湖南省十二校2013屆高三數(shù)學第二次聯(lián)考試題 文（含解析）湘教版

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1、 2013年湖南省十二校第二次聯(lián)考數(shù)學試卷（文科） 一、選擇題：本大題共9小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將所選答案填在答題卡中對應位置． 1．（5分）（2013?湖南模擬）已知集合M={x∈Z|﹣1≤x≤1}，N={x∈Z|x（x﹣2）≤0}，則如圖所示韋恩圖中的陰影部分所表示的集合為（　?。? 　 A． {0，1} B． {﹣1，2} C． {﹣1，0，1} D． {﹣1，0，1，2} 考點： Venn圖表達集合的關系及運算． 專題： 計算題． 分析： 根據(jù)描述法表示集合，求出集合M、N，再求陰影部分

2、表示的集合． 解答： 解：M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}， 陰影部分表示集合為[（CUM）∩N]∪[M∩（CUN）]={﹣1，2}． 故選B 點評： 本題考查Venn圖表示集合關系及運算． 　 2．（5分）（2013?湖南模擬）若a，b∈R，i是虛數(shù)單位，且對應的點在（　　） 　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考點： 復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義． 專題： 計算題；平面向量及應用． 分析： 根據(jù)復數(shù)相等的含義建立關于a、b的方程組，解出a=1，b=2．代入化簡得復數(shù)2﹣i，由此結合復數(shù)的幾何意義即可得

3、到對應的點所在的象限． 解答： 解：∵a+（b﹣1）i=1+i，∴a=1且b﹣1=1，解之得a=1，b=2 因此，復數(shù)==2﹣i ∵復數(shù)2﹣i對應復平面內(nèi)的點P（2，﹣1） ∴對應的點在第四象限 故選：D 點評： 本題給出復數(shù)方程，求另一復數(shù)對應點所在的象限，著重考查了復數(shù)的四則運算和復數(shù)的幾何意義等知識，屬于基礎題． 　 3．（5分）（2013?湖南模擬）已知雙曲線﹣=1的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為（　?。? 　 A． x2﹣=1 B． x2﹣y2=15 C． ﹣y2=1 D． ﹣=1 考點： 雙

4、曲線的簡單性質(zhì)；雙曲線的標準方程． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 求出拋物線的焦點坐標，利用雙曲線的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，且雙曲線的離心率等于 ，建立方程組，求出幾何量，即可求得雙曲線的標準方程． 解答： 解：拋線線y2=4x的焦點（，0） ∴c2=a2+b2=10，e==． ∴a=3，b=1， ∴該雙曲線的方程為． 故選C． 點評： 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查雙曲線的標準方程，考查學生的計算能力，屬于基礎題． 　 4．（5分）（2013?湖南模擬）如圖，大正方形的面積是34，四個全等直角三角形圍成一個正方形，直角三角形的較短邊長為3

5、，向大正方形內(nèi)設一飛鏢，則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率為（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 幾何概型． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： 根據(jù)幾何概型概率的求法，飛鏢扎在小正方形內(nèi)的概率為小正方形內(nèi)與大正方形的面積比，根據(jù)題意，可得小正方形的面積與大正方形的面積，進而可得答案． 解答： 解：根據(jù)題意，大正方形的面積是34，則大正方形的邊長是 ， 又直角三角形的較短邊長為3， 得出四個全等的直角三角直角邊分別是=5和3， 則小正方形的邊長為2，面積為4； 又∵大正方形的面積為34； 故飛鏢扎在小正方形內(nèi)的概率為 =． 故選C． 點

6、評： 用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比；難點是得到正方形的邊長．屬于基礎題． 　 5．（5分）（2013?湖南模擬）某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側視圖（或稱左視圖）是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形，則該幾何體的表面積為（　?。? 　 A． 80 B． C． D． 118 考點： 棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積；空間幾何體的直觀圖． 專題： 計算題；空間位置關系與距離． 分析： 根據(jù)題意，該幾何體是一個四棱錐，其底面是邊長分別為6和8的矩形，側棱長均相等且高SO=4．因

7、此利用線面垂直的性質(zhì)結合勾股定理算出等腰△SAB和等腰△SCB的高長，從而算出四個側面等腰三角形的面積，結合矩形ABCD的面積即可得到該幾何體的全面積． 解答： 解：根據(jù)題意，可得該幾何體是底面邊長分別為6和8的矩形， 且側棱長均相等的四棱錐，高長為SO=4，如圖所示 因此，等腰△SAB的高SE===5 等腰△SCB的高SF===4 ∴S△SAB=S△SCD=×AB×SE=20，S△SCB=S△SAD=×CB×SF=12 ∵矩形ABCD的面積為6×8=48 ∴該幾何體的表面積為 S全=S△SAB+S△SCD+S△SCB+S△SAD+SABCD =2×20+2×12+48=2

8、4+88 故選：B 點評： 本題給出四棱錐的三視圖，要我們根據(jù)題中數(shù)據(jù)計算四棱錐的全面積，著重考查了線面垂直的性質(zhì)、三視圖的理解和錐體表面積計算等知識，屬于基礎題． 　 6．（5分）（2013?湖南模擬）下列命題中正確的命題個數(shù)為（　　） ①存在一個實數(shù)x使不等式成立； ②已知a，b是實數(shù)，若ab=0，則a=0且b=0； ③是tanx=1的充要條件． 　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 考點： 命題的真假判斷與應用． 專題： 計算題． 分析： 對于①，由于的△＜0，從而恒成立，據(jù)此對①進行判斷；②若ab=0，則a=0或b=0；從而進

