概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)經(jīng)典課件 概率論1

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1、1關(guān)鍵詞：樣本空間 隨機(jī)事件頻率和概率條件概率事件的獨(dú)立性第一章 概率論的基本概念21 隨機(jī)試驗(yàn)確定性現(xiàn)象：結(jié)果確定不確定性現(xiàn)象：結(jié)果不確定確定性現(xiàn)象不確定性現(xiàn)象確定不確定不確定自然界與社會(huì)生活中的兩類現(xiàn)象例：向上拋出的物體會(huì)掉落到地上 明天天氣狀況 買了彩票會(huì)中獎(jiǎng)3概率統(tǒng)計(jì)中研究的對(duì)象：隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗(yàn)統(tǒng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)。它具有以下特性：1.可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行2.事先知道可能出現(xiàn)的結(jié)果3.進(jìn)行試驗(yàn)前并不知道哪個(gè)試驗(yàn)結(jié)果會(huì)發(fā)生 例：拋一枚硬幣，觀察試驗(yàn)結(jié)果；對(duì)某路公交車某停靠站登記下車人數(shù)；對(duì)某批電子產(chǎn)品測(cè)試其輸入電壓；對(duì)聽(tīng)課人數(shù)進(jìn)行一次登記；42

2、樣本空間隨機(jī)事件(一一)樣本空間樣本空間 定義：隨機(jī)試驗(yàn)E的所有結(jié)果構(gòu)成的集合稱為E的 樣本空間樣本空間，記為S=e，稱S中的元素e為基本事件基本事件或樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)S=0,1,2,；S=正面，反面；S=(x,y)|T0yxT1；S=x|axb 記錄一城市一日中發(fā)生交通事故次數(shù) 例：一枚硬幣拋一次記錄某地一晝夜最高溫度x，最低溫度y 記錄一批產(chǎn)品的壽命x5(二)隨機(jī)事件隨機(jī)事件 一般我們稱S的子集A為E的隨機(jī)事件隨機(jī)事件A，當(dāng)且僅當(dāng)A所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生稱事件A發(fā)生。S0,1,2,；記 A至少有10人候車10,11,12,S，A為隨機(jī)事件，A可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。例：觀察89路公交車浙大站候

3、車人數(shù)，如果將S亦視作事件，則每次試驗(yàn)S總是發(fā)生，故又稱S為必然事件必然事件。為方便起見(jiàn)，記為不可能事件不可能事件，不包含任何樣本點(diǎn)。6(三)事件的關(guān)系及運(yùn)算事件的關(guān)系及運(yùn)算v事件的關(guān)系（包含、相等）v例：記A=明天天晴，B=明天無(wú)雨記A=至少有10人候車，B=至少有5人候車一枚硬幣拋兩次，A=第一次是正面，B=至少有一次正面 2 ABABBA1 ABAB：事件 發(fā)生一定導(dǎo)致 發(fā)生BABABASAB7v 事件的運(yùn)算|ABx xAxBAB或：與 至少有一發(fā)生。121121,ninininiAAAAAAAA：至 少 有 一 發(fā) 生：同 時(shí) 發(fā) 生SBASABSBAAB A與B的和事件，記為,AB

4、A B AB A與B的積事件，記為|ABx xAxBAB且：與 同時(shí)發(fā)生。當(dāng)AB=AB=時(shí)，稱事件A A與B B不相容的，或互斥的。8“和”、“交”關(guān)系式1211nniiniiAAA AA；1211nniiniiAAAAA；AB AB ABABABABSABASA|A BABx xAxB且,AASABSAAA BA BA A 的記為,逆事件互若,稱逆、互斥 例：設(shè)A A=甲來(lái)聽(tīng)課，B B=乙來(lái)聽(tīng)課 ，則：甲、乙至少有一人來(lái)甲、乙都來(lái)甲、乙都不來(lái)甲、乙至少有一人不來(lái)93 頻率與概率(一)頻率 定義：記 其中 A發(fā)生的次數(shù)(頻數(shù))；n總試驗(yàn)次 數(shù)。稱 為A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率頻率。例：中國(guó)國(guó)家

