1.1等腰三角形 (4) ----等邊三角形的判定

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1、 1.1等腰三角形 (4) ----等邊三角形的判定 教學目標： 1．理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30o角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題． 2.經(jīng)歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維． 3.經(jīng)歷實際操作，探索含有30o角的直角三角形性質(zhì)及其推理證明過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力。 4.在具體問題的證明過程中，有意識滲透分類討論、逆向思維的思想，提高學生的能力。 教學重點與難點： 重點：等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明以及含30°角

2、的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明. 難點：含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明． 課前準備： 教師準備：直尺、兩個帶30度角的三角板、多媒體課件. 學生準備：每生準備兩個含30度角的相同的三角尺． 教學過程： 一、復習回顧，創(chuàng)設情境 導入新課 知識回顧：在等腰三角形中，有一種特殊情況，就是底邊與腰相等，這時，三角形三邊相等。 師生一同歸納明確，此時的三角形叫等邊三角形 。（正三角形） 問題1：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？ 學生在導學案中完成對等邊三角形的性質(zhì)復習鞏固。 問題2：（1）具備什么條件的三角形是等

3、邊三角形？ （2）具備什么條件的等腰三角形是等邊三角形呢？ 師：本節(jié)課我們就來探索等邊三角形的判定定理． 處理方式：在回顧舊知識中提出問題,讓學生自由發(fā)言,適當補充.回顧等腰三角形的性質(zhì)及等邊三角形特有性質(zhì);如邊的關(guān)系、角的關(guān)系，三線合一等一些重要性質(zhì).從而順利導入新課, 具備什么條件的三角形是等邊三角形? 那么具備什么條件的等腰三角形是等邊三角形?本節(jié)課詳細探討“等邊三角形判定定理”. 【板書課題：1.1等腰三角形（4）】 設計意圖：開門見山，利用問題引入新課，直接提出問題：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？又如何判定一個三角形是等腰（邊）三角形呢？從而引入

4、新課． 二、合作探究，展示交流 自主學習，嘗試解決 1、 等邊三角形的判定定理 等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于. 思考：反過來，具有什么性質(zhì)的三角形是等邊三角形呢？ （1）三個角 的三角形是等邊三角形. （2）有一個角是 的等腰三角形是等邊三角形 查檢學生預習情況 探究一、三個角都相等的三角形是等邊三角形. 師：請說明你的理由？ 生：理由：∵∠B=∠C, ∴AB=AC． ∵∠A=∠C， ∴AB=BC． ∴AB=AC=BC． ∴△ABC是等邊三角形． 探究二、

5、有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形. 師：請說明你的理由？ 生：以∠A=60°來說明． ∵AB=AC， ∴∠C=∠B． ∵∠A=60°． ∴． ∴∠A=∠B=∠C． ∴ △ABC是等邊三角形． 生：以∠B=60°或∠C=60°來說明 ∵AB=AC, ∠B=60°， ∴∠C=∠B=60°． ∴∠A=． ∴∠A=∠B=∠C． ∴ △ABC是等邊三角形． 師：能用文字語言描述這個結(jié)論嗎? 生：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。 教師在課件中依次展示出兩種等邊三角形的判定定理

6、的符號語言。 課堂小結(jié)：等邊三角形的判定方法: 1. 三邊相等的三角形是等邊三角形.（定義） 2. 三個角都相等的三角形是等邊三角形. 3. 有一個內(nèi)角等于60 °的等腰三角形是等邊三角形. 三、達標訓練（1） 判斷正誤: （1）有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形. ( ) （2）有兩個角為60°的三角形是等邊三角形. ( ) （3）有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形. ( ) （4）有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形. ( ) （5）三個外角都相等的三角形是等邊三角形.

7、 ( ) 處理方式：這兩個問題是以不同的三角形為出發(fā)點,引導學生思考等邊三角形的判定方法,分別得到兩個定理.問題二60°的角可能是頂角,也可能是底角,應關(guān)注得出證明思路的過程,引導學生全面的思考問題,并有意識地滲透分類的思想. 應讓學生自主思考,充分交流證明過程。同時，注意引導學生對所得的定理符號語言規(guī)范學習和運用。 設計意圖：從等邊三角形的性質(zhì)回顧轉(zhuǎn)入到問題：具有什么性質(zhì)的三角形是等邊三角形呢？得到問題后，師生討論、交流，然后再去證明.提醒學生運用分類思想，思考問題要全面、周到 .經(jīng)歷定理的探究過程，即明確有關(guān)定理，同時提高學生的合作意識和探究能力．圖文并茂形

8、式歸納等邊三角形的判定方法，可利于學生加深理解及認識。緊跟著，通過一組判斷題練習達到對等邊三角形判定方法的鞏固學習。 四、操作探究，獲取新知 我們還學習過直角三角形，今天我們研究一個特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形．小組合作探究： 1用兩個全等的含30°角的直角三角尺你能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由 2.量一量含30°角的直角三角尺的最短直角邊與斜邊你有什么發(fā)現(xiàn)？ 思考：在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？ 生：能拼成等邊三角形． 師：誰能說明為什么得到的三角形是等邊三角形？ 生1：圖（1）中因為△ABC≌△ACD

