全國(guó)中學(xué)生高中物理競(jìng)賽預(yù)賽試題分類(lèi)匯編.doc

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______________________________________________________________________________________________________________ 全國(guó)中學(xué)生高中物理競(jìng)賽預(yù)賽試題分類(lèi)匯編 力學(xué) 第16屆預(yù)賽題. 1.（15分）一質(zhì)量為的平頂小車(chē)，以速度沿水平的光滑軌道作勻速直線運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)將一質(zhì)量為的小物塊無(wú)初速地放置在車(chē)頂前緣。已知物塊和車(chē)頂之間的動(dòng)摩擦系數(shù)為。 1. 若要求物塊不會(huì)從車(chē)頂后緣掉下，則該車(chē)頂最少要多長(zhǎng)？ 2. 若車(chē)頂長(zhǎng)度符合1問(wèn)中的要求，整個(gè)過(guò)程中摩擦力共做了多少功？ 參考解答 1. 物塊放到小車(chē)上以后，由于摩擦力的作用，當(dāng)以地面為參考系時(shí)，物塊將從靜止開(kāi)始加速運(yùn)動(dòng)，而小車(chē)將做減速運(yùn)動(dòng)，若物塊到達(dá)小車(chē)頂后緣時(shí)的速度恰好等于小車(chē)此時(shí)的速度，則物塊就剛好不脫落。令表示此時(shí)的速度，在這個(gè)過(guò)程中，若以物塊和小車(chē)為系統(tǒng)，因?yàn)樗椒较蛭词芡饬?，所以此方向上?dòng)量守恒，即 （1） 從能量來(lái)看，在上述過(guò)程中，物塊動(dòng)能的增量等于摩擦力對(duì)物塊所做的功，即 （2） 其中為物塊移動(dòng)的距離。小車(chē)動(dòng)能的增量等于摩擦力對(duì)小車(chē)所做的功，即 （3） 其中為小車(chē)移動(dòng)的距離。用表示車(chē)頂?shù)淖钚￠L(zhǎng)度，則 （4） 由以上四式，可解得 （5） 即車(chē)頂?shù)拈L(zhǎng)度至少應(yīng)為。 2．由功能關(guān)系可知，摩擦力所做的功等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量，即 （6） 由（1）、（6）式可得 （7） 2.（20分）一個(gè)大容器中裝有互不相溶的兩種液體，它們的密度分別為和（）?，F(xiàn)讓一長(zhǎng)為、密度為的均勻木棍，豎直地放在上面的液體內(nèi)，其下端離兩液體分界面的距離為，由靜止開(kāi)始下落。試計(jì)算木棍到達(dá)最低處所需的時(shí)間。假定由于木棍運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的液體阻力可以忽略不計(jì)，且兩液體都足夠深，保證木棍始終都在液體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，未露出液面，也未與容器相碰。 參考解答 1．用表示木棍的橫截面積，從靜止開(kāi)始到其下端到達(dá)兩液體交界面為止，在這過(guò)程中，木棍受向下的重力和向上的浮力。由牛頓第二定律可知，其下落的加速度 （1） 用表示所需的時(shí)間，則 （2） 由此解得 （3） 2．木棍下端開(kāi)始進(jìn)入下面液體后，用表示木棍在上面液體中的長(zhǎng)度，這時(shí)木棍所受重力不變，仍為，但浮力變?yōu)椋?dāng)時(shí)，浮力小于重力；當(dāng)時(shí)，浮力大于重力，可見(jiàn)有一個(gè)合力為零的平衡位置．用表示在此平衡位置時(shí)，木棍在上面液體中的長(zhǎng)度，則此時(shí)有 （4） 由此可得 （5） 即木棍的中點(diǎn)處于兩液體交界處時(shí)，木棍處于平衡狀態(tài)，取一坐標(biāo)系，其原點(diǎn)位于交界面上，豎直方向?yàn)檩S，向上為正，則當(dāng)木棍中點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，木棍所受合力為零．當(dāng)中點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，所受合力為 式中 （6） 這時(shí)木棍的運(yùn)動(dòng)方程為 為沿方向加速度 （7） 由此可知為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期 （8） 為了求同時(shí)在兩種液體中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，先求振動(dòng)的振幅．木棍下端剛進(jìn)入下面液體時(shí)，其速度 （9） 由機(jī)械能守恒可知 （10） 式中為此時(shí)木棍中心距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，由（1）、（3）、（9）式可求得，再將和（6）式中的代人（10）式得 （11） 由此可知，從木棍下端開(kāi)始進(jìn)入下面液體到棍中心到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)所走的距離是振幅的一半，從參考圓（如圖預(yù)解16-9）上可知，對(duì)應(yīng)的為30°，對(duì)應(yīng)的時(shí)間為。