2012年高考數(shù)學(xué) 考點11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例

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1、考點11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu) 化問題舉例 一、選擇題 1.（2012?山東高考文科?Ｔ10）與（2012?山東高考理科?Ｔ9）相同 函數(shù)的圖象大致為（ ） 【解題指南】本題可利用函數(shù)的奇偶性，及函數(shù)零點的個數(shù)，取點驗證法可得. 【解析】選D.由知為奇函數(shù)，當(dāng)時，y>0，隨著x的變大，分母逐漸變大，整個函數(shù)值越來越接近y軸，只有D選項滿足. 2.（2012·新課標(biāo)全國高考理科·T10）已知函數(shù)f(x)= ,則y=f(x)的圖象大致為（ ） 【解題指南】令，通過對單調(diào)性與最值的考查，判斷出在不同的區(qū)間段f(x)的函數(shù)值的正負(fù)，最后利用排除法得正確

2、選項。 【解析】選B. 得：或均有，排除 3.（2012·遼寧高考文科·Ｔ8）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 （A）（1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞） （D）（0，+∞） 【解題指南】保證函數(shù)有意義的前提下，利用解得單調(diào)減區(qū)間 【解析】選B. 由，又函數(shù)的定義域為 故單調(diào)減區(qū)間為. 4.（2012·陜西高考文科·Ｔ9）設(shè)函數(shù)=+，則（ ） (A) x=為的極大值點 (B) x=為的極小值點 (C) x=2為的極大值點 (D) x=2為的極小值點 【解題指南】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)等于0求出極值點，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)判斷函數(shù)

3、的單調(diào)性，判斷極值點是極大值點還是極小值點. 【解析】選D. ∵=+，∴，令，即，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以x=2為的極小值點. 5.（2012·福建高考文科·Ｔ12）已知，且．現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解題指南】首先要構(gòu)畫函數(shù)的草圖，因此，要求導(dǎo)，分析單調(diào)性，然后分別求出，，，再判斷各命題的真假． 【解析】選C. f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3), 函數(shù)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減,在(3,+∞)上單調(diào)遞增,又因為f(a)=f(b)=f(c)=0,所以

4、a∈(-∞,1),b∈(1,3),c∈(3,+∞), f(1)=4-abc,f(3)=-abc,f(0)=-abc. 又因為f(b)=b3-6b2+9b-abc=b(b2-6b+9)-abc=b[(b-3)2-ac]=0,所以ac為正數(shù),所以a為正數(shù),則有f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0,所以②③正確. 6.（2012·江西高考理科·Ｔ10）如右圖，已知正四棱錐S-ABCD所有棱長都為1,點E是側(cè)棱SC上一動點，過點E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分.記,截面下面部分的體積為，則函數(shù)的圖象大致為（ ） A B

5、 C D 【解題指南】分與兩種情況討論，當(dāng)時，將截面上面部分的幾何體分割為兩個錐體，用間接法求出截面下面部分的體積V（x）,然后通過V（x）的解析式得到圖象，當(dāng)時，同理可得。 【解析】選A . ①當(dāng)時，截面為五邊形，如圖所示 由面QEPMN，且?guī)缀误w為正四棱錐，棱長均為1, 易推出，，，四邊形OEQN和OEPM均為全等的直角梯形，此時 ＝ ＝ 求導(dǎo)可知在上為減函數(shù)，且 ②當(dāng)時，截面為等腰三角形，如圖所示： 此時 易知在上亦為減函數(shù)，且，根據(jù)三次函數(shù)的圖象特征可知選項A符合. 7.（2012·遼寧高考理科·Ｔ12）若，則

