2020中考數(shù)學重點突破《綜合能力題》分類與專練.doc

《2020中考數(shù)學重點突破《綜合能力題》分類與專練.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020中考數(shù)學重點突破《綜合能力題》分類與專練.doc（20頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、中考數(shù)學《綜合能力題》分類解析與專練 代數(shù)型綜合題是指以代數(shù)知識為主的或以代數(shù)變形技巧為主的一類綜合題．涉及知識主要包括方程、函數(shù)、不等式等內容．用到的數(shù)學思想方法有化歸思想、分類思想、數(shù)形結合思想以及代入法、待定系數(shù)法、配方法等． 幾何型綜合題是指以幾何知識為主或者以幾何變換為主的一類綜合題．涉及知識主要包括幾何的定義、公理、定理、幾何變換等內容．解題策略： 解決幾何型綜合題的關鍵是把代數(shù)知識與幾何圖形的性質以及計算與證明有機融合起來，進行分析、推理，從而達到解決問題的目的． 代數(shù)和幾何型綜合題是指綜合運用代數(shù)知識與幾何知識的一類綜合題．涉及知識：主要以函數(shù)與圓，函數(shù)與三角形、四邊形等

2、相關知識為主．解題策略：幾何圖形形象直觀，代數(shù)方法具有一般性，解題過程的可操作性強，數(shù)形結合思想是數(shù)學中重要的思想方法． 探究一　代數(shù)(函數(shù)、方程)綜合題 例1 設a，b是任意兩個不等實數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的所有取值的全體叫作閉區(qū)間，表示為[a，b]．對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當m≤x≤n時，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”． (1)反比例函數(shù)y＝是閉區(qū)間[1，2020]上的“閉函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由； (2)若一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式； (3)若二次

3、函數(shù)y＝x2－x－是閉區(qū)間[a，b]上的“閉函數(shù)”，求實數(shù)a，b的值． 【分層分析】 (1)反比例函數(shù)y＝在當x＞0時，y隨x的增大而______， 當x＝1時，y＝________；當x＝2020時，y＝________， 所以，當1≤x≤2020時，有________≤y≤________，符合閉函數(shù)的定義； (2)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)，k有哪幾種情形？分別如何根據(jù)新定義運算法則列出關于系數(shù)k，b的方程組？通過解該方程組即可求得系數(shù)k，b的值； (3)根據(jù)新定義運算法則列出關于系數(shù)a，b的方程組，通過解方程組即可求得a，b的值． 【解題方法點析】 代數(shù)閱讀型綜合題

4、一般以數(shù)式的運算、方程(不等式)知識以及函數(shù)知識為背景，內容涉及方程、不等式和函數(shù)等有關知識的新思路、新方法，或者提供全新的閱讀材料，利用新定義、新公式(及其推導)，解決新問題，這類考題能考查我們接收、加工和利用信息的能力和自學、閱讀理解能力，我們在閱讀內容時要抓住重點和關鍵，要善于整理和概括，克服死記硬背不求甚解的壞習慣． 【解題】 (1)反比例函數(shù)y＝是閉區(qū)間[1，2020]上的“閉函數(shù)”．理由如下： 反比例函數(shù)y＝， 當x＞0時，y隨x的增大而減?。? 當x＝1時，y＝2020； 當x＝2020時，y＝1， 所以，當1≤x≤2020時，有1≤y≤2020，符合閉函數(shù)的定義，

5、 故反比例函數(shù)y＝是閉區(qū)間[1，2020]上的“閉函數(shù)”． (2)分兩種情況：k＞0或k＜0. ①當k＞0時，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)中，y隨x的增大而增大，故根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，解得 ∴此函數(shù)的解析式是y＝x. ②當k＜0時，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)中，y隨x的增大而減小，故根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，解得 ∴此函數(shù)的解析式是y＝－x＋m＋n. (3)∵y＝x2－x－＝(x－2)2－， ∴該二次函數(shù)的圖象開口向上，最小值是－，且當x＜2時，y隨x的增大而減?。划攛＞2時，y隨x的增大而增大． ①當b≤2時，此二次函數(shù)y隨x的增大而減小，則根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知：