5、足球隊(duì)，“沖擊亞洲”共進(jìn)行了n次，其中成功了一次，則在這n次試驗(yàn)中“沖擊亞洲”這事件發(fā)生的頻率為某人一共聽(tīng)了17次“概率統(tǒng)計(jì)”課，其中有15次遲到，記A=聽(tīng)課遲到，則#頻率 反映了事件A發(fā)生的頻繁程度。An()nAfAnn；()nfA1 n；()15 1788%nfA()nfA試驗(yàn)序號(hào)n=5n =50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.62251249256253

6、2512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表表 1 1 例：拋硬幣出現(xiàn)的正面的頻率11實(shí)驗(yàn)者nnHfn(H)德摩根204810610.5181蒲 豐404020480.5069K皮爾遜1200060190.5016K皮爾遜24000120120.5005表表 2 212*頻率的性質(zhì)：且 隨n的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為p()nfA121110()12()13,()()nnkkkniniiifAfSA AAfAfA。若,兩兩互不相容，則 13(二)概率 定義1：的穩(wěn)定值p定義為A的概率，記為P(A)=p

7、定義2：將概率視為測(cè)度，且滿足：稱P(A)為事件A的概率概率。()nfA10()1P A。2()1P S。12113,()()kkkiiiiA AAPAP A。若,兩兩互不相容，則 142()()()()()ABP BAP BP AP BP A，若則有 3 ()()()()P ABP AP BP AB概率的加法公式：1 ()1()P AP A性質(zhì)：AAS()()1P AP A()0P BAAB()()()P BP AP AB()()()()0P BP AP ABP BA()()P BP A()ABABAB()()()P ABP AP BAB2()()()BABP BABP BP AB。又，由

8、知()()()()P ABP AP BP AB#3。的推廣：1111121()()()()(1)()nniiijiij ninijknij k nPAP AP A AP A A AP A AA ()0()1P AAP AAS 不能；不能；154 等可能概型（古典概型）定義：若試驗(yàn)E滿足：1.S中樣本點(diǎn)有限(有限性)2.出現(xiàn)每一樣本點(diǎn)的概率相等(等可能性)AP AS所包含的樣本點(diǎn)數(shù)中的樣本點(diǎn)數(shù)稱這種試驗(yàn)為等可能概型等可能概型(或古典概型或古典概型)。16v例1：一袋中有8個(gè)球，編號(hào)為18，其中13 號(hào)為紅球，48號(hào)為黃球，設(shè)摸到每一 球的可能性相等，從中隨機(jī)摸一球，記A=摸到紅球，求P(A)解：

9、S=1,2,8 A=1,2,3 38P A17例2：從上例的袋中不放回的摸兩球，記A=恰是一紅一黃，求P(A)解：11235815()/53.6%28P AC CC()/,0,1,kn knkDN DNP AC CCkn0LmC（注：當(dāng)Lm或L0，i=1,2,n；則稱：12nAASABABAB1()(|)(|)()(|)iiinjjjP B P A BP BAP B P A B()(|)()iiP B AP BAP AijABABij與不相容1()()(|)njjjP AP BP A B為全概率公式全概率公式1()()njjP AP AB1()(|)njjjP BP A BB1B2BnSA證明

10、：證明：定理：接上定理?xiàng)l件，稱此式為BayesBayes公式。公式。30*全概率公式可由以下框圖表示：設(shè) P(Bj)=pj,P(A|Bj)=qj,j=1,2,n易知：11njjpSP1P2Pn.B2B1Bn.q2q1qnA 1|njjjP AP BP A B31例：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為80%，若甲出差，則乙出差的概率為20%；若甲不出差，則乙出差的概率為90%。(1)求近期乙出差的概率；(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。()0.80,(|)0.20,(|)0.90P AP B AP B A已知 1 ()()P BP ABAB()(|)()(|)P A P B A

11、P A P B A0.8 0.2 0.2 0.9 34%()()1682 (|)()()()34 17P ABP ABP A BPBP ABP ABABAB與不相容Bayes公式全概率公式()()P ABP AB解：設(shè)A=甲出差，B=乙出差32 例：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有5%的假陽(yáng)性及5%的假陰性：若設(shè)A=試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，C=被診斷患有癌癥 則有：已知某一群體P(C)=0.005，問(wèn)這種方法能否用于普查？(|)5%,(|)5%,P A CP A C()(|)()P ACP C AP A()(|)0.087()(|)()(|)P CP A CP C P A CP C P A