6、下列不等式恒成立的是（ ） (A) (B) (C) (D) 【解題指南】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。 【解析】選C. 令，則（x0），故為定義域上的增函數(shù)，.所以. 8.（2012·山東高考文科·Ｔ12）設(shè)函數(shù)，.若的圖象與的圖象有且僅有兩個不同的公共點，則下列判斷正確的是（ ） (A)　　　　(B) (C)　　　　(D) 【解題指南】本題利用導(dǎo)數(shù)來求解單調(diào)性. 【解析】選B.設(shè)，則方程與同解，故其有且僅有兩個不同零點.由得或.這樣，必須且只須或，因為，故必有由此得

7、.不妨設(shè)，則.所以，比較系數(shù)得，故.，由此知，故答案為B. 9.（2012·山東高考理科·Ｔ12）設(shè)函數(shù)，若的圖象與圖象有且僅有兩個不同的公共點,則下列判斷正確的是（ ） A.當(dāng)時， B. 當(dāng)時， C. 當(dāng)時， D. 當(dāng)時， 【解題指南】本題利用導(dǎo)數(shù)來求解單調(diào)性. 【解析】選B.令，則，設(shè)，。令，則，要使y=f(x)的圖象與y=g(x)圖象有且僅有兩個不同的公共點只需，整理得，于是可取來研究，當(dāng)時，，解得，此時，此時；當(dāng)時，，解得，此時，此時.答案應(yīng)選B。 另解：令可得。 設(shè) 不妨設(shè)，結(jié)合圖形可知， 當(dāng)時如右圖，此時， 即，此時

8、，，即；同理可由圖形經(jīng)過推理可得當(dāng)時.答案應(yīng)選B。 二、解答題 10. （2012·山東高考理科·Ｔ22）已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線與軸平行. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對任意. 【解題指南】（1）由曲線在點處的切線與軸平行可知即可求出k的值.（2）可由（1）的結(jié)論求解判斷單調(diào)區(qū)間.（3）構(gòu)造函數(shù)法求解不等式問題. 【解析】(Ⅰ) 由得 由曲線在點處的切線與軸平行可知， 解得：. （Ⅱ），，令可得， 當(dāng)時，；當(dāng)時，。 于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；在內(nèi)為減函數(shù)。 （Ⅲ）， 因此，對任意，等價于.

9、令， 則， 因此，當(dāng)單調(diào)遞增； 當(dāng)單調(diào)遞減. 所以的最大值為， 故 設(shè). 因為， 所以時，，單調(diào)遞增， ， 故時，， 即 所以. 因此，對任意. 11.（2012·山東高考文科·Ｔ22）已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線在點處的切線與x軸平行. (Ⅰ)求k的值； (Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間； (Ⅲ)設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對任意. 【解題指南】（1）由曲線在點處的切線與軸平行可知即可求出k的值.（2）可由（1）的結(jié)論求解判斷單調(diào)區(qū)間.（3）構(gòu)造函數(shù)法求解的最值. 【解析】 (I)， 由已知，，∴. (II)由(I)知，. 設(shè)，則，

10、即在上是減函數(shù)， 由知，當(dāng)時，從而， 當(dāng)時，從而. 綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. (III)由(II)可知，當(dāng)時，≤0＜1+，故只需證明在時成立. 當(dāng)時，＞1，且，∴. 設(shè)，，則， 當(dāng)時，，當(dāng)時，， 所以當(dāng)時，取得最大值. 所以. 綜上，對任意，. 12.（2012·江西高考理科·Ｔ21）若函數(shù)h(x)滿足 （1）h(0)=1，h(1)=0； （2）對任意，有h(h(a))=a； （3）在（0,1）上單調(diào)遞減. 則稱h(x)為補(bǔ)函數(shù)。已知函數(shù) （1）判斷函數(shù)h(x)是否為補(bǔ)函數(shù)，并證明你的結(jié)論； （2）若存在，使得h(m)=m，稱m是函數(shù)h(x

