2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時提升作業(yè)(六十四) 選修4-4 第一節(jié) 坐標(biāo)系 文

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1、課時提升作業(yè)(六十四) 選修4-4 第一節(jié) 坐標(biāo)系 一、選擇題 1.在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程是ρcosθ-2=0,直線l與極軸相交于點(diǎn)M,以O(shè)M為直徑的圓的極坐標(biāo)方程是　(　　) (A)ρ=2cosθ (B)ρ=2sinθ (C)2ρ=cosθ (D)ρ=2+cosθ 2.(2013·惠州模擬)已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(1,π),則過點(diǎn)P且垂直于極軸的直線方程為　(　　) (A)ρ=1 (B)ρ=cosθ (C)ρ=- (D)ρ= 3.在極坐標(biāo)系中,與圓ρ=4sinθ相切的一條直線的方程是　(　　) (A)ρsinθ=2 (B)ρ

2、cosθ=2 (C)ρcosθ=4 (D)ρcosθ=-4 二、填空題 4.(2012·陜西高考)直線2ρcosθ=1與圓ρ=2cosθ相交的弦長為　　　　. 5.(2012·江西高考)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,則曲線C的極坐標(biāo)方程為　　　　. 6.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)(2,)到圓ρ=2cosθ的圓心的距離為　　　　. 三、解答題 7.在極坐標(biāo)系中,已知圓C的圓心C(3,),半徑r=3. (1)求圓C的極坐標(biāo)方程. (2)若Q點(diǎn)在圓C上運(yùn)動,P在OQ的延長線上,且=2,求動點(diǎn)P的軌跡方程. 8.在極坐標(biāo)系中

3、,點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,),曲線C的方程為ρ=2sin(θ+);以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l經(jīng)過點(diǎn)M和極點(diǎn). (1)寫出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程. (2)直線l和曲線C相交于兩點(diǎn)A,B,求線段AB的長. 9.從極點(diǎn)O作直線l與另一直線ρcosθ=4相交于點(diǎn)M,在OM上取一點(diǎn)P,使·=16. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程. (2)圓N的方程為(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1(θ∈R),過圓N上任意一點(diǎn)K作P的軌跡的兩條切線KE,KF,切點(diǎn)分別為E,F,求·的最小值. 10.已知圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2asinθ,求: (1)圓

4、C關(guān)于極軸對稱的圓的極坐標(biāo)方程. (2)圓C關(guān)于直線θ=對稱的圓的極坐標(biāo)方程. 11.在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-)=1,M,N分別為C與x軸,y軸的交點(diǎn). (1)寫出C的直角坐標(biāo)方程,并求M,N的極坐標(biāo). (2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線OP的極坐標(biāo)方程. 12.(2013·福州模擬)已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=,點(diǎn)F1,F2為其左、右焦點(diǎn),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),t∈R). (1)求直線l和曲線C的普通方程. (2)求點(diǎn)F1,F2到直線l的距離之和. 答案解析 1.【解析】選A.直線

5、l:ρcosθ-2=0的直角坐標(biāo)方程是x=2,直線l與x軸相交于點(diǎn)M(2,0),以O(shè)M為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2=0,化為極坐標(biāo)方程是ρ2-2ρcosθ=0,即ρ=2cosθ. 2.【解析】選C.由點(diǎn)P坐標(biāo)知,過點(diǎn)P且垂直于極軸的直線的直角坐標(biāo)方程為x=-1,化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ=-1,故選C. 3.【解析】選B.方法一:圓的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ,所以直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4y=0. 選項(xiàng)A,直線ρsinθ=2的直角坐標(biāo)方程為y=2,代入圓的方程,得x2=4,∴x=±2,不符合題意; 選項(xiàng)B,直線ρcosθ=2

6、的直角坐標(biāo)方程為x=2,代入圓的方程,得(y-2)2=0,∴y=2,符合題意.同理,以后選項(xiàng)都不符合題意. 方法二:如圖,☉C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ, CO⊥Ox,OA為直徑,|OA|=4,直線l和圓相切, l交極軸于點(diǎn)B(2,0),點(diǎn)P(ρ,θ)為l上任意一點(diǎn), 則有cosθ==,得ρcosθ=2. 4.【解析】直線2ρcosθ=1與圓ρ=2cosθ的普通方程為2x=1和(x-1)2+y2=1,圓心到直線的距離為1-=, ∴弦長為2=. 答案： 5.【解析】∵x2+y2=ρ2, ∴x=ρcosθ,代入直角坐標(biāo)方程整理得ρ2-2ρcosθ=0, ∴ρ-2cosθ=0.

