【優(yōu)化設(shè)計】（福建專版）2015中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 單元檢測五

四邊形 (時間:90分鐘　總分:120分) 一、選擇題(每小題4分,共40分) 1.當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加1時,它的內(nèi)角和與外角和(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.都不變 B.內(nèi)角和增加180°,外角和不變 C.內(nèi)角和增加180°,外角和減少180° D.都增加180° 2.李明設(shè)計了下面四種正多邊形的瓷磚圖案,用同一種瓷磚可以平面密鋪的是(　　) A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③ 3.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,對角線AC,BD相交于點O,則OA的取值范圍是(　　) A.3 cm<OA<5 cm B.2 cm<OA<8 cm C.1 cm<OA<4 cm D.3 cm<OA<8 cm 4.如圖,矩形ABCD的周長為20 cm,兩條對角線相交于點O,過點O作AC的垂線EF,分別交AD,BC于點E,F,連接CE,則△CDE的周長為(　　) A.10 cm B.9 cm C.8 cm D.5 cm 5.如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AC⊥BC,點E是AB的中點,EC∥AD,則∠ABC等于(　　) A.75° B.70° C.60° D.30° 6.如圖,在正方形ABCD中,E為AB的中點,AF⊥DE于點O,則等于(　　) A. B. C. D. 7.如圖,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,E,F分別是BC,CD的中點,連接AE,EF,AF,則△AEF的周長為(　　) A.2 B.3 C.4 D.3 8.如圖,菱形ABCD由6個腰長為2,且全等的等腰梯形鑲嵌而成,則線段AC的長為(　　) A.3 B.6 C.3 D.6 9.如圖,邊長為6的大正方形中有兩個小正方形,若兩個小正方形的面積分別為S1,S2,則S1+S2的值為(　　) A.16 B.17 C.18 D.19 10.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示,點G在線段DK上,正方形BEFG的邊長為4,則△DEK的面積為(　　) A.10 B.12 C.14 D.16 二、填空題(每小題4分,共24分) 11.如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,OA=OC,OB=OD,添加一個條件使四邊形ABCD是菱形,那么所添加的條件可以是　　　　　(寫出一個即可).  12.已知正六邊形的邊長為1 cm,分別以它的三個不相鄰的頂點為圓心,1 cm長為半徑畫弧(如圖),則所得到的三條弧的長度之和為　　　　　cm.(結(jié)果保留π)  13.如圖所示,兩個全等菱形的邊長為1米,一個微型機器人由A點開始按ABCDEFCGA的順序沿菱形的邊循環(huán)運動,行走2 015米停下,則這個微型機器人停在點　　　　　.  14.如圖,邊長為1的兩個正方形互相重合,按住其中一個不動,將另一個繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)45°,則這兩個正方形重疊部分的面積是　　　　　.  15.如圖,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC+∠BCD=90°,且DC=2AB,分別以DA,AB,BC為邊向梯形外作正方形,其面積分別為S1,S2,S3,則S1,S2,S3之間的關(guān)系是　　　　　.  16.如圖,在邊長為2 cm的正方形ABCD中,點Q為BC邊的中點,點P為對角線AC上一動點,連接PB,PQ,則△PBQ周長的最小值為　　　　cm.(結(jié)果不取近似值)  三、解答題(56分) 17.(6分)已知,如圖,E,F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點,AF=CE,DF=BE,DF∥BE. (1)求證:△AFD≌△CEB; (2)四邊形ABCD是平行四邊形嗎?請說明理由. 18.(8分)如圖,在?ABCD中,E,F分別為邊AB,CD的中點,連接DE,BF,BD. (1)求證:△ADE≌△CBF; (2)若AD⊥BD,則四邊形BFDE是什么特殊四邊形?請證明你的結(jié)論. 19.