11、)的中介元，記時，h(x)的中介元為xn，且，若對任意的，都有Sn< ,求的取值范圍； （3）當(dāng)=0，時，函數(shù)y= h(x)的圖象總在直線y=1-x的上方，求P的取值范圍。 【解題指南】判斷是否為補(bǔ)函數(shù)，即是看是否滿足上述三條性質(zhì)，可逐條驗證； （1） 先根據(jù)中介元的定義求出中介元，再對求和，求得，通過解不等式，求得的取值范圍； （2） 函數(shù)y= h(x)的圖象總在直線y=1-x的上方，則說明恒成立，然后分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求得最值，最終得到的取值范圍。 【解析】(1)函數(shù)是補(bǔ)函數(shù).證明如下： ①，； ②對任意，有 ； ③令有， 因為所以當(dāng)時，，所以

12、函數(shù)在上單調(diào)遞減. (2)當(dāng)，由，得： （i）當(dāng)時，中介元； （ii）當(dāng)且時，由（*）得或； 得中介元. 綜合（i）(ii)：對任意的.中介元為， 于是，當(dāng)時， 有 當(dāng)無限增大時，無限接近于0，無限接近于， 故對任意的，成立等價于，即. (3)當(dāng)時，，中介元為， （i）當(dāng)時，，中介元為， 所以點不在直線的上方，不符合條件； （ii）當(dāng)時，依題意只須在時恒成立， 也即在時恒成立， 設(shè)，則. 由得，且當(dāng)時，，當(dāng)時，， 又因為，所以當(dāng)時，恒成立. 綜上：的取值范圍是. 13.（2012·江西高考文科·Ｔ21）已知函數(shù)f(x)=（ax2+bx+c）ex在上單調(diào)遞減

13、且滿足f(0)=1，f(1)=0. （1）求a的取值范圍； （2）設(shè)g(x)= f(-x)- f′.(x)，求g(x)在上的最大值和最小值。 【解題指南】（1）利用f(0)=1，f(1)=0將用表示出來，然后利用f(x)=（ax2+bx+c）ex在上單調(diào)遞減在上恒成立，然后通過分類討論求得a的取值范圍； （2）化簡g(x)= f(-x)- f′(x)，通過對g(x)求導(dǎo)，然后分類討論求最值。 【解析】（1）由得， 則 依題意須對于任意，有. 當(dāng)時，因為二次函數(shù)的圖象開口向上，而，所以須，即； 當(dāng)時，對任意有，符合條件； 當(dāng)時，對于任意，，符合條件； 當(dāng)時，因，不符合條件.

14、 故的取值范圍為. (2)因， （i）當(dāng)時，，在上取得最小值，在上取得最大值. (ii)當(dāng)時，對于任意，有，在取得最大值，在取得最小值. (iii)當(dāng)時，由得. ① 若，即時，在上單調(diào)遞增，在取得最小值，在取得最大值. ② 若，即時，在取得最大值，在或取得最小值，而， 則當(dāng)時，在取得最小值； 當(dāng)時，在取得最小值. 14.（2012·新課標(biāo)全國高考理科·T21）已知函數(shù)滿足滿足； （1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間； （2）若，求的最大值。 【解題指南】（1）求導(dǎo)函數(shù),然后根據(jù)已知條件求得的解析式，最后求單調(diào)區(qū)間。 （2），，通過研究的性質(zhì)，求得的最大值，注意分類討論。

15、 【解析】（1） 令得： 得： 在上單調(diào)遞增 得：的解析式為 且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 （2）得 ①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增 時，與矛盾 ②當(dāng)時， 得：當(dāng)時， 令；則 當(dāng)時， 當(dāng)時，的最大值為 15.（2012·新課標(biāo)全國高考文科·Ｔ21）設(shè)函數(shù)f(x)= ex－ax－2 (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間 (