12、C若P(C)較大，不妨設(shè)P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987說(shuō)明這種試驗(yàn)方法可在醫(yī)院用解：考察P(C|A)的值若用于普查，100個(gè)陽(yáng)性病人中被診斷患有癌癥的大約有8.7個(gè)，所以不宜用于普查。336 獨(dú)立性v 例：有10件產(chǎn)品，其中8件為正品，2件為次品。從中取2 次,每次取1件，設(shè)Ai=第i次取到正品，i=1,221278(|)()910P AAP A2128(|)()10P AAP A()0,()0P AP B不放回抽樣時(shí)，放回抽樣時(shí)，即放回抽樣時(shí)，A1的發(fā)生對(duì)A2的發(fā)生概率不影響 同樣，A2的發(fā)生對(duì)A1的發(fā)生概率不影響定義：設(shè)A，B為兩隨機(jī)事件，若P(B|A)=P(B)，即P(AB

13、)=P(A)*P(B)即P(A|B)=P(A)時(shí)，稱A，B相互獨(dú)立相互獨(dú)立。34 注意：,1A BA BA BA BP ABP AP BP ABP AABP AP ABP AP BP A P B相互獨(dú)立相互獨(dú)立相互獨(dú)立相互獨(dú)立當(dāng)時(shí)1212112,2,kjnkiiiijnA AAnknP A AAP AA AA定義：設(shè)為 個(gè)隨機(jī)事件，若對(duì) 均有：則稱相互獨(dú)立1 兩兩獨(dú)立不能相互獨(dú)立2 實(shí)際問(wèn)題中，常常不是用定義去驗(yàn)證事件的獨(dú)立性，而是由實(shí)際情形來(lái)判斷其獨(dú)立性。35v 例：甲、乙兩人同時(shí)向一目標(biāo)射擊，甲擊中 率為0.8，乙擊中率為0.7，求目標(biāo)被擊中的概率。()()()()CABP CP AP B

14、P AB則：，()0.70.80.560.94P C 解：設(shè) A=甲擊中,B=乙擊中C=目標(biāo)被擊中 甲、乙同時(shí)射擊，其結(jié)果互不影響，A，B相互獨(dú)立36 例：有4個(gè)獨(dú)立元件構(gòu)成的系統(tǒng)(如圖)，設(shè)每個(gè)元 件能正常運(yùn)行的概率為p，求系統(tǒng)正常運(yùn)行的 概率。,1,2,3,4 iAiiA解：設(shè)第 個(gè)元件運(yùn)行正常系統(tǒng)運(yùn)行正常1432注意：這里系統(tǒng)的概念與電路 中的系統(tǒng)概念不同1234AAA AA則：1234,A A A A由題意知，相互獨(dú)立231234()()()()P AP AP A AAp ppp32512314()()P AP A A AA Appp另解，對(duì)嗎？37 1,2p p 例：甲、乙兩人進(jìn)行乒

15、乓球比賽，每局甲勝的概率為 對(duì)甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利？設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立。,1,2,5iiAiP Ap i解：設(shè)第 局甲勝A 再設(shè)甲勝 22121231231121P AP A AA A AA A Apppp 三局二勝制：22213121PPPPP 123452313233422 11P AP A A AAApCp pCppp 五局三勝制：前三次有一次輸前四次有兩次輸21211,2 1,2pppppp當(dāng)當(dāng)38總結(jié)：1.2.;3.01;1 1 1 2AnSeASAB ABAB AB AnfAnP AP SABP ABP AP BP AP AABP AP 樣本空間 隨機(jī)

16、事件事件的關(guān)系：事件的運(yùn)算：頻率：概率的定義：滿足當(dāng)時(shí)，概率的性質(zhì)：當(dāng)時(shí) 1211 3 =4.|,()(|)()()(|),(|)()(|)5.nniijjinjjjjBP ABP AP BP ABP ABP B AP ABP A P B AP AB BBSP B P A BP AP B P A BP BAP B P A B條件概率：當(dāng)為 的一劃分時(shí)，事件獨(dú)立性39復(fù)習(xí)思考題復(fù)習(xí)思考題 1 1,3.,A BABABABABA BA BABABA BAB設(shè) 和 為兩事件即“至少有一發(fā)生”事件 為“恰有一發(fā)生”事件與“同時(shí)發(fā)生”事件的和事件。此結(jié)論成立嗎？1.“事件A不發(fā)生，則A=”,對(duì)嗎？試舉例