9、，所以AB=AD． 又因為Rt△ABC中，∠BAC=30°，所以∠BAD=60°，有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形． 生2：圖(1)中，∠B=∠D=60°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAD=60°，即△ABC是等邊三角形． 師生操作發(fā)現(xiàn)：在直角三角形中, 如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半． 已知:如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30° 求證：BC=AB． 分析：你能否由拼圖得到啟示，作輔助線把拼圖的另一部分構(gòu)造出來？ 證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD． A B

10、 C ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°． ∵AC=AC， ∴△ABC≌△ADC(SAS)． D ∴AB=AD(全等三角形的對應邊相等)． ∵∠BAC=30°， ∴∠B=60． ∴△ABD是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)． ∴BC=BD=AB． 師生共同總結(jié)： 定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半． 師：指導學生利用符號語言表達定理． 用符號語言表示為： 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵∠BAC=30°， ∴BC=AB．(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那

11、么它所對的直角邊等于斜邊的一半) 五、達標訓練（2）: 1、直角三角形的一個角等于30°，斜邊長為4，那30°角所對的直角邊為 。 2、如圖,在Rt△ABC中，∠A=60°，AC=1cm，則AB= ,△ABC的面積為 。 第2題 3、 如圖，在△ABC中，AB=AC, ∠B=15°，∠DAC是△ABC的一個外角， ∠DAC = ，若DC=3,則AC= 。 處理方式：通過兩個活動：（1）拼圖活動讓學生在操作中發(fā)現(xiàn)這兩個三角尺恰好可以拼成一個等邊三角形,（2）量一量含30°角的直角

12、三角尺的最短直角邊與斜邊的大小。從而將直角三角形中的問題轉(zhuǎn)化為“半個”等邊三角形的問題。 設計意圖：先從問題出發(fā)，讓學生經(jīng)過自己的觀察、拼擺、探索發(fā)現(xiàn)并得到結(jié)論.老師在學生動手操作中有意圍繞著定理不斷提問，引導學生思考，討論、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，并師生一同證明，最后歸納得出了結(jié)論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。這樣層層深入的學習加深學生對定理的理解與掌握。 六、學以致用，鞏固新知 呈現(xiàn)例題，在師生分析的基礎(chǔ)上，運用所學的新定理解答例題． 例4求證：等腰三角形的底角為15°,那么腰上的高是腰長的一半． 已知:如圖,在 △ABC中，AB=AC，

13、∠B =15°，CD是腰AB上的高． 求證：CD=AB. 師：這是一道文字敘述題，首先把它用已知、求的形式轉(zhuǎn)化成圖形語言和符號語言．觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在Rt△ADC中，AB=AC，∠B=∠ACB而∠DAC是△ABC的一個外角，而∠DAC=2×15°=30°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可求出CD=AB. 師：（糾正學生出現(xiàn)的問題，強調(diào)步驟的規(guī)范性．） 解：在△ABC中， ∵AB=AC，∠B=15°， ∴∠ACB=∠B =15°（等角對等邊） ∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°． 七、盤點收獲，反思提升 師：通過這節(jié)課的學習你學到了什么知

14、識？你有哪些感悟與收獲？ 生1：本節(jié)課我學會了證明等邊三角形的判定定理和直角三角形有關(guān)的性質(zhì)定理． 生2：我們可以用等邊三角形的判定定理和直角三角形有關(guān)的性質(zhì)定理解決一些簡單的問題． …… 設計意圖：讓學生梳理所學知識點，以形成完整知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了歸納概括能力和語言表達能力．另外有針對性的對本節(jié)課的重點加以強調(diào)，加深學生對本節(jié)課知識的掌握．激發(fā)學生主動參與的意識，調(diào)動學生的學習興趣，為每一位學生都提供了在數(shù)學學習活動中獲得成功的體驗和充分展示自己的機會． 八、【自我檢測】 1、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，則AB= 。 2、在△AB

15、C中，已知∠A,∠B,∠C的度數(shù)之比分別是1:2:3，則∠C= ，若AB = ,那么BC= ，AC= 。 3、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BCD=30°，CD是△ABC的高，且BD=2，則AD= 。 設計意圖：練習針對本節(jié)課的第二知識點，同時也兼顧學生的學習差異進行分層訓練，既可以滿足了不同學生的需求，充分激發(fā)學生的學習熱情，同時也便于老師及時地了解學生的掌握情況. 七、布置作業(yè)，落實目標 基礎(chǔ)作業(yè)：課本 第12頁 習題1.4 第 1、2題. 拓展作業(yè)：導學案：反饋案第5題，提升案第1題 板書設計： §1.1 等腰三角形（4） 一、等邊三角形判定方法 判定定理1、2 二、30°角的直角三角形的性質(zhì) ∵在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A= 30° ∴ BC= AB （AB=2BC)