16、Ⅱ)若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時，(x－k) f′(x)+x+1>0，求k的最大值 【解題指南】（1）先確定函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)函數(shù)，因不確定的正負(fù)，故應(yīng)討論，結(jié)合的正負(fù)分別得出在每一種情況下的正負(fù)，從而確立單調(diào)區(qū)間； （2）分離參數(shù)，將不含有參數(shù)的式子看作一個新函數(shù)，將求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最值問題。 【解析】(1) 的定義域為,. 若,則,所以在單調(diào)遞增. 若,則當(dāng)時, ;當(dāng)時, >0, 所以, 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增. (II)由于,所以. 故當(dāng)時, 等價于 ① 令，則. 由（I）知，函數(shù)在單調(diào)遞增.而，所以在存在唯一的零點.故在

17、存在唯一的零點.設(shè)此零點為，則. 當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在的最小值為.又由，可得，所以. 由于①式等價于，故整數(shù)的最大值為2. 16.（2012·安徽高考理科·Ｔ19）設(shè) （I）求在內(nèi)的最小值； （II）設(shè)曲線在點處的切線方程為；求的值。 【解題指南】（1）設(shè)；則 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值；（2）曲線在點的切線方程為，則，解出的值. 【解析】（I）設(shè)；則 ①當(dāng)時，在上是增函數(shù) 得：當(dāng)時，的最小值為 ②當(dāng)時， 當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為 （II）

18、 由題意得： 17.（2012·安徽高考文科·Ｔ17）設(shè)定義在（0，+）上的函數(shù) （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若曲線在點處的切線方程為，求的值。 【解題指南】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值；（2）曲線在點的切線方程為，則，解出的值. 【解析】（I） 當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為 （II）由題意得： ① ② 由①②得： 18.（2012·遼寧高考理科·T21）設(shè)，曲線與直線在(0，0)點相切。 (1)求的值。 (2)證明：當(dāng)時，。 【解題指南】(1)

19、點在曲線上，則點的坐標(biāo)滿足曲線方程；同時據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以建立另一個方程，求出a,b;(2) 構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，借助函數(shù)單調(diào)性證明不等式 【解析】（1）由得圖象過點（0，0）得b=0； 由在點（0，0）的切線斜率， 則 （2）證明：當(dāng)時， 令，則 令，則當(dāng)時， 因此在（0,2）內(nèi)是遞減函數(shù)，又 則時， 所以時，，即在（0,2）內(nèi)是遞減函數(shù)， 由，則時， 故時， 19.（2012·遼寧高考文科·T21）設(shè)，證明： (Ⅰ)當(dāng)x﹥1時， ﹤ （ ） (Ⅱ)當(dāng)時， 【解題指南】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，借助函數(shù)單調(diào)性證明不等式 【解析】

20、（1）記，則 當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)，則當(dāng)時，， 所以，即 （2）記， 則由（1）得 當(dāng)時，，則 因此函數(shù)在（1,3）內(nèi)單調(diào)遞減， 所以時， 即 20.（2012·陜西高考理科·Ｔ21）（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù) （Ⅰ）設(shè)，，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點； （Ⅱ）設(shè)，若對任意，有，求的取值范圍； （Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)是在內(nèi)的零點，判斷數(shù)列的增減性. 【解題指南】（1）根據(jù)零點存在的條件和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；（2）需要進(jìn)行分類討論，等價轉(zhuǎn)化等，然后變形整理根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解；（3）通過轉(zhuǎn)化，可得關(guān)系。 【解析】（Ⅰ）當(dāng)，，時，. ∵，∴在內(nèi)存在

21、零點. 又當(dāng)時，，∴在上是單調(diào)遞增的， ∴在內(nèi)存在唯一零點. （Ⅱ） 當(dāng)時，，對任意都有等價于在上的最大值與最小值之差，據(jù)此分類討論如下： （?。┊?dāng)，即時，，與題設(shè)矛盾； （ⅱ）當(dāng)，即時，恒成立； （ⅲ）當(dāng)，即時，恒成立. 綜上可知，的取值范圍是. 注：（ⅱ）與（ⅲ）也可合并證明如下： 用表示中的較大者. 當(dāng)，即時， 恒成立. （Ⅲ）（證法一） 設(shè)是在內(nèi)的唯一零點（），則， ，，于是有 ， 又由（Ⅰ）知在上是遞增的，故. 所以，數(shù)列的是遞增數(shù)列. 證法二 設(shè)是在內(nèi)的唯一零點， ， 則的零點在內(nèi)，故. 所以，數(shù)列的是遞增數(shù)列. 21.（2