17、證明之。2.“兩事件A和B為互不相容，即AB=,則A和B互逆”，對(duì)嗎？反之成立嗎？試舉例說(shuō)明之。4.甲、乙兩人同時(shí)猜一謎，設(shè)A=甲猜中，B=乙猜中，則AB=甲、乙兩人至少有1人猜中。若P(A)=0.7,P(B)=0.8,則“P(AB)=0.7+0.8=1.5”對(duì)嗎？5.滿足什么條件的試驗(yàn)問(wèn)題稱為古典概型問(wèn)題？12 10,19 ,6.AAS SA ASAP A一口袋中有個(gè)球 其中有 個(gè)白球及 個(gè)紅球。從中任意取一球 設(shè)取到白球則取到紅球且設(shè)樣本空間為中有兩個(gè)樣本點(diǎn) 而 是其中一個(gè)樣本點(diǎn)問(wèn)對(duì)嗎？407.如何理解樣本點(diǎn)是兩兩互不相容的？8.設(shè)A和B為兩隨機(jī)事件，試舉例說(shuō)明P(AB)=P(B|A)表示

18、不同的意義。10.什么條件下稱兩事件A和B相互獨(dú)立？什么條件下稱n個(gè)事件A1,A2,An相互獨(dú)立？11.設(shè)A和B為兩事件，且P(A)0,P(B)0,問(wèn)A和B相互獨(dú)立、A和B互不相容能否同時(shí)成立？試舉例說(shuō)明之。12.設(shè)A和B為兩事件，且P(A)=a,P(B)=b,問(wèn)：(1)當(dāng)A和B獨(dú)立時(shí),P(AB)為何值？(2)當(dāng)A和B互不相容時(shí),P(AB)為何值？,0,|1|9.ABP AP B AP BP B AP B AP B A 設(shè) 和 為隨機(jī)事件問(wèn)是否成立？是否成立？4113.當(dāng)滿足什么條件時(shí)稱事件組A1,A2,An為樣為本空間 的一個(gè)劃分？14.設(shè)A,B,C為三隨機(jī)事件，當(dāng)AB，且P(A)0,P(B

19、)0時(shí)，P(C|A)+P(C|B)有意義嗎？試舉例說(shuō)明。15.設(shè)A,B,C為三隨機(jī)事件,且P(C)0,問(wèn)P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)是否成立？若成立，與概率的加法公式比較之。42第二章 隨機(jī)變量及其分布關(guān)鍵詞：隨機(jī)變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的函數(shù)431 隨機(jī)變量*常見(jiàn)的兩類試驗(yàn)結(jié)果：示數(shù)的降雨量；候車人數(shù)；發(fā)生交通事故的次數(shù)示性的明天天氣（晴，多云）；化驗(yàn)結(jié)果（陽(yáng)性，陰性）esx離散型的連續(xù)型的X=f(e)為S上的單值函數(shù)，X為實(shí)數(shù)*中心問(wèn)題：將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化*定義：隨試驗(yàn)結(jié)果而變的量X為隨機(jī)變量*常見(jiàn)的兩類隨機(jī)變量442 離散型隨

20、機(jī)變量及其分布 定義：取值可數(shù)的隨機(jī)變量為離散量離散量離散量的概率分布(分布律)10,1iiipp樣本空間S X=x1，X=x2，X=xn，由于樣本點(diǎn)兩兩不相容111()()iiiiP SP Xxp1、寫出可能取值即寫出了樣本點(diǎn)2、寫出相應(yīng)的概率即寫出了每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率P1x2xix1p2pipX#概率分布45 例：某人騎自行車從學(xué)校到火車站，一路上要經(jīng) 過(guò)3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú)立，且設(shè) 各燈為紅燈的概率為p，0p1，以X表示首次 停車時(shí)所通過(guò)的交通燈數(shù)，求X的概率分布律。1(0)()P XP Ap；12(1)()(1)P XP A Ap p；2123(2)()(1)P XP A

