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1、湖南省十二校2013屆高三第二次考試
數(shù)學(xué)(理)試題
注意事項:
1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號寫在答題卡和本試題卷的封面上,并認真核對答題卡條形碼上的姓名、準考證號和科目。
2.選擇題和非選擇題均須在答題卡上作答,在本試題卷和草稿紙上答題無效??忌诖痤}卡上按如下要求答題:
(1)選擇題部分請按題號用2B鉛筆填涂方框,修改時用橡皮擦干凈,不留痕跡;
(2)非選擇題部分請按題號用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫,否則作答無效;
(3)請勿折疊答題卡。保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔。
3.本試題卷共6頁。如缺頁,考生須及時報告監(jiān)考老師,否則后果自負。
2、4.考試結(jié)束后,將本試題卷和答題卡一并交回。
總分:150分時量:120分鐘
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請將所選答案填在答題卡中對應(yīng)位置.
1.已知復(fù)數(shù),其中i是虛數(shù)單位,則z的模|z|等于
A.一2 B.3 C.4 D.2
2.已知,命題:方程=l表示橢圓,命題q:,則命題p是命題q成立的( )條件.
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
3.函數(shù),的最小正周期是
A. B. C.2 D.4
4.
3、如右圖,已知三棱錐的底面是邊長為l的正三角形,其正視圖與俯視圖如圖所示,
則其側(cè)視圖的面積為
A. B. C. D.1
5.已知函數(shù),,若存在實數(shù)a,b∈R,滿足,則a的取值范圍是
A.[1,3] B.(1,3)
C.[2一,2+] D.(2一,2+)
6.2012年6月9日,我省臨湘市部分山區(qū)遭遇歷史罕見的泥石流,大量村民房屋倒塌,災(zāi)“民生活狀況困難,災(zāi)情嚴重.省政府統(tǒng)一部署,加緊調(diào)集大量救災(zāi)物質(zhì)支援災(zāi)區(qū)的救災(zāi)工作,工作人員對6輛貨運省汽車進行編組調(diào)度,決定將這6輛汽車編成兩組,每組3輛,且甲與乙兩輛汽車不在同一小組.如果甲所在小組3輛汽車先開出,那
4、么這6輛汽車先后不同的發(fā)車順序共有
A.36種 B.108種
C.216種 D.432種
7.定義在R上的函數(shù)滿足單調(diào)遞增,如果,則的值
A.恒小于0 B.恒大于0
C.可能為0 D.可正可負
8.若表示不超過x的最大整數(shù)),則方程的實數(shù)解的個數(shù)是
A.1 B.0 C.2 D.4
二、填空題:本大題共8小題,考生作答7小題,每小題5分,共35分,把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上.
(一)選做題(請考生在9、10、1l三題中任選兩題作答,如果全做,則按前兩題記分)
9.(幾何證明選講)如圖,圓0的割線PBA
5、過圓心O,弦CD交PA
于點F,且△COF~△PDF,PB=OA=2,則.PF= .
10.(坐標系與參數(shù)方并呈)極坐標系中,曲線l
相交于點A,B,則|AB|= .
11.(不等式選講)已知半圓的直徑AB=2R,P是弧AB上一點,則2|PA|+3|PB|的最大值是 .
(二)必做題(12~16題)
12.已知二項式(展開式中,前三項的二項式系數(shù)和是56,則展開式中的常數(shù)項為 .
13.A是圓上固定的一定點,在圓上其他位置任取一點B,連接A、B兩點,它是一條弦,它的長度大于等于半徑的概率為 .
14.為調(diào)查長沙市中學(xué)生平均每人每天參加體育
6、鍛煉時間(單位:分鐘),
按鍛煉時間分下一列四種情況統(tǒng)計:①0~10分鐘;②11~20分鐘;
③21~30分鐘;④30分鐘以上.有l(wèi)0 000名中學(xué)生參加了此項活動,
下圖是此次調(diào)查中某一項的流程圖,其輸出的結(jié)果是6 200,則平均
每天參加體育鍛煉時間在0~20分鐘內(nèi)的學(xué)生的頻率是 .
15.定義:稱為n個正數(shù)的平均倒數(shù)若正項
數(shù)列的前n項的“平均倒數(shù)”為上,則數(shù)列的通項公
式為= .
16.已知數(shù)集X={若對任意的都存在,使得下列三組向量中恰有一組共線:
①向量()與向量();
②向量()與向量();
③向量()與向量(),則稱x具有性質(zhì)P例如(
7、1,2,4)具有性質(zhì)P.
(1)若{1,3,x}具有性質(zhì)P,則z的取值為
(2)若數(shù)集{l,3}具有性質(zhì)P,則的最大值與最小值之積為 .
三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
在平面直角坐標系中,O為坐標原點,已知向量,又點A(8,0),B(n,t)C(ksin,t)(≤).
(1)若
(2)若向量與向量a共線,當(dāng)k>4,且tsin取最大值為4時,求.
18.(本小題滿分12分)
已知梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB
8、、CD上的點,EF∥BC,AE--x,G是BC的中點.沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如圖)
(1)當(dāng)x=2時,求證:BD⊥EG;
(2)若以F、B、c、D為頂點的三棱錐的體積記為(x),當(dāng)f(x)取得最大值時,求二面角D—BF—C的余弦值.
19.(本小題滿分12分)
一個盒子裝有六張卡片,上面分別寫著如下六個定義域為R的函數(shù):
(x)= x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=2
(1)現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片,將卡片上的函數(shù)相加得一個新函數(shù),求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率;
(2)現(xiàn)從盒子中進行逐一
9、抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取,否則繼續(xù)進行,求抽取次數(shù)}的分布列和數(shù)學(xué)期望.
20.(本小題滿分13分)
湖南某知名企業(yè)為打入國際市場,決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn).已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:(單位:萬美元)
其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān),m為待定常數(shù),其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價格決定,預(yù)計m∈[6,8].另外,年銷售x件B產(chǎn)品時需上交0.05x2萬美元的特別關(guān)稅.假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去.
(1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤y1,y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義
10、域;
(2)如何投資才可獲得最大年利潤?請你做出規(guī)劃..
21.(本小題滿分13分) ,
拋物線C的方程為,過拋物線C上一點P()(x0≠0),作斜率為k1,k2的兩條直線,分別交拋物線C于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(P、A、B三點互不相同),且滿足+.
(1)求拋物線C的焦點坐標和準線方程;
(2)設(shè)直線AB上一點M滿足,證明:線段PM的中點在y軸上;
(3)當(dāng)λ=l時,若點P的坐標為(1,一1),求么.PAB為鈍角時,點A的縱坐標的取值范圍。
22.(本小題滿分13分)
已知函數(shù)的定義域為[0,1],且同時滿足:對任意若。
(1)求的最大值;
(2)試求的最大值;
(3)設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn,且滿足求證: