2010年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)28隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型
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1、考點(diǎn)28 隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型 1.(2010·遼寧高考理科·T3)兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件.加工為一等品的概率分別為和, 兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立,則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為( ) (A) (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率, 【思路點(diǎn)撥】恰有一個(gè)一等品,包含兩類情況, 【規(guī)范解答】選B.所求概率為。 【方法技巧】1、要準(zhǔn)確理解恰有一個(gè)產(chǎn)含義, 2、事件A、B相互獨(dú)立,則P(AB)=P(A)·P(B) 3、本題也可用對(duì)立事件
2、的概率來(lái)解決。所求概率p=1-. 2.(2010·北京高考文科·T3)從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a,從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b,則b>a的概率是( ) (A) (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查古典概型,熟練掌握求古典概型概率的常用方法是解決本題的關(guān)鍵。 【思路點(diǎn)撥】先求出基本事件空間包含的基本事件總數(shù),再求出事件“”包含的基本事件數(shù), 從而。 【規(guī)范解答】選D。,包含的基本事件總數(shù)。事件“”為,包含的基本事件數(shù)為。其概率。 【方法技巧】列古典概型的基本事件空間常用的方法有:(1)列舉法;(2)
3、坐標(biāo)網(wǎng)格法;(3)樹圖等。 3.(2010·湖南高考文科·T11)在區(qū)間[-1,2]上隨即取一個(gè)數(shù)x,則x∈[0,1]的概率為 。 【命題立意】以非常簡(jiǎn)單的區(qū)間立意,運(yùn)算不復(fù)雜,但能切中考查幾何概型的要害。 【思路點(diǎn)撥】一元幾何概型→長(zhǎng)度之比 【規(guī)范解答】[-1,2]的長(zhǎng)度為3,[0,1]的長(zhǎng)度為1,所以概率是. 【方法技巧】一元幾何概型→長(zhǎng)度之比,二元幾何概型→面積之比,三元幾何概型→體積之比 4.(2010·福建高考理科·T13)某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下:在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中,選手若能連續(xù)回答出兩個(gè)問(wèn)題,即停止答題,晉級(jí)下一輪。假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)
4、題的概率都是0.8,且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立,則該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率等于 。 【命題立意】本題主要考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的求解。 【思路點(diǎn)撥】 分析題意可得:該選手第一個(gè)問(wèn)題可以答對(duì)也可以答錯(cuò),第二個(gè)問(wèn)題一定回答錯(cuò)誤,第三、四個(gè)問(wèn)題一定答對(duì),進(jìn)而求解“相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率”。 【規(guī)范解答】依題意得:該選手第一個(gè)問(wèn)題可以答對(duì)也可以答錯(cuò),第二個(gè)問(wèn)題一定回答錯(cuò)誤,第三、四個(gè)問(wèn)題一定答對(duì),所以其概率. 【答案】0.128 5. (2010·天津高考理科·T11)甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個(gè)數(shù)用莖葉圖表示如下圖,中間一列的數(shù)字表