21、 A App；3123(3)()(1)P XP A A Ap；pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3 0,1,2 3XXXXS注意：為 的一個(gè)劃分 解：設(shè)Ai=第i個(gè)燈為紅燈，則P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互獨(dú)立。46 例：從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)產(chǎn)品 的次品率為p，0p1，若查到一只次品就 得停機(jī)檢修，設(shè)停機(jī)時(shí)已檢測(cè)到X只產(chǎn)品，試寫出X的概率分布律。1121()()(1),1,2,kkkP XkP A AAApp k 解：設(shè)Ai=第i次抽到正品，i=1,2,則A1,A2,相互獨(dú)立。亦稱X為服從參數(shù)p的幾何分布。幾何分布。47三個(gè)主要的離散型隨機(jī)變

22、量 01(p)分布 二項(xiàng)分布Xpq01p樣本空間中只有兩個(gè)樣本點(diǎn)即每次試驗(yàn)結(jié)果即每次試驗(yàn)結(jié)果互不影響互不影響在相同條件下在相同條件下重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行(p+q=1),A A *n重貝努利試驗(yàn)：設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能的結(jié)果：p(A)=p,0p1,將E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，則稱這一串的試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)貝努利試驗(yàn)。48例：1.獨(dú)立重復(fù)地拋n次硬幣，每次只有兩個(gè)可能的結(jié)果：正面，反面，如果是不放回抽樣呢？,A A,A A1 2P出現(xiàn)正面 1 6P A 1 2P A 2.將一顆骰子拋n次，設(shè)A=得到1點(diǎn)，則每次試驗(yàn) 只有兩個(gè)結(jié)果：3.從52張牌中有放回地取n次，設(shè)A=取到紅牌，則 每次只有兩個(gè)結(jié)果：49設(shè)

23、A在n重貝努利試驗(yàn)中發(fā)生X次，則并稱X服從參數(shù)為p的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布，記()(1)01kkn knP XkC ppkn，()Xb np，3123(0)()(1)P XP A A Ap3123(3)()P XP A A Ap223 21231231233(2)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp113 11231231233(1)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp ()(1),0,1,2,kkn knP XkC ppkn一般0 1()1nnkkn knkpqC p qqp 注：其中推導(dǎo)：設(shè)Ai i=第i次A發(fā)生，先設(shè)n=350例：設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備

24、，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能有一個(gè)人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法，其一是由4個(gè)人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由3個(gè)人共同維護(hù)80臺(tái)。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小。511,2,3,420iXA ii解：以 記“第一人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”。以表示事件“第 人維護(hù)的臺(tái)中發(fā)生故障不能 及時(shí)維修”，則知80臺(tái)中發(fā)生故障不按第一種方法。能及時(shí)維修的 概率為：123412P AAAAP AP X20,0.01,Xb而故有：1021kP XP Xk 12020010.010.990.0169kkkkC 12340.01

25、69P AAAA即有：80,80,0.01,80YYb按第二種以 記臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，此時(shí)故臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修方法。的概率為：380800410.010.990.0087kkkkP YC 52 例：某人騎了自行車從學(xué)校到火車站，一路上 要經(jīng)過(guò)3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú) 立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為p，0p1，以Y表示一路上遇到紅燈的次數(shù)。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次紅燈的概率。(3,)Ybp 331 ()(1),0,1,2,3kkkP YkC ppk 2232 (2)(1)P YC pp 解：這是三重貝努利試驗(yàn)53 例：某人獨(dú)立射擊n次，設(shè)每次命中率為p，0

26、p0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)指數(shù)分布分布。記為 0()0 0 xexf xx()XEP1 0()0 0 xexF xx 00(|)P Xtt Xt00()()P XttP Xt001()1()tF tteF t()P Xt X具有如下的無(wú)記憶性：65 210tN ttPoissonTT例：某大型設(shè)備在任何長(zhǎng)度為 的區(qū)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù) 服從參數(shù)為的分布，記設(shè)備無(wú)故障運(yùn)行的時(shí)間為 1 求 的概率分布函數(shù)；已知設(shè)備無(wú)故障運(yùn)行個(gè)小時(shí)，求再無(wú)故障運(yùn)行 8個(gè)小時(shí)的概率。/!,0,1,2,ktP N tketkk解：1 00TtFt當(dāng)時(shí)，1TFtP TtP Tt 0101tTtFtP N te 當(dāng)時(shí)

