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1、青島市高三統(tǒng)一質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理科）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分.考試時(shí)間120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必用2B鉛筆和0.5毫米黑色簽字筆（中性筆）將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目、試卷類型填涂在答題卡規(guī)定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．答案不能答在試題卷上．
3．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆（中性筆）作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試題卷上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正
2、帶．不按以上要求作答的答案無效．
參考公式：球的表面積為：,其中為球的半徑．
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的實(shí)部為
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，所以實(shí)部是1，選C.
2. 設(shè)全集，集合，，則
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以，所以，選B.
3. 下列函數(shù)中周期為且為偶函數(shù)的是
A． B. C. D．
【答案】A
【解析】為偶函數(shù)，且周期是，所以選
3、A.
4. 設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，,則
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，即，所以，選C.
5. 已知、為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是
A．若,,且,則
正視圖
俯視圖
左視圖
B．若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則
C．若，則
D．若，則
【答案】D
【解析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，選項(xiàng)D正確。
6. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與左視圖均為半徑是的圓，則這個(gè)幾何體的表面積是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三視圖可知，該幾何體
4、是一挖去半球的球。其中兩個(gè)半圓的面積為。個(gè)球的表面積為，所以這個(gè)幾何體的表面積是，選A.
7. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，，垂足為，，則直線的傾斜角等于
A． B. C． D.
【答案】B
【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為。由題意,則,即，所以,即，不妨取,則設(shè)直線的傾斜角等于，則，所以，選B.
8. 若兩個(gè)非零向量，滿足，則向量與的夾角為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，，即。由，得，即，所以，所以，所以向量與的夾角的余弦
5、值為，所以，選B.
9. 已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，作出函數(shù)的圖象，，當(dāng)時(shí)，，所以要使函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則，即，選C.
10. 已知的最小值為，則二項(xiàng)式展開式中項(xiàng)的系數(shù)為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，即。展開式的通項(xiàng)公式為，由，得，所以，即項(xiàng)的系數(shù)為15，選A.
11. 已知函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意都有=，且當(dāng)時(shí)其導(dǎo)函數(shù)滿足若則
A． B．
C． D
6、．
【答案】C
【解析】由=，可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱。由得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減。當(dāng)，，，即。所以，所以，即，所以，即，選C.
12. 定義區(qū)間，，，的長度均為，多個(gè)區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和，例如, 的長度. 用表示不超過的最大整數(shù)，記，其中.設(shè)，，當(dāng)時(shí),不等式解集區(qū)間的長度為，則的值為
A． B． C． D．網(wǎng)
【答案】B
【解析】，由，得，即。當(dāng)，，不等式的解為，不合題意。當(dāng)，，不等式為，無解，不合題意。當(dāng)時(shí)，，所以不等式等價(jià)為，此時(shí)恒成立，所以此時(shí)不等式的解為，因?yàn)椴坏仁浇饧瘏^(qū)間的長度為，所以，即，選
7、B.
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
13. 某程序框圖如右圖所示，若,則該程序運(yùn)行后，輸出的值為 ;
開始
輸出
結(jié)束
是
否
【答案】
【解析】第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，。此時(shí)不滿足條件，輸出。
14. 若，則的值是 ;
【答案】
【解析】由，所以，解得。
15. 已知滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值是
【答案】
【解析】由得，。作出不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域，，平移直線，由圖象可知，當(dāng)直線與圓在第一象限相切時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)
8、最大。直線與圓的距離，即，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值是。
16．給出以下命題：
① 雙曲線的漸近線方程為；
② 命題“，”是真命題；
③ 已知線性回歸方程為，當(dāng)變量增加個(gè)單位，其預(yù)報(bào)值平均增加個(gè)單位；
④ 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則；
⑤ 已知，，，，依照以上各式的規(guī)律，得到一般性的等式為，（）
則正確命題的序號(hào)為 （寫出所有正確命題的序號(hào)）．
【答案】①③⑤
【解析】①正確。②當(dāng)時(shí)，，所以②錯(cuò)誤。③正確。④因?yàn)?，所以，所以④錯(cuò)誤。⑤正確。
三、解答題：本大題共6小題,共74分,解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17. （本小
9、題滿分12分）
已知函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減;如圖,四邊形中,,,為的內(nèi)角的對(duì)邊，且滿足.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若，設(shè)，,，
求四邊形面積的最大值.
