2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)28 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

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1、考點(diǎn)28 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 一、選擇題 1.（2012·安徽高考文科·Ｔ8）若 ，滿(mǎn)足約束條件 ，則的最小值是（ ） （A） -3 （B）0 （C） （D）3 【解題指南】先作出可行域，根據(jù)的幾何意義求出最小值. 【解析】選.約束條件對(duì)應(yīng)及其內(nèi)部區(qū)域（含邊界），其中，則，其中為最小值點(diǎn). 2.（2012·廣東高考文科·Ｔ5）已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件 則z=x+2y的最小值為（ ） A．3 B.1 C.-5

2、 D.-6 【解題指南】解本小題的關(guān)鍵是正確做出可行域，按照直線定界，特殊點(diǎn)定域的原則進(jìn)行，在找最優(yōu)解時(shí)，要判斷準(zhǔn)z的值與直線z=x+2y在y軸的截距是正相關(guān)，還是負(fù)相關(guān)。本題是正相關(guān). 【解析】選C. 作出如圖所示的可行域,當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-1,-2)時(shí),z取得最小值,最小值為-5. 3.（2012·廣東高考理科·Ｔ5）已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件，則z=3x+y的最大值為（ ） A．12 B．11 C．3 D． 【解題指南】解本小題的關(guān)鍵是正確做出可行域，按照直線定界，特殊點(diǎn)定域的原則進(jìn)行，在找

3、最優(yōu)解時(shí)，要判斷準(zhǔn)z的值與直線z=3x+y在y軸的截距是正相關(guān)，還是負(fù)相關(guān)。本題是正相關(guān)。 【解析】選B.作出如圖所示的可行域，當(dāng)直線z=3x+y經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，2）時(shí)，z取得最大值， 最大值為11. 4.（2012·福建高考文科·Ｔ10）若直線上存在點(diǎn)滿(mǎn)足約束條件，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ） A． B． C． D． 【解題指南】本題考查線性規(guī)劃問(wèn)題，檢驗(yàn)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和轉(zhuǎn)化能力。 【解析】選B. 如圖， 當(dāng)經(jīng)過(guò)且只經(jīng)過(guò)和的交點(diǎn)時(shí)，m取到最大值，此時(shí)，即在直線，則． 5.（2012·遼寧高考文科·Ｔ9）與（2012·遼寧高

4、考理科·Ｔ8）相同 設(shè)變量x，y滿(mǎn)足則2x+3y的最大值為（ ） (A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【解題指南】作出線性約束條件表示的可行域，找到最優(yōu)解. 【解析】選D. 如圖，線性約束條件表示的可行域（圖中陰影部分），最優(yōu)解為點(diǎn)（5,15），則. A（5,15） 6.（2012·福建高考理科·Ｔ9）若函數(shù)圖象上存在點(diǎn)滿(mǎn)足約束條件，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ） A． B．1 C． D．2 【解題指南】結(jié)合不等式先畫(huà)可行域，描出動(dòng)直線，其它直線

5、和函數(shù)都是確定的，當(dāng)m向右移動(dòng)到y(tǒng)=2x的最終可接觸點(diǎn)時(shí)，即為所求 【解析】選B．如圖， 當(dāng)經(jīng)過(guò)且只經(jīng)過(guò)和的交點(diǎn)時(shí)，即三條曲線有唯一公共點(diǎn)， m取到最大值，此時(shí)，即在直線，由選項(xiàng)知，是解． 7. （2012·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·Ｔ5）已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A(1,1)，B(1,3)，頂點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)（x，y）在△ABC內(nèi)部，則z=－x+y的取值范圍是（ ） （A）(1－，2) （B）(0，2) （C）(－1，2) （D）(0，1+) 【解題指南】先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后畫(huà)出可行域，通過(guò)平移目標(biāo)函數(shù)，求得z的取值范圍. 【解析】選A.由頂點(diǎn)C在第