22、012·陜西高考數(shù)學(xué)文科·Ｔ21）（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù) （1）設(shè)，，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點； （2）設(shè)n為偶數(shù)，，，求b+3c的最小值和最大值； （3）設(shè)，若對任意，有，求的取值范圍. 【解題指南】（1）根據(jù)零點存在的條件和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；（2）把兩個絕對值不等式列出表達(dá)式，然后轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題；或?qū)Σ坏仁竭M(jìn)行變形整理，直接整理出結(jié)果；（3）需要進(jìn)行分類討論、等價轉(zhuǎn)化等，然后變形整理根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解. 【解析】（Ⅰ）當(dāng)，，時，. ∵，∴在內(nèi)存在零點. 又當(dāng)時，，∴在上是單調(diào)遞增的， ∴在內(nèi)存在唯一零點. （Ⅱ）（方法一）∵，，， ∴，又，所以，

23、 以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)畫出可行域，如圖所示， 觀察可行域可知，在點取到最小值，在點取到最大值0， ∴的最小值為，最大值為0. （方法二）由題意可得， ，即， ① ，即， ② ①2+②得：, 當(dāng)時，；當(dāng)時，， 所以的最小值為，最大值為0. （方法三）由題意知，解得， 所以 又∵，，∴，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以的最小值為，最大值為0. （Ⅲ）當(dāng)時，，對任意都有等價于在上的最大值與最小值之差，據(jù)此分類討論如下： （?。┊?dāng)，即時，，與題設(shè)矛盾； （ⅱ）當(dāng)，即時，恒成立； （ⅲ）當(dāng)，即時，恒成立. 綜上可知，的取值范圍是. 注：（ⅱ）與（ⅲ）也可合并證

24、明如下： 用表示中的較大者. 當(dāng)，即時， 恒成立. 22.（2012·浙江高考理科·Ｔ22）（本題滿分14分）已知>0,b∈R，函數(shù)f(x)=4x3-2bx-a+b。 （Ⅰ）證明：當(dāng)0x1時， （1）函數(shù)f(x)的最大值為 （2）； （Ⅱ）若對x∈恒成立，求的取值范圍。 【解題指南】本題是用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的性質(zhì)，求最值時需分類討論求解，要注意分類標(biāo)準(zhǔn)的確定，同時求的取值范圍時需化為線性規(guī)劃問題解決。 【解析】（Ⅰ）（1） 當(dāng)時，，在上為增函數(shù) = 當(dāng)時，若，即時，在上為減函數(shù) = 若，即時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù) 而，， ∴當(dāng)時， = 當(dāng)

25、時， = （2）由于，故 當(dāng)時，＋|2a－b|﹢a= 當(dāng)時，＋|2a－b|﹢a= 設(shè)，則 于是 0 1 － 0 + １ 減 極小值 增 １ 所以， 所以，當(dāng)時， 即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立． (Ⅱ)由(Ⅰ)知：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a， 且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大． ∵﹣1≤≤1對x[0，1]恒成立， ∴． 即和，目標(biāo)函數(shù)為z＝a＋b． 作圖如下： 由圖易得：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為z＝a＋b過P(1，2)時，有；過Ｑ(０，－１)時，有．

26、∴所求a＋b的取值范圍是． 23.（2012·浙江高考文科·Ｔ21）（本題滿分15分）已知a∈R，函數(shù). （1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間 （2）證明：當(dāng)0≤x≤1時，f(x)+ ＞0. 【解題指南】考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)時要注意分類討論，而不等式證明可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題。 【解析】（1） 當(dāng)時，，在（-∞，+∞）為增函數(shù) 當(dāng)時， 令，得 令，得 所以在上單增，在上單減，在上單增 綜上，當(dāng)時， 為增函數(shù)； 當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間。 （2）由（1）可得當(dāng)時，在為增函數(shù)，= 當(dāng)時，因為在上單增，在上單減，在上單增 若，即時，在為減函數(shù)