因此木棍從下端開(kāi)始進(jìn)入下面液體到上端進(jìn)入下面液體所用的時(shí)間，即棍中心從到所用的時(shí)間為 （12） 3．從木棍全部浸入下面液體開(kāi)始，受力情況的分析和1中類(lèi)似，只是浮力大于重力，所以做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度的數(shù)值與一樣，其過(guò)程和1中情況相反地對(duì)稱(chēng)，所用時(shí)間 （13） 4．總時(shí)間為 （14） 第17屆預(yù)賽題. 1.（20分）如圖預(yù)17-8所示，在水平桌面上放有長(zhǎng)木板，上右端是固定擋板，在上左端和中點(diǎn)處各放有小物塊和，、的尺寸以及的厚度皆可忽略不計(jì)，、之間和、之間的距離皆為。設(shè)木板與桌面之間無(wú)摩擦，、之間和、之間的靜摩擦因數(shù)及滑動(dòng)摩擦因數(shù)均為；、、（連同擋板）的質(zhì)量相同．開(kāi)始時(shí)，和靜止，以某一初速度向右運(yùn)動(dòng)．試問(wèn)下列情況是否能發(fā)生？要求定量求出能發(fā)生這些情況時(shí)物塊的初速度應(yīng)滿(mǎn)足的條件，或定量說(shuō)明不能發(fā)生的理由． （1）物塊與發(fā)生碰撞； （2）物塊與發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊與擋板發(fā)生碰撞； （3）物塊與擋板發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊與在木板上再發(fā)生碰撞； （4）物塊從木板上掉下來(lái)； （5）物塊從木板上掉下來(lái)． 參考解答 1. 以表示物塊、和木板的質(zhì)量，當(dāng)物塊以初速向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊受到木板施加的大小為的滑動(dòng)摩擦力而減速，木板則受到物塊施加的大小為的滑動(dòng)摩擦力和物塊施加的大小為的摩擦力而做加速運(yùn)動(dòng)，物塊則因受木板施加的摩擦力作用而加速，設(shè)、、三者的加速度分別為、和，則由牛頓第二定律，有 事實(shí)上在此題中，，即、之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由上式可得 （1） 它小于最大靜摩擦力．可見(jiàn)靜摩擦力使物塊、木板之間不發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。若物塊剛好與物塊不發(fā)生碰撞，則物塊運(yùn)動(dòng)到物塊所在處時(shí)，與的速度大小相等．因?yàn)槲飰K與木板的速度相等，所以此時(shí)三者的速度均相同，設(shè)為，由動(dòng)量守恒定律得 （2） 在此過(guò)程中，設(shè)木板運(yùn)動(dòng)的路程為，則物塊運(yùn)動(dòng)的路程為，如圖預(yù)解17-8所示．由動(dòng)能定理有 （3） （4） 或者說(shuō)，在此過(guò)程中整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變等于系統(tǒng)內(nèi)部相互間的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和（（3）與（4）式等號(hào)兩邊相加），即 （5） 式中就是物塊相對(duì)木板運(yùn)動(dòng)的路程．解（2）、（5）式，得 （6） 即物塊的初速度時(shí)，剛好不與發(fā)生碰撞，若，則將與發(fā)生碰撞，故與發(fā)生碰撞的條件是 （7） 2. 當(dāng)物塊的初速度滿(mǎn)足（7）式時(shí)，與將發(fā)生碰撞，設(shè)碰撞的瞬間，、、三者的速度分別為、和，則有 （8） 在物塊、發(fā)生碰撞的極短時(shí)間內(nèi)，木板對(duì)它們的摩擦力的沖量非常小，可忽略不計(jì)。故在碰撞過(guò)程中，與構(gòu)成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，而木板的速度保持不變．因?yàn)槲飰K、間的碰撞是彈性的，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，又因?yàn)橘|(zhì)量相等，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可以證明（證明從略），碰撞前后、交換速度，若碰撞剛結(jié)束時(shí)，、、三者的速度分別為、和，則有 由（8）、（9）式可知，物塊與木板速度相等，保持相對(duì)靜止，而相對(duì)于、向右運(yùn)動(dòng)，以后發(fā)生的過(guò)程相當(dāng)于第1問(wèn)中所進(jìn)行的延續(xù)，由物塊替換繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)。 若物塊剛好與擋板不發(fā)生碰撞，則物塊以速度從板板的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到擋板所在處時(shí)，與的速度相等．因與的速度大小是相等的，故、、三者的速度相等，設(shè)此時(shí)三者的速度為．