6、一象限且與A、B構(gòu)成正三角形可求得點(diǎn)C坐標(biāo)為，將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式為， 結(jié)合圖形可知 當(dāng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)取到最小值，此時(shí)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)取到最大值，此時(shí)，綜合可知的取值范圍為. 8.（2012·天津高考文科·Ｔ2）設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ） A．-5　 　B．-4 C．-2　　　D．3 【解題指南】做出可行域可知，所求目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)A（0,2）時(shí)取得最小值-4. 【解析】選B.畫(huà)出可行域， 設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為C，解得C（0,2），故目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)取得最小值-4. 9.（2012·山東高考文科·Ｔ6）與

7、（2012·山東高考理科·Ｔ5）相同 已知變量滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 【解題指南】本題可先根據(jù)題意畫(huà)出平面區(qū)域，將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式，平移目標(biāo)函數(shù)得取值范圍. 【解析】選A. 畫(huà)出約束條件平面區(qū)域表示的可行域如圖所示, y B C A 4x-y+1=0 x 2x+y-4=0 x+2y-2=0 由目標(biāo)函數(shù)得直線，當(dāng)直線平移至點(diǎn)A(2,0)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)取得最大值為6, 當(dāng)直線平移至點(diǎn)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)取得最小值為.所以目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是. 二、填空題 10. （2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T14

8、）設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件則z=x-2y的取值范圍為 【解題指南】由約束條件畫(huà)出可行域，然后將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式后平移求得z的取值范圍. 【解析】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分， 作直線，并向左上，右下平移，過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，過(guò)點(diǎn)B時(shí)，取最小值. 由得，由，得. , 【答案】. 11. （2012·安徽高考理科·Ｔ1）若滿(mǎn)足約束條件：；則的取值范圍為 【解題指南】先作出可行域，根據(jù)的幾何意義求出最小值. 【解析】約束條件對(duì)應(yīng)邊際及內(nèi)的區(qū)域：則. 【答案】. 12.（2012·湖北高考文科·Ｔ14）若變量x，y滿(mǎn)足約束條

9、件則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值是________. 【解題指南】本題考查線性規(guī)劃,解答本題的關(guān)鍵是正確地畫(huà)出可行域,找到最小值點(diǎn),再代入求解即可. 【解析】先作出可行域,如圖: 當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y有最小值2. 【答案】2. 13.（2012·江蘇高考·Ｔ14） 已知正數(shù)滿(mǎn)足：則的取值范圍是 【解題指南】考查不等式的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化和化歸的思想。關(guān)鍵是對(duì)不等式的變形和構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值. 【解析】變形為， 所以；所以⑴ 又； 因設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可以證明在上單減，在上單增，所以，故⑵，由⑴⑵可得.

10、 【答案】. 一題多解 條件可化為：。 設(shè)，則題目轉(zhuǎn)化為：已知滿(mǎn)足，求的取值范圍。 作出（）所在平面區(qū)域（如圖）. 求出的切線的斜率，設(shè)過(guò)切點(diǎn)的切線為， 則，要使它最小，須. ∴的最小值在處，為。此時(shí)，點(diǎn)在上之間。 當(dāng)（）對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)， ， ∴的最大值在處，為7. ∴的取值范圍為，即的取值范圍是. 14.（2012·浙江高考文科·Ｔ14）設(shè)z=x+2y，其中實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足 則z的取值范圍是_________. 【解題指南】利用線性規(guī)劃的方法即可求出其最大和最小值. 【解析】由解得 　　　，平移至原點(diǎn)時(shí)取得最小值０； 　　　平移至點(diǎn)時(shí)取得最大值． 【答案】. 15.（2012·陜西高考理科·Ｔ14）設(shè)函數(shù)，是由軸和曲線及該曲線在點(diǎn)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則在上的最大值為 . 【解題指南】先確定封閉區(qū)域D的大致范圍和關(guān)鍵點(diǎn)，其中求出切線方程是關(guān)鍵，然后確定z的含義，最后再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求最大值. 【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，所以，該曲線在點(diǎn)處的切線方程是，所以區(qū)域D是一個(gè)三角形，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是,（1,0）和（）,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)（0，）時(shí),z的值最大為2. 【答案】2.