高中物理 第5章 萬有引力定律及其應用 習題課 萬有引力定律及其應用學案 魯科版必修2-魯科版高一必

6、半徑 r 有關(guān)，由 m b c a b c a 向 r2 r2 a m m m m m m ＝m r 知 > ，即 F >F ， < ，即 F

7、GMm 4π2 R T2 3 解析：由 ＝m· ·R 得 ＝ ＝ 4 R2 T2 R 2 3 T2 2 3 3 GMm a R2 T4 4 由 ＝ma 得 ＝ ＝ ＝ . R2 a R2 4 T4 1 3 3 答案： 4∶1 4∶4 “赤道物體”與“同步衛(wèi)星”“近地衛(wèi)星”的比較 有 a、b、c、d 四顆地球衛(wèi)星，衛(wèi)星 a 還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球一起轉(zhuǎn)動， 衛(wèi)星 b 在地面附近近地軌道上正常運動，衛(wèi)星 c 是地球同步衛(wèi)星，衛(wèi)星 d 是高空探測衛(wèi)星， 各衛(wèi)星排列位置如圖所示，則有( ) A．衛(wèi)星 a 的向心加速度等于重力加速度 g

8、 π B．衛(wèi)星 c 在 4 h 內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是 6 C．在相同時間內(nèi)衛(wèi)星 b 轉(zhuǎn)過的弧長最長 D．衛(wèi)星 d 的運動周期有可能是 23 h [解析] 地球赤道上靜止的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度小于重力加速度 g，選項 A 錯 2π π 誤；同步衛(wèi)星 c 在 4 h 內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角 φ＝ ×4＝ ，選項 B 錯誤；相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的 24 3 弧長 s 由線速度 v 決定，衛(wèi)星 b 的線速度最大，因此相同時間內(nèi)衛(wèi)星 b 轉(zhuǎn)過的弧長最長，選 項 C 正確；衛(wèi)星 d 的軌道比同步衛(wèi)星 c 的高，周期比同步衛(wèi)星 c 的大，則其周期一定大于 24 h，選項 D 錯誤．

9、 [答案] C (1)赤道上的物體與同步衛(wèi)星具有相同的角速度和周期，如同一圓盤上不同半徑的兩個 GM 點，由 v＝ωr 和 a＝ω2r 可分別判斷線速度，向心加速度的關(guān)系． GMm v2 (2)不同軌道上的衛(wèi)星向心力來源相同，即萬有引力提供向心力，由 ＝ma＝m ＝mω2 r2 r  r 4π2 GM ＝mr 可分別得到 a＝ 、v＝ T2 r2  GM 、ω＝ r  GM 及 T＝2π r3  r3  ，故可以看出，軌道 半徑越大，a、v、ω 越小，T 越大． 2. 如圖所示，

10、赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體 A、赤道上空的近地衛(wèi)星 B、地球的同步衛(wèi)星 C， 它們的運動都可視為勻速圓周運動，比較三個物體的運動情況，以下判斷正確的是( ) A．三者的周期關(guān)系為 T >T >T A B C B．三者向心加速度的大小關(guān)系為 a >a >a A B C C．三者角速度的大小關(guān)系為 ω >ω >ω A C B D．三者線速度的大小關(guān)系為 v

11、 A C 而 C 錯誤；A、C 比較，角速度相等，由 v＝ωr，可知 v

12、號”月球車將在 M 點著陸月球表面，如圖所示．下 列的說法正確的是( ) A．“嫦娥三號”在軌道Ⅰ上的運動速度比月球的第一宇宙速度小 B．“嫦娥三號”在地月轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過 P 點的速度比在軌道Ⅰ上經(jīng)過 P 點時大 r C．“嫦娥三號”在軌道Ⅱ上運動周期比在軌道Ⅰ上短 D．“嫦娥三號”在軌道Ⅰ上經(jīng)過 Q 點時的加速度小于在軌道Ⅱ上經(jīng)過 Q 點時的加速度 [解析 ]  月球的第一宇宙速度是衛(wèi)星貼近月球表面做勻速圓周運動的速度， “嫦娥三 mM v2 號”在軌道Ⅰ上的半徑大于月球半徑，根據(jù) G ＝m ，得線速度 v＝ r2 r

13、 GM ，可知“嫦娥三 號”在軌道Ⅰ上的運動速度比月球的第一宇宙速度小，故 A 正確；“嫦娥三號”在軌道Ⅰ上 經(jīng)過 P 點若要進入軌道Ⅰ需減速，故 B 正確；根據(jù)開普勒第三定律得衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運動軌 道的半長軸比在軌道Ⅰ上的軌道半徑小，所以衛(wèi)星在軌道Ⅱ上的運動周期比在軌道Ⅰ上短， 故 C 正確；“嫦娥三號”無論在哪個軌道上經(jīng)過 Q 點時的加速度都為該點的萬有引力加速度， 故萬有引力在此點產(chǎn)生的加速度相等，故 D 錯誤． [答案] ABC 衛(wèi)星變軌問題的幾點注意 (1)當衛(wèi)星由于某種原因速度改變時，萬有引力不再等于向心力，衛(wèi)星將做變軌運行． Mm v