27、，8182 18|10810P TP TTeP TP T66 正態(tài)分布定義：設(shè)X的概率密度為其中 為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布(Gauss分布)，記為可以驗(yàn)算：22()21()2xf xex，2(,)XN()1f x dx+()f x dx22 tIedt記2212xttedt令2212tedt22()22xyIedxdy22200rdredr2I()1f x dx2,2,67稱為位置參數(shù)(決定對(duì)稱軸位置)為尺度參數(shù)(決定曲線分散性)max21 ()12 ()23 ()0(,)xf xxfflimf xXN 關(guān)于對(duì)稱0 f x1x550.51.0 f xx1.50.7980.3990.2

28、66068X的取值呈中間多，兩頭少，對(duì)稱的特性。當(dāng)固定時(shí)，越大，曲線的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散，是反映X的取值分散性的一個(gè)指標(biāo)。在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布。692 (,)XN 當(dāng)時(shí) (0 1)ZNZ記，稱 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布()()()baP aXb()P aXb xt作變換：221 2xZxe的概率密度：221 ()2txZxedt的分布函數(shù)：1xx22()212xbaedx()P aXb2212btaedt()yx()x()x0yxxx70 例：2(,)XN ()()(1)(1)2(1)10.6826P XPX(2)2(2)10.9544P X

29、 (3)2(3)10.9974P X 查書后附表99.74%3268.26%2395.44%71 例：一批鋼材(線材)長(zhǎng)度(1)若=100，=2，求這批鋼材長(zhǎng)度小于97.8cm的概率；(2)若=100，要使這批鋼材的長(zhǎng)度至少有90%落在區(qū)間(97,103)內(nèi)，問(wèn)至多取何值？2()(,)X cmN (97.8)P X 解：(1)97.8 100()21(1.1)1 0.86430.1357查附表=9710390%PX(2)令：103 10097 1003()()2()190%即3()0.9531.6451.823772 例：設(shè)某地區(qū)男子身高(1)從該地區(qū)隨機(jī)找一男子測(cè)身高，求他的身高大于175c

30、m的概率；(2)若從中隨機(jī)找5個(gè)男子測(cè)身高,問(wèn)至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率為多少？2()(169.7,4.1)X cmN (175)P X 解：(1)5175(5,),0.0985cmbpp(2)設(shè) 人中有Y人身高大于，則Y其中175 169.71()4.1 1(1.293)1 0.90150.0985 查表5(1)1(0)1(1)0.4045P YP Yp 1145(1)(1)0.3253P YC pp735 隨機(jī)變量的函數(shù)分布問(wèn)題：已知隨機(jī)變量X的概率分布，且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。2(,)XN，(0)P Y Xpi i0.2-101

31、0.50.3(0)0.5P X(1)P Y(1)(1)PXX(1)(1)0.5P XP X 例如，若要測(cè)量一個(gè)圓的面積，總是測(cè)量其半徑，半徑的測(cè)量值可看作隨機(jī)變量X，若 則Y服從什么分布？例：已知X具有概率分布 且設(shè)Y=X2，求Y的概率分布。解：Y的所有可能取值為0,1即找出(Y=0)的等價(jià)事件(X=0)；(Y=1)的等價(jià)事件(X=1)或(X=-1)74例：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。,04()80,Xxxfx其他2()YFyP YyP XyPyXy 0()0;YyFy當(dāng)時(shí)，16()1YyFy當(dāng)時(shí)，016 y當(dāng)時(shí),11,0168162 0,yyy其他()()()()()()

32、()xau xadf xf t dtf xdxdf t dtf u x u xdx連續(xù)時(shí)，()()XYFxFy，解：分別記X,Y的分布函數(shù)為()0YFyPXy()XFy()yXft dt1(),0162()0,XYfyyyfy其他Y在區(qū)間(0,16)上均勻分布。75一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的過(guò)程為：12 ,(),()();jjiYYy yyYyXDP YyP XD1.若 為離散量，則先寫出 的可能取值：再找出的等價(jià) 事件得2.()()(),()()()YYYYYFyP YyYyXDFyP XDYfy若 為連續(xù)量，則先寫出 的概率分布函數(shù)：，找出的等價(jià)事件得；再求

