查了三角函數(shù)的定

4、義. 【思路點撥】把距離轉(zhuǎn)化成角度與時間的函數(shù)關(guān)系. 【規(guī)范解答】選C.設(shè)初始位置點的弧度為，則時間時為，由三角函數(shù)的相關(guān)定義可知，到軸距離關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式為，故選C. 6.（2010·安徽高考理科·Ｔ9）動點在圓上繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周。已知時間時，點的坐標(biāo)是，則當(dāng)時，動點的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） A. B. C. D.和 【命題立意】本題主要考查，考查考生的運算求解能力． 【思路點撥】由動點在圓上繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，可知與三角函數(shù)的定義類似，由12秒旋轉(zhuǎn)一周能求出每秒

5、鐘所轉(zhuǎn)的弧度，畫出單位圓，很容易看出，當(dāng)t在變化時，點的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)性的變化，從而確定單調(diào)遞增區(qū)間。 【規(guī)范解答】選D ，畫出圖形，設(shè)射線OA與軸正方向夾角為，則時，每秒鐘旋轉(zhuǎn)，在上，在上，動點的縱坐標(biāo)關(guān)于都是單調(diào)遞增的，故D正確。 7.（2010·天津高考文科·Ｔ8）為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將的圖象上所有的點（ ） (A)向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍， 縱坐標(biāo)不變 (B) 向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變 (C) 向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變 (D)

6、向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變 【命題立意】考查正弦函數(shù)的圖像及變換。 【思路點撥】由圖像幾個特殊點求出函數(shù)解析式。 【規(guī)范解答】選A，由圖像可得：， ，故選A。 【方法技巧】由的一段圖像，求這個函數(shù)的解析式，結(jié)果往往不統(tǒng)一，要具體問題具體分析，由周期求；確定時，若能求出距離原點最近的右側(cè)圖像上升（或下降）的零點的橫坐標(biāo)，令（或），即可求出，也可用最高點或最低點的坐標(biāo)來求。 8.（2010·浙江高考理科·Ｔ4）設(shè)，則“”是“”的（ ） （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件

7、 （D）既不充分也不必要條件 【命題立意】本題考查三角函數(shù)、不等式、簡易邏輯等知識，考查推理運算能力。 【思路點撥】解決本題一種方法是利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)；另一種方法是借助函數(shù)圖象比較大小。 【規(guī)范解答】選B。方法一：，， ，，因此，。因此“”是“”的必要而不充分條件。 方法二：由得，由得，考察函數(shù)，作出三個函數(shù)的圖象： 由圖象可知，，，其中， 因此“”是“”的必要而不充分條件。 9.（2010·福建高考文科·Ｔ１0）將函數(shù)的圖像向左平移個單位。若所得圖象 與原圖象重合，則的值不可能等于（ ） A.4 B.6

8、 C.8 D.12 【命題立意】本題考查三角函數(shù)的圖像平移，解三角方程。 【思路點撥】先進(jìn)行平移后，再比較與原函數(shù)的差異，解三角方程，或采用代入法求解。 【規(guī)范解答】選B，把向左平移個單位得， 又該函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像重合，所以恒成立， ，，所以k不可能為6。 【方法技巧】注意應(yīng)把變?yōu)槎恰D像的變換問題，依據(jù)三角函數(shù)的圖像的變換口訣“左加右減，上加下減”即可解決。一般地，函數(shù)的圖象，可以看作把曲線上所有點向左(當(dāng)＞0時)或向右(當(dāng)＜0時)平行移動個單位長度而得到。 10.（2010·浙江高考文科·Ｔ12）函數(shù)的最小正周期是

9、 。 【命題立意】本題主要考察了二倍角余弦公式的靈活運用，屬容易題。 【思路點撥】對解析式進(jìn)行降冪擴(kuò)角轉(zhuǎn)化為余弦型函數(shù)。 【規(guī)范解答】。，可知其最小正周期為。 【答案】 11.（2010·福建高考理科·Ｔ14）已知函數(shù)和)圖象的對稱軸完全相同。若，則的取值范圍是 。 【命題立意】本題主要考查利用三角函數(shù)的對稱性求三角函數(shù)的解析式，并求三角函數(shù)在給定區(qū)間的值域。 【思路點撥】由圖象的對稱軸完全相同，可得與的周期相同，求出的值，進(jìn)而求解值域。 【規(guī)范解答】函數(shù)和的圖象的對稱軸完全相同，則與的周期相同，，，又，， 【答案】 【方法技巧】另解：因為和在對