5、示零件個(gè)數(shù)的十位數(shù),兩邊的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù),則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為 和 。 【命題立意】本題考查了統(tǒng)計(jì)中的平均數(shù)、莖葉圖的基礎(chǔ)知識(shí),考查了學(xué)生的識(shí)圖能力。 【思路點(diǎn)撥】計(jì)算10個(gè)數(shù)的平均數(shù)。 【規(guī)范解答】選甲日加工零件的平均數(shù)為: ,同理可得乙日加工零件的平均數(shù)為23。 【答案】24 23 6.(2010·安徽高考理科·T15)甲罐中有5個(gè)紅球,2個(gè)白球和3個(gè)黑球,乙罐中有4個(gè)紅球,3個(gè)白球和3個(gè)黑球。先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐,分別以和表示由甲罐取出的球是紅球,白球和黑球的事件;再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球,以表示由乙罐
6、取出的球是紅球的事件,則下列結(jié)論中正確的是________(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))。 ①; ②; ③事件與事件相互獨(dú)立; ④是兩兩互斥的事件; ⑤的值不能確定,因?yàn)樗c中哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)。 【命題立意】本題主要考查概率的綜合問(wèn)題,考查考生對(duì)事件關(guān)系的理解和條件概率的認(rèn)知水平. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)事件互斥、事件相互獨(dú)立的概念,條件概率及把事件B的概率轉(zhuǎn)化為可辨析此題。 【規(guī)范解答】顯然是兩兩互斥的事件, 有,,, 而 , 且,,有 可以判定②④正確,而①③⑤錯(cuò)誤。 【答案】②④ 7. (2010·遼寧高考文科·T13)三張卡片上分別寫上字母E,E,B,將三張卡片隨
7、機(jī)地排成一行,恰好排成英文單詞BEE的概率為 。 【命題立意】本題考查了古典概型,考查了計(jì)數(shù)有原理,和排列組合。 【思路點(diǎn)撥】 所有可能的基本事件總數(shù) 滿足條件的基本事件數(shù) 求概率 【規(guī)范解答】將三張卡片排成一行,共有(種) 可能的結(jié)果,恰好排成英文單詞BEE的可能結(jié)果有(種)所以所求概率為p=。 【答案】 8. (2010·江蘇高考·T3)盒子里共有大小相同的3只白球,1只黑球,若從中隨機(jī)地摸出兩只球,則它們顏色不同的概率是_ __. 【命題立意】本題考查古典概型的概率求法。 【思路點(diǎn)撥】先求出從盒子中隨機(jī)地摸出兩只球的所有方法數(shù),再求出所摸兩只球顏
8、色不同的方法數(shù),最后代入公式計(jì)算即可。 【規(guī)范解答】從盒子中隨機(jī)地摸出兩只球,共有種情況,而摸兩只球顏色不同的種數(shù)為種情況,故所求的概率為 【答案】 9. (2010·浙江高考文科·T17)在平行四邊形ABCD中,O是AC與BD的交點(diǎn),P、Q、M、N分別是線段OA、OB、OC、OD的中點(diǎn),在A、P、M、C中任取一點(diǎn)記為E,在B、Q、N、D中任取一點(diǎn)記為F,設(shè)G為滿足向量的點(diǎn),則在上述的點(diǎn)G組成的集合中的點(diǎn),落在平行四邊形ABCD外(不含邊界)的概率為 。 【命題立意】本題主要考察了平面向量與古典概型的綜合運(yùn)用,屬中檔題 【思路點(diǎn)撥】利用向量加法的平行四邊形法則逐個(gè)
9、驗(yàn)證是否在四邊形ABCD外。 【規(guī)范解答】由題意知,G點(diǎn)共有16種取法,而只有E為P、M中一點(diǎn),F(xiàn)為Q、N中一點(diǎn)時(shí),落在平行四邊形內(nèi),故符合要求的G只有4個(gè),因此概率為。 【方法技巧】(1)求古典概型的概率一般先求出基本事件空間所包含的基本事件總數(shù)n,再求出事件A所包含的基本事件數(shù)m,其概率為;(2)求向量加法時(shí)如果兩個(gè)向量同一起點(diǎn)那么用平行四邊形法則,如果首尾相連一般用三角形法則。 【答案】 10.(2010·湖南高考理科·T4)在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則的概率為 【命題立意】以非常簡(jiǎn)單的區(qū)間和不等式的解集立意,運(yùn)算不復(fù)雜,但能切中考查幾何概型的要害. 【思路點(diǎn)撥】一
10、元幾何概型→長(zhǎng)度之比 【規(guī)范解答】[-1,2]的長(zhǎng)度為3,|x|≤1的解集為[-1,1]的長(zhǎng)度為2,所以概率是. 【答案】 【方法技巧】一元幾何概型→長(zhǎng)度之比,二元幾何概型→面積之比,三元幾何概型→體積之比. 11.(2010·山東高考文科·T19)一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球,球的編號(hào)分別 為1,2,3,4. (1)從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球,求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率; (2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為m,將球放回袋中,然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球, 該球的編號(hào)為n,求的概率. 【命題立意】本小題主要考查古典概型、對(duì)立事件的概率計(jì)算,考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)