27、，= ∴f(x)+ 若，即時，在在上單減，在上單增，= 當(dāng)時， f(x)+ 令，則，， 則>0 在為增函數(shù)， 當(dāng)時， f(x)+ 綜上，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)+ ＞0. 24.（2012·北京高考理科·Ｔ18）已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a>0）,g(x)=x3+bx (1) 若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a、b的值； (2) 當(dāng)a2=4b時，求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（-∞，-1]上的最大值， 【解題指南】第（1）問，交點即在上也在上，在公切點處導(dǎo)數(shù)相等；第（2）問，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)

28、求單調(diào)區(qū)間與最大值。 【解析】（1）， 由已知可得，解得。 （2）， ，令，得， ， 由得，；由得，。 單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間為。 ，， 當(dāng)，即時，在上為增函數(shù)， 當(dāng)，即時，在上增，在上減，所以在處取得唯一極大值也是最大值； 當(dāng)，即時，在上增，在上減，在上增，且，。 綜上，當(dāng)時，f(x)+g(x)的最大值為；當(dāng)時，f(x)+g(x)的最大值為1。 25.（2012·北京高考文科·Ｔ18）已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. （I） 若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線，求,a,b的值； （II）

29、當(dāng)a=3,b=-9時，若函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍。 【解題指南】第（1）問，交點即在上也在上，在公切點處導(dǎo)數(shù)相等；第（2）問，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合h(x)的圖象，即可求出k的取值范圍。 【解析】（1）， 由已知可得，解得。 （2） ，令，得 -3 1 + 0 - 0 + 增 28 減 -5 增 當(dāng)時，取極大值38；當(dāng)時，取極小值-5。 而， 如果在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，則。 26.（2012·湖南高考理科·Ｔ22）已知函數(shù)f（x）=eax-

30、x，其中a≠0。 （1） 若對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合。 （2）在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點A（ｘ１，f(x１)），B（ｘ２，f(x２)（ｘ１＜ｘ２），記直線AB的斜率為K，問：是否存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立？若存在，求x0的取值范圍；若不存在，請說明理由。 【解題指南】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為，從而得出a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，通過構(gòu)造函數(shù)

31、，研究這個函數(shù)的單調(diào)性及最值來進(jìn)行分析判斷. 【解析】（Ⅰ）若，則對一切，，這與題設(shè)矛盾，又， 故. 而令 當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值 于是對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) 　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　?、? 令則 當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減. 故當(dāng)時，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)即時，①式成立. 綜上所述，的取值集合為. （Ⅱ）由題意知， 令則 令，則. 當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增. 故當(dāng)，即 從而，又 所以 因為函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使單調(diào)遞增，故這樣的是唯一的，且.故當(dāng)且僅當(dāng)時， .

32、綜上所述，存在使成立.且的取值范圍為 . 27.（2012·湖南高考文科·Ｔ22）（本小題滿分13分） 已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0. （1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；（2）在函數(shù)f(x)的圖象上去定點A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1

33、合；第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷. 【解析】令. 當(dāng)時單調(diào)遞減；當(dāng)時單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值 于是對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) 　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　?、? 令則 當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減. 故當(dāng)時，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，①式成立. 綜上所述，的取值集合為. （Ⅱ）由題意知， 令則 令，則. 當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增. 故當(dāng)，即 從而，又 所以 因為函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在 使即成立. 28.（201