7、 即極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ. 答案：ρ=2cosθ 6.【解析】由x=ρcosθ,y=ρsinθ及ρ=2cosθ, 得x=2cos2θ,y=2cosθsinθ, 則x=1+cos2θ,y=sin2θ,所以(x-1)2+y2=1,即圓心坐標(biāo)為(1,0),而點(diǎn)(2,)在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(1,),所以所求的距離為. 答案： 7.【解析】(1)設(shè)M(ρ,θ)是圓C上任意一點(diǎn),在△OCM中,∠COM=|θ-|,由余弦定理,得CM2=OM2+OC2-2OM·OC·cos∠COM, ∴32=ρ2+32-2×3×ρcos(θ-), 即ρ=6cos(θ-)為所求. (2)設(shè)點(diǎn)Q為(ρ

8、1,θ1),點(diǎn)P為(ρ',θ'),由=2,得=2(-). ∴=,∴ρ1=ρ',θ1=θ',代入圓方程ρ= 6cos(θ-)得ρ'=6cos(θ'-), 即ρ=9cos(θ-)為所求. 8.【解析】(1)∵直線l過點(diǎn)M(2,)和極點(diǎn), ∴直線l的極坐標(biāo)方程是θ=(ρ∈R), ρ=2sin(θ+)即ρ=2(sinθ+cosθ), 兩邊同乘以ρ得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ), ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-2y=0. (2)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,),直線l過點(diǎn)M和原點(diǎn), ∴直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x, 曲線C的圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑r=,圓心到直線l的距

9、離為d=, ∴|AB|=+1. 9.【解析】(1)方法一:設(shè)P(ρ,θ),M(,θ), ·=16,ρ=16, ρ=4cosθ(扣除極點(diǎn)). 方法二:設(shè)平面直角坐標(biāo)系下P點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y),M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為ym, =,所以ym=. 因?yàn)椤?16, 所以x2+y2=4x(扣除原點(diǎn)). (2)點(diǎn)P的軌跡是以(2,0)為圓心,以2為半徑的圓. 設(shè)其圓心為A,|KA|的長為t, ·=||||cos∠EKF =(1-2sin2∠AKE)=(||2-4)(1-2)=t2+-12, 因?yàn)閨|=5,所以4≤t≤6, 設(shè)f(t)=t2+-12,則f'(t)=, t∈[4,6]時,f

10、'(t)>0,所以f(t)單增, 所以,f(t)的最小值為f(4)=6. 10.【解析】方法一:設(shè)所求圓上任意一點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(ρ,θ). (1)點(diǎn)M(ρ,θ)關(guān)于極軸對稱的點(diǎn)為M(ρ,-θ),代入圓C的方程ρ=2asinθ,得ρ=2asin(-θ), 即ρ=-2asinθ為所求. (2)點(diǎn)M(ρ,θ)關(guān)于直線θ=對稱的點(diǎn)為(ρ,-θ),代入圓C的方程ρ= 2asinθ,得ρ=2asin(-θ), 即ρ=-2acosθ為所求. 方法二:由圓的極坐標(biāo)方程ρ=2asinθ, 得ρ2=2ρa(bǔ)sinθ, 利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ=, 化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2

11、=2ay. 即x2+(y-a)2=a2,故圓心為C(0,a),半徑為|a|. (1)關(guān)于極軸對稱的圓的圓心為(0,-a),圓的方程為x2+(y+a)2=a2,即x2+y2=-2ay, ∴ρ2=-2ρa(bǔ)sinθ,故ρ=-2asinθ為所求. (2)由θ=得tanθ=-1,故直線θ=的直角坐標(biāo)方程為y=-x, 圓x2+(y-a)2=a2關(guān)于直線y=-x對稱的圓的方程為(-y)2+(-x-a)2=a2, 即(x+a)2+y2=a2,于是x2+y2=-2ax. ∴ρ2=-2ρa(bǔ)cosθ. 此圓的極坐標(biāo)方程為ρ=-2acosθ. 11.【解析】(1)由ρcos(θ-)=1得ρ(cosθ+sinθ)=1. 從而C的直角坐標(biāo)方程為x+y=1. 即x+y=2.當(dāng)θ=0時,ρ=2,所以M(2,0); 當(dāng)θ=時,ρ=,所以N(,). (2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0),N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 (0,).所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,),則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為(,). 所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R). 12.【解析】(1)直線l普通方程為y=x-2,曲線C的普通方程為+=1. (2)∵F1(-1,0),F2(1,0), ∴點(diǎn)F1到直線l距離為d1==, 點(diǎn)F2到直線l距離為d2==, ∴d1+d2=2.