11、題的能力. 【思路點(diǎn)撥】采用列舉法列出一切可能的結(jié)果組成的基本事件,再根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算, 第(2)問(wèn)可利用對(duì)立事件的概率計(jì)算. 【規(guī)范解答】(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6個(gè).從袋中取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件共有1和2,1和3兩個(gè). 因此所求事件的概率. (2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,記下編號(hào)為,放回后,再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球,記下編號(hào)為,其一切可能的結(jié)果有 共16個(gè), 又滿足的事件的概率為. 故滿足的事件的概率為. 12. (2010·安徽高考文科·T10)甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意
12、選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線,乙從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線,則所得的兩條直線相互垂直的概率是( ) (A) (B) (C) (D) 【命題立意】本題主要考查古典概型的概率問(wèn)題,考查考生分析問(wèn)題的能力。 【思路點(diǎn)撥】試驗(yàn)為古典概型試驗(yàn)的基本事件個(gè)數(shù)所求事件包含的基本事件個(gè)數(shù)計(jì)算概率 【規(guī)范解答】選C,正方形四個(gè)頂點(diǎn)可以確定6條直線,甲乙各自任選一條共有36個(gè)等可能的基本事件。兩條直線相互垂直的情況有5種(4組鄰邊和對(duì)角線),包括10個(gè)基本事件,所以概率等于 . 【方法技巧】對(duì)于古典概型的概率問(wèn)題,關(guān)鍵是明確試驗(yàn)的
13、基本事件數(shù),然后明確所求事件包含的基本事件數(shù),進(jìn)而求解概率。 13. (2010·福建高考文科·T18)設(shè)平頂向量= ( m , 1), = ( 2 , n ),其中 m, n {1,2,3,4}. (I)請(qǐng)列出有序數(shù)組( m,n )的所有可能結(jié)果; (II)記“使得(-)成立的( m,n )”為事件A,求事件A發(fā)生的概率。 【命題立意】本題考查概率、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,應(yīng)用意識(shí),考查化歸轉(zhuǎn)化思想、或然與必然思想。 【思路點(diǎn)撥】第一步用枚舉法寫出數(shù)組的所有可能;第二步用向量的內(nèi)積得到m,n的關(guān)系式,進(jìn)而得到事件A包含的基本事件,利用古典概型公式即可求。
14、 【規(guī)范解答】( I ) 有序數(shù)組的所有可能結(jié)果為: 共16個(gè); (II)由得,即,由于,故事件所包含的基本事件為,共兩個(gè)。有基本事件的總數(shù)為16,故所求的概率。 【方法技巧】有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題,越來(lái)越常見利用枚舉法的求解方法,枚舉時(shí)一定要考慮全面,漏解是最常見的錯(cuò)誤,如本題要求的是有序的數(shù)組(m,n),坐標(biāo)的位置是有序的,如(1,2)和(2,1)是不同的情況,不要當(dāng)成同一種。因?yàn)檫@部分內(nèi)容與實(shí)際生活聯(lián)系比較大,隨著新課改的深入,高考將越來(lái)越重視這部分的內(nèi)容,試題的難度為中等或中等偏易。 14.(2010·天津高考文科·T18) 有編號(hào)為,,…,的10個(gè)零件,測(cè)量其直徑(單位:
15、cm),得到下面數(shù)據(jù): 其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品。 (Ⅰ)從上述10個(gè)零件中,隨機(jī)抽取一個(gè),求這個(gè)零件為一等品的概率; (Ⅱ)從一等品零件中,隨機(jī)抽取2個(gè). (?。┯昧慵木幪?hào)列出所有可能的抽取結(jié)果; (ⅱ)求這2個(gè)零件直徑相等的概率。 【命題立意】本小題主要考查用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力及運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的能力。 【思路點(diǎn)撥】利用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。 【規(guī)范解答】(Ⅰ)由所給數(shù)據(jù)可知,一等品零件共有6個(gè).設(shè)“從10個(gè)零件中,隨
16、機(jī)抽取一個(gè)為一等品”為事件A,則P(A)==. (Ⅱ)(i)一等品零件的編號(hào)為.從這6個(gè)一等品零件中隨機(jī)抽取2個(gè),所有可能的結(jié)果有:,,, ,,,共有15種. (ii)解:“從一等品零件中,隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”(記為事件B)的所有可能結(jié)果有:,,共有6種. 所以P(B) =. 15. (2010·湖南高考文科·T17)為了對(duì)某課題進(jìn)行研究,用分層抽樣方法從三所高校A,B,C的相關(guān)人員中,抽取若干人組成研究小組、有關(guān)數(shù)據(jù)見下表(單位:人) (I) 求x,y ; (II) 若從高校B、C抽取的人中選2人作專題發(fā)言,求這二人都來(lái)自高校C的概率。 【命題立意】
17、以實(shí)際生活為背景,考查抽取樣本的認(rèn)識(shí),進(jìn)而考查求事件的概率。 【思路點(diǎn)撥】分層抽樣也叫做按比例抽樣,關(guān)鍵是的比。求事件的概率關(guān)鍵是弄明白基本事件以及目標(biāo)事件包多少個(gè)基本事件。 【規(guī)范解答】 (1) 由題意可得, ,所以 (2) 記從高校B抽取的2人為c1 ,c2 ,c3 ,則從高校B,C抽取的5中選2人做專題發(fā)言的基本事件有 (b1,b2)(b1,c1)(b1,c2)(b1,c3)(b2,c1) (b2,c2)(b2,c3)(c1,c2)(c1,c3)(c2,c3)共10種。 設(shè)選中的2人都來(lái)自高校C的事件為X,則X包含的基本事件有(c1,c2)(c1,c3)(c2,c3)共3種。
18、因此P(X)= . 故選中的2人都來(lái)自高校C的概率是。 【方法技巧】1、分層抽樣的依據(jù)是:比=樣本容量/總體,再用比去乘以每一層的個(gè)體數(shù),即可得到這層要取的個(gè)體數(shù)。 2、概率問(wèn)題的解題步驟:首先思考實(shí)驗(yàn)的個(gè)數(shù)、實(shí)驗(yàn)關(guān)系和實(shí)驗(yàn)結(jié)果,然后思考目標(biāo)時(shí)間如何用基本事件表示出來(lái),最后利用對(duì)立事件、對(duì)立事件和互斥事件進(jìn)行運(yùn)算。 16.(2010·湖南高考理科·T4)圖4是某城市通過(guò)抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位:噸)的頻率分布直方圖 (Ⅰ)求直方圖中x的值 (II)若將頻率視為概率,從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民(看作有放回的抽樣),求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望。
19、 【命題立意】以實(shí)際生活為背景,考查頻率分布直方圖的認(rèn)識(shí),進(jìn)而考查分布列和期望等統(tǒng)計(jì)知識(shí). 【思路點(diǎn)撥】頻率分布直方圖→矩形的面積表示頻率反映概率;隨機(jī)抽取3位居民(看作有放回的抽樣)是三個(gè)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)→計(jì)算概率時(shí)遵循貝努力概型. 【規(guī)范解答】(1)依題意及頻率分布直方圖知,0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12. (2)由題意知,X~B(3,0.1). 因此P(x=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= 故隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 X的數(shù)學(xué)期望為EX=3×0.1=0.3. 【方法技巧】1、統(tǒng)計(jì)的常用圖:條形圖,徑葉圖;直方圖,折線圖等。要學(xué)會(huì)識(shí)圖. 2、概率問(wèn)題的解題步驟:首先思考實(shí)驗(yàn)的個(gè)數(shù)、實(shí)驗(yàn)關(guān)系和實(shí)驗(yàn)結(jié)果,然后思考目標(biāo)時(shí)間如何用基本事件表示出來(lái),最后利用對(duì)立事件、對(duì)立事件和互斥事件進(jìn)行運(yùn)算. 3、在求期望和方差時(shí)注意使用公式.
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