14、2 ①當衛(wèi)星的速度突然增加時，G m ，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近 r2 r 心運動，衛(wèi)星的回收就是利用這一原理． (2)衛(wèi)星到達橢圓軌道與圓軌道的切點時，衛(wèi)星受到的萬有引力相同，所以加速度相同． (3)飛船對接問題：兩飛船實現(xiàn)對接前應處于高低不同的兩軌道上，目標船處于較高軌 道，在較低軌道上運動的對接船通過合理地加速，做離心運動而追上目標船與其完成對接． 3.如圖所示，在發(fā)射地球同步衛(wèi)星的過程中，衛(wèi)星首先進入橢圓軌道

15、 Ⅰ，然后在 Q 點通過改變衛(wèi)星速度，讓衛(wèi)星進入地球同步軌道Ⅱ，則( ) A．該衛(wèi)星的發(fā)射速度必定大于 11.2 km/s B．衛(wèi)星在同步軌道Ⅱ上的運行速度大于 7.9 km/s C．在軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在 P 點的速度小于在 Q 點的速度 D．衛(wèi)星在 Q 點通過加速實現(xiàn)由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ 解析：選 D.11.2 km/s 是第二宇宙速度，若大于此值就會飛出地球引力范圍了，故選項 ? ? è ω ? A 錯；7.9 km/s 是最大環(huán)繞速度，在軌道Ⅱ上運動時的速度一定小于 7.9 km/s，所以選項 B 錯；從 P 到 Q 的運動中引力做

16、負功，動能減小，所以選項 C 錯；從橢圓軌道Ⅰ到同步軌道Ⅱ， 衛(wèi)星在 Q 點是做逐漸遠離圓心的運動，要實現(xiàn)這個運動衛(wèi)星所需向心力大于萬有引力，所以 應給衛(wèi)星加速，增加所需的向心力，所以衛(wèi)星在 Q 點通過加速實現(xiàn)由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ，故 選項 D 正確． [學生用書 P81] 1．(多選)如圖所示，飛船從軌道 1 變軌至軌道 2.若飛船在兩軌道上都做勻速圓周運動， 不考慮質(zhì)量變化，相對于在軌道 1 上，飛船在軌道 2 上的( ) A．動能大 B．向心加速度大 C．運行周期長 D．角速度小 解析：選 CD.飛船繞中心天體做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力

17、，即 F ＝F ，所 引 向 GMm mv2 4π2mr GM 1 GMm 以 ＝ma ＝ ＝ ＝mrω2，即 a ＝ ，E ＝ mv2＝ ，T＝ r2 向 r T2 向 r2 k 2 2r  4π2r3 ，ω＝ GM  GM r3 2π ?或用公式T＝ 求解÷.因為 r E ，a >a ，T ω ，選項 C、D 正確． 1 2 k1 k2 向 1 向 2 1 2 1 2 2．“北斗”衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)由地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)、中軌道衛(wèi)星和傾斜同 步衛(wèi)星組成．地球靜止軌道衛(wèi)星和中軌道衛(wèi)星都在圓軌道上

18、運行，它們距地面的高度分別約 為地球半徑的 6 倍和 3.4 倍．下列說法正確的是( ) A．靜止軌道衛(wèi)星的周期約為中軌道衛(wèi)星的 2 倍 B．靜止軌道衛(wèi)星的線速度大小約為中軌道衛(wèi)星的 2 倍 1 C．靜止軌道衛(wèi)星的角速度大小約為中軌道衛(wèi)星的 7 1 D．靜止軌道衛(wèi)星的向心加速度大小約為中軌道衛(wèi)星的 7 Mm 4π2 解析：選 A.根據(jù) G ＝m r，可得 T＝2π r2 T2  r3 Mm v2 ，代入數(shù)據(jù)，A 正確；根據(jù) G ＝m ， GM r2 r r r g 可得 v＝  GM Mm ，代入數(shù)據(jù)，B