(10分)如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足為F,連接DF. (1)試說明AC=EF; (2)求證:四邊形ADFE是平行四邊形. 20.(10分)如圖,把正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A'B'CD'(此時,點B'落在對角線AC上,點A'落在CD的延長線上),A'B'交AD于點E,連接AA',CE. 求證:(1)△ADA'≌△CDE; (2)直線CE是線段AA'的垂直平分線. 21.(10分)如圖,△ADC,△ABE,△BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形. (1)當(dāng)AB≠AC時,證明四邊形ADFE為平行四邊形; (2)當(dāng)AB=AC時,順次連接A,D,F,E四點所構(gòu)成的圖形有哪幾類?直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件. 22.(12分)如圖是小紅設(shè)計的鉆石形商標(biāo),△ABC是邊長為2的等邊三角形,四邊形ACDE是等腰梯形,AC∥ED,∠EAC=60°,AE=CD=1. (1)求證:△ABE≌△CBD; (2)圖中存在多對相似三角形,請你找出一對進行證明,并求出其相似比(不添加輔助線,不找全等的相似三角形); (3)小紅發(fā)現(xiàn)AM=MN=NC,請證明此結(jié)論; (4)求線段BD的長. ## 一、選擇題(每小題4分,共40分) 1.B　多邊形的外角和為360°,與邊數(shù)無關(guān);由內(nèi)角和公式(n-2)180°得n增加1,內(nèi)角和增加180°,故選B. 2.A?、凼钦暹呅?幾個正五邊形的內(nèi)角繞著一點不能拼成一個周角,所以正五邊形不可以密鋪. 3.C　在△ABC中,BC-AB<AC<AB+BC, 所以2 cm<AC<8 cm,所以1 cm<OA<4 cm. 4.A　∵四邊形ABCD為矩形, ∴AD=BC,AB=CD,OA=OC. ∵EF⊥AC,∴AE=CE. ∴CE+CD+ED=AE+ED+CD=AD+CD =(AB+BC+CD+AD) =×20=10(cm). 5.C　由題知:CE=AB=BE, ∵CE∥AD,DC∥AB, ∴AECD為平行四邊形. ∴CE=AD=BC.∴CE=BE=BC. ∴△BCE為等邊三角形. ∴∠ABC=60°.故選C. 6.D　∵E為AB的中點, ∴AE=AB. ∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB=AD.∴AE=AD. 由△OAE∽△ODA得, 則. 7.B　由對稱性知,AE=AF.如圖,連接AC,由題意可得,AE,AF分別是等邊△ABC,△ADC頂角的平分線, ∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°, ∴∠EAF=60°.∴△AEF是等邊三角形. 在Rt△ABE中,由勾股定理可得,AE=, ∴△AEF的周長為3,故選B. 8.D　∵菱形ABCD由6個腰長為2,且全等的等腰梯形鑲嵌而成,∴分析圖形可得,這個菱形的邊長為6,且較小的內(nèi)角為60°.連接AC,BD交于點O,則AC⊥BD,AC=2AO,∠CAB=∠DAB=30°. 在Rt△AOB中,∠CAB=30°,AB=6, ∴AO=ABcos∠CAB=6×=3. ∴AC=2AO=6.故選D. 9.B　如圖,由正方形的性質(zhì)可知,∠FAE=∠AFE=45°. ∴AE=EF.又∵EF=EB, ∴AE=EF=EB. ∴EF=AB=3. ∴S1=3×3=9. 設(shè)DN=x,則由勾股定理得MN=x. ∴NK=KC=MN=x. 由勾股定理得NC=NK=2x. ∴DC=DN+NC=3x.∴3x=6.∴x=2. ∴NK=x=2.∴S2=(2)2=8. ∴S1+S2=9+8=17.故選B. 10.D　設(shè)正方形ABCD的邊長為a,正方形RKPF的邊長為c,可得S△DEK=S正方形ABCD+S正方形BEFG+S正方形RKPF+S△REK-S△DCG-S△GKP-S△ADE=a2+42+c2+c(4-c)-a(a-4)-c(4+c)-a(4+a)=a2+16+c2+2c-c2-a2+2a-2c-c2-2a-a2=16.故選D. 二、填空題(每小題4分,共24分) 11.AB=AD(答案不唯一)　∵OA=OC,OB=OD, ∴四邊形ABCD是平行四邊形. ∵鄰邊相等的平行四邊形是菱形, ∴添加的條件可以是AB=AD(答案不唯一). 12.2π　∵正六邊形的內(nèi)角為120°, ∴每條弧的長度為圓周長的. ∴三條弧的長度之和為圓的周長,等于2π cm. 13.G　機器人從A點開始循環(huán)運動一次經(jīng)過9個點運動8米,而運動1米一個點,所以2 015÷8=251余7,即循環(huán)運動251次余7米,故到點G停止. 