根據(jù)動(dòng)量守恒定律有 （10） 以初速度開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，接著與發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞后物塊相對(duì)木板靜止，到達(dá)所在處這一整個(gè)過(guò)程中，先是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程為，接著是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程為，整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變，類(lèi)似于上面第1問(wèn)解答中（5）式的說(shuō)法．等于系統(tǒng)內(nèi)部相互問(wèn)的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即 （11） 解（10）、（11）兩式得 （12） 即物塊的初速度時(shí)，與碰撞，但與剛好不發(fā)生碰撞，若，就能使與發(fā)生碰撞，故與碰撞后，物塊與擋板發(fā)生碰撞的條件是 （13） 3. 若物塊的初速度滿(mǎn)足條件（13）式，則在、發(fā)生碰撞后，將與擋板發(fā)生碰撞，設(shè)在碰撞前瞬間，、、三者的速度分別為、和，則有 （14） 與碰撞后的瞬間，、、三者的速度分別為、和，則仍類(lèi)似于第2問(wèn)解答中（9）的道理，有 （15） 由（14）、（15）式可知與剛碰撞后，物塊與的速度相等，都小于木板的速度，即 （16） 在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，木板以較大的加速度向右做減速運(yùn)動(dòng)，而物塊和以相同的較小的加速度向右做加速運(yùn)動(dòng)，加速度的大小分別為 （17） 加速過(guò)程將持續(xù)到或者和與的速度相同，三者以相同速度向右做勻速運(yùn)動(dòng)，或者木塊從木板上掉了下來(lái)。因此物塊與在木板上不可能再發(fā)生碰撞。 4. 若恰好沒(méi)從木板上掉下來(lái)，即到達(dá)的左端時(shí)的速度變?yōu)榕c相同，這時(shí)三者的速度皆相同，以表示，由動(dòng)量守恒有 （18） 從以初速度在木板的左端開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)與相碰，直到剛沒(méi)從木板的左端掉下來(lái)，這一整個(gè)過(guò)程中，系統(tǒng)內(nèi)部先是相對(duì)的路程為；接著相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程也是；與碰后直到剛沒(méi)從木板上掉下來(lái)，與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程也皆為．整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變應(yīng)等于內(nèi)部相互間的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即 （19） 由（18）、（19）兩式，得 （20） 即當(dāng)物塊的初速度時(shí)，剛好不會(huì)從木板上掉下．若，則將從木板上掉下，故從上掉下的條件是 （21） 5. 若物塊的初速度滿(mǎn)足條件（21）式，則將從木板上掉下來(lái)，設(shè)剛要從木板上掉下來(lái)時(shí)，、、三者的速度分別為、和，則有 （22） 這時(shí)（18）式應(yīng)改寫(xiě)為 （23） （19）式應(yīng)改寫(xiě)為 （24） 當(dāng)物塊從木板上掉下來(lái)后，若物塊剛好不會(huì)從木板上掉下，即當(dāng)?shù)淖蠖粟s上時(shí)，與的速度相等．設(shè)此速度為，則對(duì)、這一系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，由動(dòng)量守恒定律，有 （25） 在此過(guò)程中，對(duì)這一系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和為，由動(dòng)能定理可得 （26） 由（23）、（24）、（25）、（26）式可得 （27） 即當(dāng)時(shí)，物塊剛好不能從木板上掉下。若，則將從木板上掉下，故物塊從木板上掉下來(lái)的條件是 （28） 第18屆預(yù)賽題 1.（25分）如圖預(yù)18－5所示，一質(zhì)量為、長(zhǎng)為帶薄擋板的木板，靜止在水平的地面上，設(shè)木板與地面間的靜摩擦系數(shù)與滑動(dòng)摩擦系數(shù)相等，皆為．質(zhì)量為的人從木板的一端由靜止開(kāi)始相對(duì)于地面勻加速地向前走向另一端，到達(dá)另一端時(shí)便驟然抓住擋板而停在木板上．已知人與木板間的靜摩擦系數(shù)足夠大，人在木板上不滑動(dòng)．問(wèn)：在什么條件下，最后可使木板向前方移動(dòng)的距離達(dá)到最大？其值等于多少？ 