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1、
3
數(shù)學分析續(xù)論》模擬試題及答案
一、單項選擇題(6、5)
(1) 設bn｝為單調(diào)數(shù)列，若存在一收斂子列1n?I這時有[]
nj
A.lima=liman；B.11不—定收斂；C.bn｝不一定有界；
nnnn
nTajtaJ
D.當且僅當預先假設了恚｝為有界數(shù)列時，才有A成立.
n
(2) 設f(x)在R上為一連續(xù)函數(shù)，則有[]
A.當I為開區(qū)間時f(I)必為開區(qū)間；B.當f(I)為閉區(qū)間時I必為閉區(qū)間;
C.當f(I)為開區(qū)間時I必為開區(qū)間；D.以上A、B、C都不一定成立.
(3) 設f(x)在某去心鄰域U(x°)內(nèi)可導.這時有[]
A?若limf'(
2、x)=A存在，則f'(x0)=A；B?若f在x0連續(xù)，則A成立；
xTx0
C.若f(x0)=A存在，則lim廣(x)=A；D.以上A、B、C都不一定成立.
xTx0
(4) 設f(x)在[a,b]上可積，則有[]
A.f(x)在[a,b]上必定連續(xù)；B.f(x)在[a,b]上至多只有有限個間斷點;
C．f(x)的間斷點不能處處稠密；D．f(x)在[a,b]上的連續(xù)點必定處處稠密(5)設￡un為一正項級數(shù).這時有
n=1
A．若limu=0,則nnTa
￡un收斂
n=1
B．
若￡un
n
n=1
收斂，則lim亠1<1；
u
nTan
c.若￡un收斂,
3、
n=1
則limnun<1；
D.以上A、B、C都不一定成立.
nTa
、計算題(10'x4)
(1) 試求下列極限:
①lim
nTg\
"1+3++(2n—1))
—n丿
lim
xT+8
(fx2A2Jetdt
(0丿
Je212dt
0
(2) 設
x
_1—
u=
y
,u0=
—2
ex2+y2
x丿
arctan
試求f'(u)與f'(u0).
(3)試求由曲線y=
，直線x=2，以及二坐標軸所圍曲
邊梯形的面積S．
(4)用條件極值方法(Lagrange乘數(shù)法)導出從固定點(x0,y0)到直線A
4、x+By+C=0的距離計算公式.
三、證明題(10'x3)
(1) 設f(x)與g(x)在［a,b］上都連續(xù)?試證：若
f(a)g(b)，
貝I」必存在x0e(a,b)，滿足f(x0)=g(x0)?
(2) 證明f(x)=xlnx在其定義域上為一嚴格凸函數(shù)，并導出不等式：
(a+b+cAa+b+c
5、m
'1+3+
+(2n—1)
—n
—3n
=lim=—3；
nf8
n+3
丿
nf8n+3
1)
lim
xT+8
f'(u)
JXe212dt
0
22
2xex+y
—y
x2+y2
所圍曲邊梯形如右圖所示．
S=J(1-
x2
22
)dx+J(x2
1
(x-
2ex2Jet2dt
0
2Jet2dt
2ex2
lim
0
=lim
=0
xf+8
ex2
xf+8
2xex
lim
xf+8
e2x2
y2
x2+y2
其面積為
-1)dx
x)
2
=2.
6、
1
（4）由題意，所求距離的平方（d2）為（x-x
0需滿足Ax+By+C=0，故此為一條件極小值問題依據(jù)Lagrange乘數(shù)法，設
)
L=(x-xo)2+(y-yo)2+入(Ax+By+C)，
5
并令
rl
x
7、By+C=0.
由方程組(F)可依次解出:
y=y0
一C=Ax+By
Ax0
2
九C
(A2+
2
九Ax+By
)2+(y一y0)2
(A2+B2)
(Ax0+By0+C)2
A2+B2
d=(x-x0)2+(y-y°)2
Ax+
0-
弋A2+B2
Byo+C
最后結(jié)果就是所求距離d的計算公式．
注上面的求解過程是由(F)求出九后直接得到d2，而不再去算出x與y的值,
這是一種目標明確而又簡捷的解法．
三［證(1)只需引入輔助函數(shù)：
h(x)=f(x)一g(x)．
易知h(x)在
8、［a,b］上連續(xù)，滿足h(a)<0,h(b)>0，故由介值性定理(或根的存在定理)，必存在x0g(a,b)，滿足h(x0)=0，即f(x0)=g(x0).
(2)/(x)=xlnx的定義域為(0,+8)，在其上滿足：
1
廠(x)=lnx+1,f"(x)=—>0,xg(0,+8)，
x
所以f(x)為一嚴格凸函數(shù).根據(jù)詹森不等式，對任何正數(shù)a,b,c，恒有
a+b+c
a+b+c
1
ln(
(
alna+blnb+clnc)
)<
3
3
3
a+
b+c
aabbcc).
nln(
a+b+c/
ln(
)abc<
9、
3
最后借助函數(shù)lnx的嚴格遞增性，便證得不等式
a+b+c)a+b+c,
《數(shù)學分析選論》習題全解 模擬試題及答案