34、2·江蘇高考·Ｔ18）（本小題滿分16分）若函數(shù)y=f(x)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)y=f(x)的極值點.已知a，b是實數(shù)，1和是函數(shù)的兩個極值點． （1）求a和b的值； （2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點； （3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點個數(shù)． 【解題指南】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)1和是函數(shù)的兩個極值點代入列方程組求解即可。（2）由（1）得，，求出，令，求解討論即可。（3）比較復(fù)雜，先分和討論關(guān)于 的方程 根的情況；再考慮函數(shù)的零點。 【解析】（1）由得 又因1和是函數(shù)的兩個極值點．所以的兩個根為1和。由根與系數(shù)的關(guān)系得 所以a＝0，b＝－3此時 （2）由得 當(dāng)時即

35、，此時函數(shù)單調(diào)遞增。 當(dāng)時即，此時函數(shù)單調(diào)遞減。 所以函數(shù)的極大值點。 （3）令，則。 先討論關(guān)于的方程 根的情況： 當(dāng)時，由（2）可知，的兩個不同的根為1 和一2 ，注意到是奇函數(shù)，∴的兩個不同的根為一和2。 當(dāng)時，∵， ， ∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。 由（1）知。 ① 當(dāng)時， ，于是是單調(diào)增函數(shù)，從而。 此時在無實根。 ② 當(dāng)時．，于是是單調(diào)增函數(shù)。 又∵，，的圖象不間斷， ∴ 在（1 , 2 ）內(nèi)有唯一實根。 同理，在（一2 ，一1 ）內(nèi)有唯一實根。 ③ 當(dāng)時，，于是是單調(diào)減兩數(shù)。 又∵， ，的圖象不間斷， ∴在（一1，1 ）內(nèi)有唯一實根

36、。 因此，當(dāng)時，有兩個不同的根滿足；當(dāng) 時 有三個不同的根，滿足。 現(xiàn)考慮函數(shù)的零點： ( i ）當(dāng)時，有兩個根，滿足。 而有三個不同的根，有兩個不同的根，故有5 個零點。 ( 11 ）當(dāng)時，有三個不同的根，滿足。 而有三個不同的根，故有9 個零點。 綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)有5 個零點；當(dāng)時，函數(shù)有9 個零點。 29.（2012·福建高考理科·Ｔ20） (本小題滿分14分)已知函數(shù)． (Ⅰ) 若曲線在點處的切線平行于軸，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（本題的切線正好是x軸，應(yīng)改為垂直于y軸） (Ⅱ) 試確定的取值范圍，使得曲線上存在唯一的點P，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P

37、． 【解題指南】本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，一元二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，抽象概括能力，推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類與整合思想，有限與無限思想． 【解析】（Ⅰ）由于 曲線在點處的切線斜率為 所以，即 此時，由得 當(dāng)，有， 當(dāng)，有， 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為． （Ⅱ）設(shè)點； 曲線在點處的切線方程為 令； 故曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點等價于函數(shù)有唯一零點． 因為，且 ⑴若時， 當(dāng)時，，則時， 當(dāng)時，，則時， 故只有唯一零點，由的任意性，不符合條件． ⑵若，令 則，

38、令，得 記 則當(dāng)時，，從而在內(nèi)單調(diào)遞減； 則當(dāng)時，，從而在內(nèi)單調(diào)遞增； ①當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時，，知在上單調(diào)遞增 所以函數(shù)在R上有且只有一個零點 ②當(dāng)時，由于在內(nèi)單調(diào)遞增，且， 則當(dāng)時，有， 任取，有 又當(dāng)時，易知 其中，， 由于，則必存在，使得 所以，故在內(nèi)存在零點，即在上至少有兩個零點。 ③若，仿②并利用，可證函數(shù)在上至少有兩個零點 綜上所述，當(dāng)時，曲線上存在唯一的點使該點處的切線與曲線只有一個公共點 30.（2012·廣東高考理科·Ｔ21）（本小題滿分14分） 設(shè)a＜1，集合， （1）求集合D（用區(qū)間表示） （2）求函數(shù)在D內(nèi)的極值點。 【解題