參考解答 在人從木板的一端向另一端運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，先討論木板發(fā)生向后運(yùn)動(dòng)的情形，以表示人開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到剛抵達(dá)另一端尚未停下這段過(guò)程中所用的時(shí)間，設(shè)以表示木板向后移動(dòng)的距離，如圖預(yù)解18-5所示．以表示人與木板間的靜摩擦力，以表示地面作用于木板的摩擦力，以和分別表示人和木板的加速度，則 （1） （2） （3） （4） 解以上四式，得 （5） 對(duì)人和木板組成的系統(tǒng)，人在木板另一端驟然停下后，兩者的總動(dòng)量等于從開(kāi)始到此時(shí)地面的摩擦力的沖量，忽略人驟然停下那段極短的時(shí)間，則有 （6） 為人在木板另一端剛停下時(shí)兩者一起運(yùn)動(dòng)的速度．設(shè)人在木板另一端停下后兩者一起向前移動(dòng)的距離為，地面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，則有 （7） 木板向前移動(dòng)的凈距離為 （8） 由以上各式得 由此式可知，欲使木板向前移動(dòng)的距離為最大，應(yīng)有 （9） 即 （10） 即木板向前移動(dòng)的距離為最大的條件是：人作用于木板的靜摩擦力等于地面作用于木板的滑動(dòng)摩擦力． 移動(dòng)的最大距離 （11） 由上可見(jiàn)，在設(shè)木板發(fā)生向后運(yùn)動(dòng)，即的情況下，時(shí)，有極大值，也就是說(shuō)，在時(shí)間0～內(nèi)，木板剛剛不動(dòng)的條件下有極大值． 再來(lái)討論木板不動(dòng)即的情況，那時(shí)，因?yàn)椋匀朔e累的動(dòng)能和碰后的總動(dòng)能都將變小，從而前進(jìn)的距離也變小，即小于上述的。 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分 （1）、（2）、（3）、（4）式各1分；（6）式5分；（7）式2分；（8）式3分；（9）式2分；（10）式3分；（11）式5分；說(shuō)明時(shí)木板向前移動(dòng)的距離小于時(shí)的給1分。 2.（1 8分）在用鈾 235作燃料的核反應(yīng)堆中，鈾 235核吸收一個(gè)動(dòng)能約為0.025的熱中子（慢中子）后，可發(fā)生裂變反應(yīng)，放出能量和2～3個(gè)快中子，而快中子不利于鈾235的裂變．為了能使裂變反應(yīng)繼續(xù)下去，需要將反應(yīng)中放出的快中子減速。有一種減速的方法是使用石墨（碳12）作減速劑．設(shè)中子與碳原子的碰撞是對(duì)心彈性碰撞，問(wèn)一個(gè)動(dòng)能為的快中子需要與靜止的碳原子碰撞多少次，才能減速成為0.025的熱中子？ 參考解答 設(shè)中子和碳核的質(zhì)量分別為和，碰撞前中子的速度為，碰撞后中子和碳核的速度分別為和，因?yàn)榕鲎彩菑椥耘鲎?，所以在碰撞前后，?dòng)量和機(jī)械能均守恒，又因、和沿同一直線，故有 （1） （2） 解上兩式得 （3） 因 代入（3）式得 （4） 負(fù)號(hào)表示的方向與方向相反，即與碳核碰撞后中子被反彈．因此，經(jīng)過(guò)一次碰撞后中子的能量為 于是 （5） 經(jīng)過(guò)2，3，…，次碰撞后，中子的能量依次為，，，…，，有 …… （6） 因此 （7） 已知 代入（7）式即得 （8） 故初能量的快中子經(jīng)過(guò)近54次碰撞后，才成為能量為0.025 的熱中子。 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題18分 （1）、（2）、（4）、（6）式各3分；（5）、（7）、（8）式各2分。 第19屆預(yù)賽 （15分）今年3月我國(guó)北方地區(qū)遭遇了近10年來(lái)最嚴(yán)重的沙塵暴天氣．現(xiàn)把沙塵上揚(yáng)后的情況簡(jiǎn)化為如下情景：為豎直向上的風(fēng)速，沙塵顆粒被揚(yáng)起后懸浮在空中（不動(dòng)）．這時(shí)風(fēng)對(duì)沙塵的作用力相當(dāng)于空氣不動(dòng)而沙塵以速度豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的阻力．此阻力可用下式表達(dá) 其中為一系數(shù)，為沙塵顆粒的截面積，為空氣密度． （1）若沙粒的密度 ，沙塵顆粒為球形，半徑，地球表面處空氣密度，，試估算在地面附近，上述的最小值． （2）假定空氣密度隨高度的變化關(guān)系為，其中為處的空氣密度，為一常量，，試估算當(dāng)時(shí)揚(yáng)沙的最大高度．（不考慮重力加速度隨高度的變化） 參考解答 （1）在地面附近，沙塵揚(yáng)起要能懸浮在空中，則空氣阻力至少應(yīng)與重力平衡，即 ① 式中為沙塵顆粒的質(zhì)量，而 ② ③ 得 ④ 代入數(shù)據(jù)得 ⑤ （2）用、分別表示時(shí)揚(yáng)沙到達(dá)的最高處的空氣密度和高度，則有 ⑥ 此時(shí)式①應(yīng)為 ⑦ 由②、③、⑥、⑦可解得 ⑧ 代入數(shù)據(jù)得 ⑨ 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分。 1. 第一小題8分。其中①式3分，②式1分，③式1分，④式2分，⑤式1分。 2. 第二小題7分。其中⑥式1分，⑦式1分，⑧式3分，⑨式2分。  THANKS !!! 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