6、 解得(舍去)或 ②當a＜2＜b時，此時二次函數(shù)y＝x2－x－的最小值是－＝a，根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，b＝a2－a－，或b＝b2－b－； (Ⅰ)當b＝a2－a－時，b＝－－＝＜2(舍去)； (Ⅱ)當b＝b2－b－時，解得b＝. 由于b＞2，所以b＝； ③當a≥2時，此二次函數(shù)y隨x的增大而增大，則根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知： 解得 ∵＜0，∴舍去． 綜上所述或 探究二　幾何綜合題 例2 已知兩個共一個頂點的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90，連接AF，M是AF的中點，連接MB，ME. (1)如圖①，當CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF

7、； (2)如圖①，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的長； (3)如圖②，當∠BCE＝45時，求證：BM＝ME. 【分層分析】 (1)如圖①所示，若延長AB交CF于點D，線段BM與△ADF的DF邊有什么關系？ (2)如圖②所示，延長AB交CF于點D，分別延長CA，F(xiàn)E交于點G，那么BM與DF，ME與AG有什么關系？理由是什么？ (3)如圖③所示，延長AB交CE于點D，連接DF，延長CB與FE交于點G，連接AG，容易推出BM，ME是兩條中位線，如何通過條件證明△ACG≌△DCF？　 【解題方法點析】 本題根據(jù)條件作輔助線構造出三角形的中位線、全等三角形和等腰直角三角形是

8、解題的關鍵．“見中點，連中線(中位線)”是常見的輔助線．解幾何綜合題的基本方法是：(1)觀察、分析圖形，把復雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線補全或構造基本圖形．(2)掌握常規(guī)的證題方法和思路．(3)運用轉化的思想解決幾何證明問題，運用方程的思想解決幾何計算問題．還要靈活運用數(shù)學思想方法如數(shù)形結合、分類討論等． 【解題】 (1)如圖①，延長AB交CF于點D， 則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝BD， ∴點B為線段AD的中點． 又∵點M為線段AF的中點， ∴BM為△ADF的中位線， ∴BM∥CF. (2)如圖②所示， 由(1)

9、易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝BD＝a，AC＝CD＝a， ∴點B為AD的中點，又點M為AF中點，∴BM＝DF. 分別延長FE與CA交于點G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形， ∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝2 a， ∴點E為FG的中點，又點M為AF的中點， ∴ME＝AG. ∵CG＝CF＝2 a，CA＝CD＝a， ∴AG＝DF＝a，∴BM＝ME＝a＝a. (3)如圖③，延長AB交CE于點D，連接DF， 則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝BD，AC＝CD， ∴點B為AD的中點．又點M為AF中點， ∴

10、BM＝DF. 延長FE與CB交于點G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形， ∴CE＝EF＝EG，CF＝CG，∴點E為FG的中點． 又點M為AF的中點，∴ME＝AG. 在△ACG與△DCF中， ∴△ACG≌△DCF(SAS)， ∴DF＝AG， ∴BM＝ME. 探究三　代數(shù)與幾何綜合題 例3 如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝－x＋2與x軸，y軸分別交于點A，B，動點P(a，b)在第一象限內，由點P向x軸，y軸所作的垂線PM，PN(垂足分別為M，N)分別與直線AB相交于點E，F(xiàn)，當點P(a，b)運動時，矩形PMON的面積為定值2. (1)求∠OAB的度

11、數(shù)； (2)求證：△AOF∽△BEO； (3)當點E，F(xiàn)都在線段AB上時，由三條線段AE，EF，BF組成一個三角形，記此三角形的外接圓面積為S1，△OEF的面積為S2.試探究：S1＋S2是否存在最小值？若存在，請求出該最小值；若不存在，請說明理由． 【分層分析】 (1)在平面直角坐標系中，直線y＝－x＋2與x軸，y軸分別交于點A，B，那么OA＝________，OB＝________，△OAB是________三角形． (2)如圖，矩形OMPN的頂點O在坐標原點，邊OM，ON在坐標軸上，直線AB與x軸，MP，NP，y軸分別交于點A，E，F(xiàn)，B，且∠OAB＝45，矩形PMON的面積為定

12、值2. 求證：①BE＝OM，AF＝ON；②＝. (3) ①在問題中，根據(jù)條件求得E點坐標為________，F(xiàn)點坐標為________； 以線段AE，EF，BF組成的三角形為________三角形，此三角形的外接圓的面積S1＝________，△OEF的面積為S2＝________． ②如何利用二次函數(shù)的性質求出最值？ 【解題方法點析】 解較復雜的綜合題，一要挖掘題目的隱含條件、已知條件，為解題打好基礎，若有圖形(或圖象)要注意圖形(圖象)的直觀提示；二要善于把綜合性的問題分解為獨立的小問題，以便各個擊破；三要由未知想需要，選擇已知條件，轉化結論來探求思路，找到解決問題的關鍵．本題