10、稱軸位置取得最值。設(shè)x=x0為函數(shù)與的對稱軸，則，，， 又，， 12.（2010·江蘇高考·Ｔ１0）設(shè)定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為P1，直線PP1與函數(shù)y=sinx的圖像交于點P2,則線段P1P2的長為____________。 【命題立意】本題考查三角函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合的思想. 【思路點撥】圖像相交，即三角函數(shù)值相等，建立關(guān)系式，求出，結(jié)合圖像，采用數(shù)形結(jié)合的思想分析的值即可. 【規(guī)范解答】 【答案】 13.（2010·北京高考理科·Ｔ１5）已知函數(shù)。 （

11、Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值和最小值。 【命題立意】本題考查了誘導(dǎo)公式、三角變換中的二倍角公式，及二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值問題。 【思路點撥】直接把代入求的值。求的最值時，通過觀察解析式的形式，可以統(tǒng)一三角形函數(shù)名，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題。 【規(guī)范解答】（I） （II） = =, 因為， 所以，當(dāng)時，取最大值6；當(dāng)時，取最小值 【方法技巧】三角函數(shù)式化簡的常用技巧有：統(tǒng)一角、統(tǒng)一三角函數(shù)名，降冪升角，升冪降角等。 14.（2010·湖南高考文科·Ｔ16）已知函數(shù) （I）求函數(shù)的最小

12、正周期。 (II) 求函數(shù)的最大值及取最大值時x的集合。 【命題立意】考查三角函數(shù)的基本公式和基本性質(zhì)。 【思路點撥】首先化成f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式，再考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)。 【規(guī)范解答】(1) ∴函數(shù)的最小正周期為 (2) 由(1)知，當(dāng)，即，取得最大值。因此函數(shù)取最大值時的集合為. 【方法技巧】1、一般首先利用三組公式把散形化成f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式。一組是立方差公式、立方和公式、平方差公式、完全平方公式。二組是誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式。三組是倍角公式、半角公式和兩角和公式的逆

13、運算。 2、考查基本性質(zhì)，包括單調(diào)性、周期性、對稱性和函數(shù)值域等。 15．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的最大值； （II）求函數(shù)的零點的集合。 【命題立意】考查三角函數(shù)的基本公式和基本性質(zhì). 【思路點撥】首先化成f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式，再考查三角函數(shù)的基本性質(zhì). 【規(guī)范解答】（1）因為f(x)= =2sin(2x+, 所以，當(dāng)2x+=2k,即x=k （2）方法1由(1)及f(x)=0得sin(2x+,所以 2x+ 故函數(shù)f(x)的零點的集合為{x|x=k. 方法2由f(x

14、)=0得2 由sinx=0可知x=k 故函數(shù)f(x)的零點的集合為{x|x=k. 【方法技巧】1、一般首先利用三組公式把散形化成f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式.一組是立方差公式、立方和公式、平方差公式、完全平方公式.二組是誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式.三組是倍角公式、半角公式和兩角和公式的逆運算.2、考查基本性質(zhì)，包括單調(diào)性、周期性、對稱性和函數(shù)值域等. 16.（2010·廣東高考文科·Ｔ16）設(shè)函數(shù)，，， 且以為最小正周期． （1）求； （2）求的解析式； （3）已知，求的值． 【命題立意】本題考察三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角變換. 【思路點撥】（2）由已知條件求出，從而求出

15、的解析式； （3）由 【規(guī)范解答】（1） （2） ， ，所以的解析式為： （3）由 得 ，即 ， 【方法技巧】三角函數(shù)的性質(zhì)問題，往往都要先化成的形式再求解. 17.（2010·廣東高考理科·Ｔ16）已知函數(shù)在時取得最大值4。 (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的解析式； (3)若f(α+)=,求sinα 【命題立意】本題考察三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角變換. 【思路點撥】(2) 由已知條件、. （3）由 【規(guī)范解答】（1）由得： （2）由得最大值是4得又在處取得最大值，所以，得，因為，所以，所以，. （3），即，，所以，，所以 【方法技巧】（1）三角函數(shù)的性質(zhì)問題，往往都要先化成的形式再求解， （2）在求的過程中，要考慮的規(guī)定范圍.