33、出 的概率密度函數(shù)；關(guān)鍵是找出等價(jià)事件。76例：設(shè) Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。13X-110p131323Z01p1313Y-220p1313解：Y的可能取值為-2,0,2 Z的可能取值為0,1(Y=-2)的等價(jià)事件為(X=-1)(Z=1)的等價(jià)事件為(X=1)(X=-1)故得：77例：2()()YXf xxYXYfy 設(shè) 的概率密度為，求 的概率密度()YYFy解：設(shè) 的概率分布函數(shù)為 0()YyFy當(dāng)時(shí)，()P Yy2()P Xy()yyf t dt00()()yyf t dtf t dt()()YYfyFy1()(),02 0,0fyfyyyy78(),()0()0)()X

34、Xfxxg xg xYg XY 定理：設(shè)，或。，則 具有概率密度為：()(),()0,XYfh yh yyfy其他min(),()max(),()()()ggggh yxyg x其中，()0,g x 證明：不妨設(shè)()0h y 且：()()()()()YXXfyfh y h yfh yh y()0 g x 同理可證：當(dāng)時(shí)，定理為真xh(y),yy0y=g(x)y g x則為單調(diào)增函數(shù),()()()()0YyFyP YyP g XyP X 當(dāng)時(shí)，；y當(dāng)時(shí)，()1YFy ；y當(dāng)時(shí)，()()YFyP Yy()P g Xy()P Xh y()()h yXft dt79(),()0(,),()0()0)(

35、)()(),()0,min(),()max(),()()()XXYXfxx f xa baxbg xg xYg XYfh yh yyfyg a g bg a g bh yxyg x推論：設(shè)當(dāng)時(shí)或。，則 具有概率密度為：其他其中，80例：2(,)()YXXNYYfy 設(shè)，求 的概率密度()xyg x，3,04()()80,YxxXf xYXfy。若，求 其他3()yg xx，131,064()24 0,Yyyfy其他222(,)(,)XNYaXbYN ab a 一般若，1()0g x，()xh yy()()YXfyfy2212ye(0,1)YN13()xyh y2()30g xx，21331()

36、()3YXfyyfy解：例：解：81 1 2,0,1XF xXF xYF XYU例：設(shè) 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，為 的分布函數(shù)。求；設(shè)試證即均勻分布。,01 0 ,0 xexXf xx解：由前知,1,0 0 ,0 xexF xx 1,02 0 ,0XeXYF XX 01Y YFyY記為 的概率分布函數(shù),00YyFyP Yy當(dāng)時(shí)，11YyFyP Yy當(dāng)時(shí)，011XYyFyPey當(dāng)時(shí)，1XP ey 11P Xlny 0,0,01,0,11,1YyFyyyYUy即111lnyey 82復(fù)習(xí)思考題復(fù)習(xí)思考題 2 21.什么量被稱為隨機(jī)變量？它與樣本空間的關(guān)系如何？2.滿足什么條件的試驗(yàn)稱為“n重貝努里

37、試驗(yàn)”？3.事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p,0p1。若在n次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中，A發(fā)生的總次數(shù)為X,則X服從什么分布？并請(qǐng)導(dǎo)出：4.什么條件下使用泊松近似公式等式較為合適？5.什么樣的隨機(jī)變量稱為連續(xù)型的？6.若事件A為不可能事件，則P(A)=0,反之成立嗎？又若A為必然事件，則P(A)=1，反之成立嗎？7.若連續(xù)型隨機(jī)變量X在某一區(qū)間上的概率密度為0，則X落在該區(qū)間 的概率為0，對(duì)嗎？8.若隨機(jī)變量X在區(qū)間(a,b)上均勻分布，則X落入(a,b)的任意一子區(qū)間 (a1,b1)上的概率為(b1-a1)/(b-a),對(duì)嗎？9.若XN(,2)，則X的概率密度函數(shù)f(x)在x=處值最大，因此X落在附近的概率最大，對(duì)嗎？1,0,1,n kkknP XkC pkkn