13、綜合考查了一次函數(shù)的圖象、等腰直角三角形、相似三角形、二次函數(shù)等知識，綜合性強．在第(2)題中證明＝與第(3)題中根據(jù)E，F(xiàn)的坐標表示出相應的線段AE，EF，BF的長是本題的難點，在解答時運用二次函數(shù)的頂點式求最值是關鍵． 【解題】 (1)∵直線y＝－x＋2，∴當x＝0時，y＝2， ∴點B的坐標為(0，2)． 又∵當y＝0時，x＝2，∴點A的坐標為(2，0)． ∴OA＝OB＝2.∵∠AOB＝90，∴∠OAB＝45. (2)證明：∵四邊形OMPN是矩形，∴PM∥ON，NP∥OM， ∴＝＝＝，＝＝＝， ∴BE＝OM，AF＝ON， ∴BEAF＝OMON＝2OMON. ∵矩

14、形PMON的面積為2，∴OMON＝2，∴BEAF＝4. ∵OA＝OB＝2，∴OAOB＝4，∴BEAF＝OAOB， 即＝.∵∠OAF＝∠EBO＝45，∴△AOF∽△BEO. (3)∵四邊形OMPN是矩形，∠OAF＝∠EBO＝45， ∴△AME，△BNF，△PEF都是等腰直角三角形． ∵點E的橫坐標為a，∴E(a，2－a)，∴AM＝EM＝2－a， ∴AE2＝2(2－a)2＝2a2－8a＋8. ∵點F的縱坐標為b，∴F(2－b，b)，∴BN＝FN＝2－b， ∴BF2＝2(2－b)2＝2b2－8b＋8. ∵PF＝PE＝a＋b－2， ∴EF2＝2(a＋b－2)2＝2a2＋4ab＋2b

15、2－8a－8b＋8. ∵ab＝2，∴EF2＝2a2＋2b2－8a－8b＋16， ∴EF2＝AE2＋BF2. ∴線段AE，EF，BF組成的三角形為直角三角形，且EF為斜邊，則此三角形的外接圓的面積為S1＝EF2＝2(a＋b－2)2＝(a＋b－2)2.∵S梯形OMPF＝(PF＋OM)PM，S△PEF＝PFPE，S△OME＝OMEM，∴S2＝S梯形OMPF－S△PEF－S△OME＝(PF＋OM)PM－PFPE－OMEM＝[PF(PM－PE)＋OM(PM－EM)]＝(PFEM＋OMPE)＝PE(EM＋OM)＝(a＋b－2)(2－a＋a)＝a＋b－2. ∴S1＋S2＝(a＋b－2)2＋a＋b－2

16、. 設m＝a＋b－2，則S1＋S2＝m2＋m＝－， ∵面積不可能為負數(shù)，∴當m＞－時，S1＋S2隨m的增大而增大． 當m最小時，S1＋S2最小． ∵m＝a＋b－2＝a＋－2＝＋2 －2， ∴當＝，即a＝b＝時，m最小，最小值為2 －2， ∴S1＋S2的最小值為(2 －2)2＋2 －2＝2(3－2 )π＋2 －2. 專項訓練 一、選擇題 1．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝－3x＋3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，以AB為邊在第一象限作正方形ABCD，點D在雙曲線y＝(k≠0)上．將正方形沿x軸負方向平移a個單位長度后，點C恰好落在該雙曲線上，則a的值是( ) A

17、．1 B．2 C．3 D．4 2．如圖，已知邊長為4的正方形ABCD，P是BC邊上一動點(與B，C不重合)，連接AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分線于點E.設BP＝x，△PCE面積為y，則y與x的函數(shù)關系式是( ) A．y＝2x＋1 B．y＝x－2x2 C．y＝2x－x2 D．y＝2x 3．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，P是CD的中點，連接AP并延長交BC的延長線于點F，作△CPF的外接圓⊙O，連接BP并延長交⊙O于點E，連接EF，則EF的長為( ) A. B. C. D. 4．已知函數(shù)y＝的圖象在第一象限的一支曲線上有一點A(