19、錯誤；根據(jù) G ＝mω2r，可得 ω＝ r r2  GM ，代入數(shù)據(jù)，C 錯誤； 3 Mm GM 根據(jù) G ＝ma，可得 a＝ ，代入數(shù)據(jù)，D 錯誤． r2 r2 3．(多選)“北斗”導航系統(tǒng)中兩顆工作衛(wèi)星均繞地球做勻速圓周運動，軌道半徑均為 r.如圖所示，某時刻兩顆工作衛(wèi)星分別位于同一軌道上的 A、B 位置．若衛(wèi)星均順時針運行， 地球表面處的重力加速度為 g，地球半徑為 R，則下列說法中正確的是( ) R2g A．這兩顆衛(wèi)星的加速度大小均為 2 B．衛(wèi)星甲向后噴氣就一定能追上衛(wèi)星乙 π C．衛(wèi)星甲由位置 A 運動到位置 B 所需的時間為

20、 3R  r3 g D．該時刻，這兩顆衛(wèi)星的線速度相同 解析：選 AC.設地球的質(zhì)量為 M，地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力， Mm Mm 得 G ＝ma，在地球表面，物體所受的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，則 G ＝mg， r2 R2 R2g 由以上兩式解得兩衛(wèi)星的加速度 a＝ ，選項 A 正確；衛(wèi)星甲向后噴氣后，其速度變大，地 r2 球?qū)πl(wèi)星甲的萬有引力不足以提供其做圓周運動的向心力，衛(wèi)星甲將做離心運動，不可能追 4π2r 2π 上衛(wèi)星乙，選項 B 錯誤；由 a＝ω2r＝ ，解得 T＝ T2 R  r3 ，

21、衛(wèi)星甲由位置 A 運動到位 g 60° π 置 B 所需時間 t＝ T＝ 360° 3R  r3 ，選項 C 正確；因兩顆衛(wèi)星在同一軌道上運行，線速度 大小相等，但方向不同，選項 D 錯誤． 4．兩顆人造地球衛(wèi)星都繞地球做勻速圓周運動，已知它們的軌道半徑之比 4∶1，求這兩顆衛(wèi)星的  r ∶r ＝ 1 2 (1)線速度大小之比； (2)角速度之比； (3)向心加速度大小之比． 解析：(1)地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星做勻速圓周運動所需的向心力，設地球的質(zhì) ü ? 1 1 y ? t

22、2 2 1 v 2 r v ü 1 r 1 y 1 1 2 ω v r 2 4 8 v 2 2 1 2 1 1 1 a r ω2 1 2 月 è T ? r 月 2 量為 M，兩衛(wèi)星的質(zhì)量分別為 m 、m ，線速度大小分別為 v 、v ，由牛頓第二定律得 1 2 1 2 Mm v2 G ＝m r2 1r 1 1 Mm v2 G ＝m r2 2r 2 2  v 可得 ＝ 2  r 1  ＝  1 1 ＝ . 4 2

23、 v (2)由角速度與線速度的關(guān)系 ω＝ ，得兩衛(wèi)星的角速度分別為 r ω ＝ ? 1 ω v r 1 1 1 可得 ＝ ＝ × ＝ . ω2＝r ?t 2 (3)由向心加速度的公式 a＝rω2，得兩衛(wèi)星的向心加速度大小分別為 a1＝r1ω12ü? a r ω2 ?1? y可得 ＝ ＝?÷ a2＝r2ω2?t 2 2 2 è8?  2 ×4＝ . 16 答案：(1)1∶2 (2)1∶8 (3)1∶16 5．某載人航天飛船在探月過程中， (1)若已知地球半徑為 R，地球表面重力加速度為 g，月球繞地球近似做勻速圓周運動的 周

24、期為 T，求月球繞地球運動的軌道半徑 r； (2)若航天員在登月飛船到達月球后，在月球表面某處以速度 v 豎直向上拋出一個小球， 0 經(jīng)過時間 t，小球落回拋出點，已知月球半徑為 R ，引力常量為 G，請求出月球的質(zhì)量 M ； 月 月 (3)若飛船開始在離月球表面高 h 處繞月球做勻速圓周運動，試求該飛船繞月球運行的 周期 T. 解析：(1)根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得： MM ?2π? G ＝M ? ÷r 2 月 Mm 質(zhì)量為 m 的物體在地球表面時有 mg＝G R2 聯(lián)立得 r＝  3  gR2T2 . 4π2

25、 g t (2)設月球表面處的重力加速度為 g ，根據(jù)豎直上拋運動的規(guī)律有：v ＝ . 月 0 根據(jù)萬有引力等于重力得 GM ＝g R2 ， 月 月 月 0 月 月 è T′? r 0 月 G 2v R2 聯(lián)立得 M ＝ . 月 Gt M m ?2π? (3)飛船繞月球運行的軌道半徑為 r ＝R ＋h，由萬有引力提供向心力得 G ＝m? ÷ 1 月 2 1  2 r 1 所以該飛船繞月球運行的周期 T′＝2π  （R ＋h）3 月 2v R2 0 月  t . 答案：(1)  3  gR2T2 4π2 2v R2 (2) (3)2π  （R ＋h）3 月 2v R2 0 月  t