18．（本小題滿分12分）
現(xiàn)有長分別為、、的鋼管各根（每根鋼管質(zhì)地均勻、粗細(xì)相同且附有不同的編號(hào)），從中隨機(jī)抽取根（假設(shè)各鋼管被抽取的可能性是均等的,），再將抽取的鋼管相接焊成筆直的一根．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí),記事件{抽取的根鋼管中恰有根長度相等}，求；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí),若用表示新焊成的鋼管的長度（焊接誤差不計(jì)）,①求的分布列；
②令，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
19．（本小題滿分12分）
如圖，幾何體中，四邊
10、形為菱形，，，
面∥面,、、都垂直于面,且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：為等腰直角三角形；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
20．（本小題滿分12分）
已知,數(shù)列滿足,數(shù)列滿足；又知數(shù)列中，，且對(duì)任意正整數(shù)，.
（Ⅰ）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）將數(shù)列中的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，……，第項(xiàng)，……刪去后，剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
21．（本小題滿分13分）
已知向量，，（為常數(shù)， 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直,．
（Ⅰ）求的值及的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知函數(shù)(為正實(shí)數(shù)),若對(duì)于任意，總存在， 使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
22．（本
11、小題滿分13分）
已知橢圓:的焦距為,離心率為,其右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)作直線交橢圓于另一點(diǎn).
(Ⅰ)若,求外接圓的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)、，設(shè)為上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
青島市高三統(tǒng)一質(zhì)量檢測(cè)
數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．
C B A C D A B B C A C B
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
13. 14. 15. 16．①③⑤
三、解答題：本
12、大題共6小題，共74分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17. （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意知：，解得：， ……………………………2分
………………………………………………………4分
…………………………………………………6分
（Ⅱ）因?yàn)?，所以，所以為等邊三角?
……………………………8分
……………………………………………9分
， ………………………………………10分
,，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取最大值,的最大值為………………12分
18．（本小題滿分12分）
解：(Ⅰ)事件為隨機(jī)事件，
13、 ………………………………………4分
（Ⅱ）①可能的取值為
2
3
4
5
6
∴的分布列為：
……………………………………………………9分
② ………………………………10分
，
， …………………………………………12分
19．（本小題滿分12分）
解：（I）連接，交于，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所?
因?yàn)?、都垂直于?，又面∥面,
所以四邊形為平行四邊形 ,則……………………………2分
因?yàn)?、、都?/p>
14、直于面,則
…4分
所以
所以為等腰直角三角形 ………………………………………………5分
（II）取的中點(diǎn)，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以∥
以分別為軸建立坐標(biāo)系，
則
所以 ………………7分
設(shè)面的法向量為，
則，即且
令，則 ………………………………………………………………9分
設(shè)面的法向量為，
則即且
令，則 ……………………………………………………11分
則,則二面角的余弦值為 …12分
20．（本小題滿分12分）
解：, …………………3分
又由題知：令 ，則, ………………5分
若，則，，所以恒成立
若,當(dāng),不成立,所
15、以 ……………………………………6分
（Ⅱ）由題知將數(shù)列中的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)……刪去后構(gòu)成的新數(shù)列中的奇數(shù)列與偶數(shù)列仍成等比數(shù)列，首項(xiàng)分別是，公比均是 …………9分
…………………………………………12分
21．（本小題滿分13分）解：（I）由已知可得：=，
由已知，，∴ …………………………………………………………2分
所以 …………3分
由，
由
的增區(qū)間為，減區(qū)間為 ………………………………………5分
（II）對(duì)于任意，總存在， 使得， ……………………………………………………………………6分
由（I）知，當(dāng)時(shí)，取得最大值.……………
16、…………………8分
對(duì)于，其對(duì)稱軸為
當(dāng)時(shí)，， ，從而………………10分
當(dāng)時(shí)，， ，從而……12分
綜上可知： ………………………………………………………………13分
22．（本小題滿分13分）解：(Ⅰ)由題意知：，，又，
解得：橢圓的方程為： …………………………2分
可得：，,設(shè)，則，，
，，即
由，或
即，或 …………………………………………………………4分
①當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，，外接圓是以為圓心，為半徑的圓，即……………………………………………………………5分
②當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，，，所以為直角三角形，其外接圓是以線段為直徑的圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為，
外接圓的方程為
綜上可知：外接圓方程是，或 ……7分
(Ⅱ)由題意可知直線的斜率存在.
設(shè)，，，
由得：
由得：（） ………………………9分
，即
，結(jié)合（）得： ………………………………………………11分
，
從而，
點(diǎn)在橢圓上，，整理得：
即，，或………………………………13分
山東省青島市2013屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試 理（青島市一模含解析）新人教A版