18、a，c)，點B(b，c＋1)在該函數(shù)圖象的另外一支上，則關于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根x1，x2判斷正確的是( ) A．x1＋x2＞1，x1x2＞0 B．x1＋x2＜0，x1x2＞0 C．0＜x1＋x2＜1，x1x2＞0 D．x1＋x2與x1x2的符號都不確定 5．如圖①，E為矩形ABCD邊AD上一點，點P從點B沿折線BE－ED－DC運動到點C時停止，點Q從點B沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1 cm/s.若P，Q同時開始運動，設運動時間為t(s)，△BPQ的面積為y(cm2)．已知y與t的函數(shù)圖象如圖②，則下列結論錯誤的是( ) A．AE＝6 c

19、m B．sin∠EBC＝ C．當0＜t≤10時，y＝t2 D．當t＝12 s時，△PBQ是等腰三角形 二、填空題 6．如圖，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，雙曲線y＝(x＞0)經過斜邊OA的中點C，與另一直角邊交于點D.若S△OCD＝9，則S△OBD的值為____． 　　　 7．如圖，在平面直角坐標系中，直線l經過原點O，且與x軸正半軸的夾角為30，點M在x軸上，⊙M半徑為2，⊙M與直線l相交于A，B兩點，若△ABM為等腰直角三角形，則點M的坐標為__ __． 8．如圖，A，B，C，D依次為一直線上4個點，BC＝2，△BCE為等邊三角形，⊙O過A，D，E三

20、點，且∠AOD＝120.設AB＝x，CD＝y(tǒng)，則y與x的函數(shù)關系式為__ __． 　　　, 9．如圖，一段拋物線：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，記為C1，它與x軸交于點O，A1； 將C1繞點A1旋轉180得C2，交x軸于點A2； 將C2繞點A2旋轉180得C3，交x軸于點A3； ……； 如此進行下去，直至得C13. 若P(37，m)在第13段拋物線C13上，則m＝____． 10．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點(不與B，C重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cosα＝.下列結論：①△ADE∽△ACD；②當BD

21、＝6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8或；④0＜CE≤6.4.其中正確的是__ __．(把你認為正確結論的序號都填上) 三、解答題 11．如圖，直線MN與x軸、y軸分別相交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸、y軸的垂線相交于B點，且OA，OC(OA＞OC)的長分別是一元二次方程x2－14x＋48＝0的兩個實數(shù)根． (1)求C點坐標； (2)求直線MN的解析式； (3)在直線MN上存在點P，使以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標． 12．如圖，已知拋物線y＝2x2－2與x軸交于A，B兩點(點A在

22、點B的左側)，與y軸交于點C. (1)寫出以A，B，C為頂點的三角形面積； (2)過點E(0，6)且與x軸平行的直線l1與拋物線相交于M，N兩點(點M在點N的左側)，以MN為一邊，拋物線上的任一點P為另一頂點作平行四邊形，當平行四邊形的面積為8時，求出點P的坐標； (3)過點D(m，0)(其中m＞1)且與x軸垂直的直線l2上有一點Q(點Q在第一象限)，使得以Q，D，B為頂點的三角形和以B，C，O為頂點的三角形相似，求線段QD的長．(用含m的代數(shù)式表示) 13．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經過點(－1，4)，且與直線y＝－x＋1相交于A，B兩點(如圖)，A點在y軸上

23、，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C(－3，0)． (1)求二次函數(shù)的表達式； (2)點N是二次函數(shù)圖象上一點(點N在AB上方)，過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值； (3)在(2)的條件下，點N在何位置時，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點的坐標． 14.如圖，OABC是平行四邊形，對角線OB在y軸正半軸上，位于第一象限的點A和第二象限的點C分別在雙曲線y＝和y＝的一支上，分別過點A，C作x軸的垂線，垂足分別為點M和N，則有以下的結論： ①＝； ②陰影部分面積是(k1＋k2)； ③當∠AOC＝90時，|k1|＝|k2|； ④若OABC

24、是菱形，則兩雙曲線既關于x軸對稱，也關于y軸對稱． 其中正確的結論是哪幾條？ 參考答案 1. B 2. C 3.D 4. C 5. D 6. 6 7. (2，0)或(－2，0) 8. y＝(x＞0) 9. 2 10. ①②③④ 11. 解：(1)解方程x2－14x＋48＝0得x1＝6，x2＝8.∵OA，OC(OA＞OC)的長分別是一元二次方程x2－14x＋48＝0的兩個實數(shù)根，∴OC＝6，OA＝8.∴C(0，6) (2)設直線MN的解析式是y＝kx＋b(k≠0)．由(1)知，OA＝8，則A(8，0)．∵點A，C都在直線MN上，∴