14.-1　在Rt△ABC中,∵AB=BC=1,∠CAB=45°, ∴AC=. 又∵AD'=1,∴CD'=-1. 在Rt△CD'E中,∵∠D'CE=45°, ∴CD'=D'E=-1. ∴這兩個正方形重疊部分的面積是 S△ABC-S△CD'E=×1×1-×(-1)2=-1. 15.S2=S1+S3　如圖,過點B作BE∥AD,交BC于點E, 則∠BEC=∠ADC. ∵∠ADC+∠BCD=90°, ∴∠BEC+∠BCD=90°. ∴△BEC為直角三角形. ∵其面積為S1,S2,S3的正方形的邊長為DA=,AB=,BC=, 又∵DC=2AB,AB=DE,DA=BE, ∴EC=,BE=. 在Rt△BEC中,BE2+BC2=EC2, ∴S2=S1+S3. 16. (+1)　如圖,連接QD交AC于點P,連接BP,BD. ∵點D是點B關(guān)于直線AC的對稱點,而AC垂直平分BD, ∴PB=PD.∴PB+PQ=PD+PQ=QD最小. 在Rt△DCQ中,QC=1,DC=2, ∴QD=. ∴△PBQ周長的最小值為(+1)cm. 三、解答題(56分) 17.解:(1)證明：∵DF∥BE, ∴∠DFA=∠BEC. ∵在△AFD和△CEB中,DF=BE,∠DFA=∠BEC,AF=CE, ∴△AFD≌△CEB(SAS). (2)四邊形ABCD是平行四邊形, 理由如下:∵△AFD≌△CEB, ∴AD=CB,∠DAF=∠BCE. ∴AD∥CB. ∴四邊形ABCD是平行四邊形. 18.解:(1)證明：在?ABCD中,∠A=∠C,AD=CB,AB=CD, ∵E,F分別是AB,CD的中點, ∴AE=CF.在△AED和△CFB中, ∴△ADE≌△CBF(SAS). (2)若AD⊥BD,則四邊形BFDE是菱形. ∵AD⊥BD, ∴△ABD是直角三角形,且AB是斜邊. ∵E是AB的中點,∴DE=AB=BE. 由題意知EB∥DF,且EB=DF, ∴四邊形BFDE是平行四邊形. ∵DE=BE,∴四邊形BFDE是菱形. 19.解:(1)∵△ABE是等邊三角形,FE⊥AB于點F, ∴∠AEF=30°,AB=AE,∠EFA=90°. 在Rt△AEF和Rt△BAC中, ∴△AEF≌△BAC(AAS).∴AC=EF. (2)∵△ACD是等邊三角形, ∴∠DAC=60°,AC=AD. ∴∠DAB=60°+30°=90°. 又EF⊥AB,∴∠EFA=90°=∠DAB. ∴AD∥EF. 又∵AC=EF(已證),AC=AD, ∴AD=EF.∴四邊形ADFE是平行四邊形. 20.解：證明：(1)∵四邊形ABCD是正方形, ∴AD=CD,∠ADC=90°. ∴∠A'DE=90°, 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方法可得,∠EA'D=45°. ∴∠A'ED=45°.∴A'D=DE. 在△AA'D和△CED中, ∴△AA'D≌△CED. (2)∵AC=A'C, ∴點C在AA'的垂直平分線上. ∵AC是正方形ABCD的對角線, ∴∠CAE=45°. ∵AC=A'C,CD=CB', ∴AB'=A'D. 在△AEB'和△A'ED中, ∴△AEB'≌△A'ED,∴AE=A'E. ∴點E也在AA'的垂直平分線上. ∴直線CE是線段AA'的垂直平分線. 21.解:(1)證明：∵△ABE,△BCF為等邊三角形, ∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°.∴∠FBE=∠CBA. ∴△FBE≌△CBA. ∴EF=AC. 又△ADC為等邊三角形, ∴CD=AD=AC.∴EF=AD. 同理可得AE=DF. ∴四邊形AEFD是平行四邊形. (2)構(gòu)成的圖形有兩類,一類是菱形,一類是線段. 當(dāng)圖形為菱形時,∠BAC≠60°(或A與F不重合、△ABC不為正三角形); 當(dāng)圖形為線段時,∠BAC=60°(或A與F重合、△ABC為正三角形). 22.解:(1)證明：∵△ABC是等邊三角形, ∴AB=BC,∠BAC=∠BCA=60°. ∵四邊形ACDE是等腰梯形,∠EAC=60°, ∴∠ACD=∠CAE=60°. ∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD, 即∠BAE=∠BCD. 在△ABE和△CBD中, ∴△ABE≌△CBD. (2)答案不唯一.如△ABN∽△CDN. ∵∠BAN=60°=∠DCN,∠ANB=∠DNC, ∴△ANB∽△CND. 其相似比為=2. (3)由(2)得=2, ∴CN=AN=AC. 同理AM=AC.∴AM=MN=NC. (4)如圖,作DF⊥BC交BC的延長線于點F, ∵∠BCD=120°, ∴∠DCF=60°. 在Rt△CDF中, ∴∠CDF=30°. ∴CF=CD=. ∴DF=. 在Rt△BDF中,BF=BC+CF=2+,DF=, ∴BD=. 10