39、指南】 (1)解本題的關(guān)鍵是確定集合B，構(gòu)造, 因為,因為,所以3a-9<0,方了便于比較g(x)=0的根與0的大小關(guān)系，按分四類進(jìn)行討論。 (2)因為,, 所以由（1）知，時，在D內(nèi)無極值點。 然后分別和時，的極值即可. 【解析】(1)令 時，,方程有兩個不等實根，又 , 時， 時, 時,. 時， , 綜上得時， 時, 時， 時, . (2) 在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)， 由（1）知，時，在D內(nèi)無極值點。 時，在D內(nèi)有極大值點x=1,無極小值點。 時，在D內(nèi)有極大值點,極小值點 31.（2012·廣東高考文科·Ｔ21）同（2

40、012·廣東高考理科·Ｔ21） 設(shè)，集合. （1）求集合(用區(qū)間表示) （2）求函數(shù)在內(nèi)的極值點. 【解題指南】 (1)解本題的關(guān)鍵是確定集合B，構(gòu)造, 因為,因為,所以3a-9<0,方了便于比較g(x)=0的根與0的大小關(guān)系，按分四類進(jìn)行討論。 (2)因為,, 所以由（1）知，時，在D內(nèi)無極值點。 然后分別和時，的極值即可. 【解析】(1)令 時，,方程有兩個不等實根，又 , 時， 時, 時,. 時， , 綜上得時， 時, 時， 時, . (2) 在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)， 由（1）知，時，在D內(nèi)無極值點。 時，在D內(nèi)

41、有極大值點x=1,無極小值點。 時，在D內(nèi)有極大值點,極小值點。 32.（2012·湖北高考文科·Ｔ22）（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)，n為正整數(shù)，a,b為常數(shù)，曲線y=f(x)在（1，f(1)）處的切線方程為x+y=1. （1）求a,b的值； （2）求函數(shù)f(x)的最大值 （3）證明：f(x)< . 【解題指南】本題考查導(dǎo)數(shù)在解函數(shù)中的應(yīng)用,本題(1)易解,(2)問中直接求導(dǎo),求零點討論單調(diào)性求解;(3)要構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明( 【解析】(1).因為 ,由點（1，f(1)）在x+y=1上,則1+b=1,所以b=0.又，又切線x+y=1的斜率為-1，則a=1. 故：

42、a=1,b=0. (2).由（1）知， ，.令 得,即在(0,+)上有唯一零點.在(0, )上,,故單調(diào)遞增;而在(,+)上, ,故單調(diào)遞減. 故. (3).令則.在(0,1)上, ,故單調(diào)遞減;而在(1,+)上, ,故單調(diào)遞增,所以在(0,+)上的最小值為.所以.即令,得,即,也就是,由(2)知上式成立.故 f(x)< . 33.（2012·天津高考理科·Ｔ20） 已知函數(shù)的最小值為，其中. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若對任意的,有成立，求實數(shù)的最小值； （Ⅲ）證明. 【解題指南】（1）由導(dǎo)數(shù)求得最小值得出a的值； （2） 當(dāng)K>0時設(shè)函數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題

43、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解； （3） 對a進(jìn)行討論，綜合應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明。 【解析】（1）函數(shù)的定義域為，， 由，當(dāng)x變化時，的變化情況如下表： __ 0 + 極小值 因此，在x=1-a處取得最小值，故由題意。 （2） 當(dāng)時，取x=1，有不合題意。 當(dāng)k>0時，令即 令， ①當(dāng)時，在上恒成立，因此g(x)在上單調(diào)遞減。從而對于任意的，總有，即上恒成立。故符合題意。 ②當(dāng)對于內(nèi)單調(diào)遞增。因此當(dāng)取，即不成立，故不合題意。 綜上，的最小值為。 （3） 當(dāng)n=1時，不等式左邊==右邊，所以不等式成立， 當(dāng)時， = =， 在（2）中取，得，從而 ，所以有 = =， 綜上，.