25、解得∴直線MN的解析式為y＝－x＋6 (3)∵A(8，0)，C(0，6)，∴根據(jù)題意知B(8，6)．∵點P在直線MN∶y＝－x＋6上，∴設P(a，－a＋6)，當以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形時，需要分類討論：①當PC＝PB時，點P是線段BC的垂直平分線與直線MN的交點，即P1(4，3)；②當PC＝BC時，a2＋(－a＋6－6)2＝64，解得a＝，則P2(－，)，P3(，)；③當PB＝BC時，(a－8)2＋(－a＋6－6)2＝64，解得a＝，則－a＋6＝－，∴P4(，－)．綜上所述，符合條件的點P有P1(4，3)，P2(－，)，P3(，)，P4(，－) 12. 解：(1)∵

26、y＝2x2－2，∴當y＝0時，2x2－2＝0，x＝1，∴點A的坐標為(－1，0)，點B的坐標為(1，0)，AB＝2，又當x＝0時，y＝－2，∴點C的坐標為(0，－2)，OC＝2，∴S△ABC＝ABOC＝22＝2 (2)將y＝6代入y＝2x2－2，得2x2－2＝6，x＝2，∴點M的坐標為(－2，6)，點N的坐標為(2，6)，MN＝4.∵平行四邊形的面積為8，∴MN邊上的高為84＝2，∴P點縱坐標為62.①當P點縱坐標為6＋2＝8時，2x2－2＝8，x＝，∴點P的坐標為(，8)或(－，8)；②當P點縱坐標為6－2＝4時，2x2－2＝4，x＝，∴點P的坐標為(，4)或(－，4) (3)∵點B

27、的坐標為(1，0)，點C的坐標為(0，－2)，∴OB＝1，OC＝2.∵∠QDB＝∠BOC＝90，∴以Q，D，B為頂點的三角形和以B，C，O為頂點的三角形相似時，分兩種情況：①OB與BD邊是對應邊時，△OBC∽△DBQ，則＝，即＝，解得DQ＝2(m－1)＝2m－2；②OB與QD邊是對應邊時，△OBC∽△DQB，則＝，即＝，解得DQ＝.綜上所述，線段QD的長為2m－2或 13. 解：(1)由題設可知A(0，1)，B(－3，)，根據(jù)題意得解得則二次函數(shù)的解析式是y＝－x2－x＋1 (2)設N(x，－x2－x＋1)，則M，P點的坐標分別是(x，－x＋1)，(x，0)．∴MN＝PN－PM＝－x2－x

28、＋1－(－x＋1)＝－x2－x＝－(x＋)2＋，則當x＝－時，MN的最大值為 (3)連接MC，BN，BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，由于BC∥MN，MN＝BC，且BC＝MC，即－x2－x＝，且(－x＋1)2＋(x＋3)2＝，解得x＝－1，故當N(－1，4)時，BM和NC互相垂直平分 14. 作AE⊥y軸于點E，CF⊥y軸于點F，如圖， ∵四邊形OABC是平行四邊形，∴S△AOB＝S△COB，∴AE＝CF，∴OM＝ON，∵S△AOM＝|k1|＝OMAM，S△CON＝|k2|＝ONCN，∴＝，所以①正確；∵S△AOM＝|k1|，S△CON＝|k2|，∴S陰影部分＝S△AOM＋S△CON＝(|k1|＋|k2|)，而k1＞0，k2＜0，∴S陰影部分＝}，所以②錯誤；當∠AOC＝90，∴四邊形OABC是矩形，∴不能確定OA與OC相等，而OM＝ON，∴不能判斷△AOM≌△OCN，∴不能判斷AM＝CN，∴不能確定|k1|＝|k2|，所以③錯誤；若OABC是菱形，則OA＝OC，而OM＝ON，∴Rt△AOM≌Rt△CON，∴AM＝CN，∴|k1|＝|k2|，∴k1＝－k2，∴兩雙曲線既關于x軸對稱，也關于y軸對稱，所以④正確．故答案為①④