9、行判斷；③當時，得出 tan（2kπ+）=tan =1，“x=2kπ+（k∈Z）”是“tanx=1”成立的充分條件；舉反例x=時，tan =1．推出“x=2kπ+（k∈Z）”是“tanx=1”成立的不必要條件，據(jù)此進行判斷． 解答： 解：的△=9﹣26＜0，∴恒成立， 故①不正確； 對于②若ab=0，則a=0或b=0，故②不正確； ③tan（2kπ+）=tan =1，所以充分；但反之不成立，如 tan =1． 故是tanx=1的充分不必要條件．故③不正確． ∴命題中正確的命題個數(shù)為0． 故選A． 點評： 本題主要考查了命題的真假判斷與應用，必要條件、充分條件與充要條件的判斷

10、．充分條件與必要條件是中學數(shù)學最重要的數(shù)學概念之一，要理解好其中的概念． 　 7．（5分）（2013?湖南模擬）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn+Sm=Sn+m（m，n∈N*）且a1=6，那么a10=（　　） 　 A． 10 B． 60 C． 6 D． 54 考點： 數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和． 專題： 計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 取m=1代入已知等式，結合a1=S1=6得Sn+1=Sn+6，所以{Sn}構成等差數(shù)列．然后根據(jù)等差數(shù)列通項公式求出Sn=6n，即可算出a10的值． 解答： 解：取m=1，可得Sn+S1=S

11、n+1，結合a1=6=S1，得Sn+1=Sn+6， ∴{Sn}構成以S1=6為首項，公差d=6的等差數(shù)列 可得Sn=6+（n﹣1）×6=6n 因此，a10=S10﹣S9=60﹣54=6 故選：C 點評： 本題給出數(shù)列的前n項和滿足Sn+Sm=Sn+m，求第10項的值，著重考查了數(shù)列遞推關系的認識和等差數(shù)列的通項公式等知識，屬于基礎題． 　 8．（5分）（2009?陜西）若x，y滿足約束條件目標函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，則a的取值范圍是（　?。? 　 A． （﹣1，2） B． （﹣4，2） C． （﹣4，0] D． （﹣2，4） 考點：

12、 簡單線性規(guī)劃． 專題： 常規(guī)題型；壓軸題． 分析： 先根據(jù)約束條件畫出可行域，設z=ax+2y，再利用z的幾何意義求最值，只需利用直線之間的斜率間的關系，求出何時直線z=ax+2y過可行域內(nèi)的點（1，0）處取得最小值，從而得到a的取值范圍即可． 解答： 解：可行域為△ABC，如圖， 當a=0時，顯然成立． 當a＞0時，直線ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣＞kAC=﹣1，a＜2． 當a＜0時，k=﹣＜kAB=2 a＞﹣4． 綜合得﹣4＜a＜2， 故選B． 點評： 借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想、化歸思想．線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是

13、利用平移直線法確定． 　 9．（5分）（2013?湖南模擬）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足．若，則n（　?。? 　 A． 1 B． 4 C． 2 D． 3 考點： 函數(shù)與方程的綜合運用；函數(shù)的值域． 專題： 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應用． 分析： 采用換元法并結合二次函數(shù)的性質(zhì)，算出當x∈[0，2]時，[f（x）]min=﹣，此時x=．然后類似地算出當x∈[﹣2，0]、x∈[﹣4，﹣2]、x∈[﹣6，﹣4]時，f（x）在各個區(qū)間上的最小值，即可得到若f（x）在[2n，2n+2]上的最小值為﹣時，x∈[﹣6，﹣4]，由此即可得到本題的答案． 解答： 解：①∵當x

14、∈[0，2]時，f（x）=， ∴令2x=t，得f（x）=（t﹣1）（t﹣4）=g（t） 當且僅當t=時，[f（x）]min=g（）=﹣，此時x=∈[0.2]． ②當x∈[﹣2，0]時，f（x）=f（x+2）=， 類似①的方法，可得當x=∈[﹣2，0）時，[f（x）]min=﹣； ③當x∈[﹣4，﹣2]時，f（x）=f（x+2）= 類似①的方法，可得當x=∈[﹣4，﹣2）時，[f（x）]min=﹣； ④當x∈[﹣6，﹣4]時，f（x）=f（x+2）= 類似①的方法，可得當x=∈[﹣4，﹣2）時，[f（x）]min=﹣ 綜上所述，若f（x）在[2n，2n+2]上的最小值為﹣時，n

15、=3 故選：D 點評： 本題給出抽象函數(shù)f（x），在已知在x∈[0，2]時函數(shù)表達式且f（x+2）=2f（x）的情況下，求若f（x）在[2n，2n+2]上的最小值為﹣時n的值．著重考查了函數(shù)的對應法則、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)值域求法等知識，屬于中檔題． 　 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上． 10．（5分）（2013?湖南模擬）已知向量=（sinθ，cosθ），=（2，1），且∥，則tan2θ=　﹣?。? 考點： 二倍角的正切；平行向量與共線向量． 專題： 計算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；平面向量及應用． 分析：

16、 利用共線向量的坐標運算可求得tanθ=2，再利用二倍角的正切即可求得tan2θ． 解答： 解：∵=（sinθ，cosθ），=（2，1），且∥， ∴sinθ﹣2cosθ=0， ∴tanθ=2， ∴tan2θ==﹣． 故答案為：﹣． 點評： 本題考查共線向量的坐標運算，考查二倍角的正切，求得tanθ=2是關鍵，屬于中檔題． 　 11．（5分）（2013?湖南模擬）設極點與坐標原點重合，極軸與x軸正半軸重合，已知直線l的極坐標方程是：=a，a∈R圓，C的參數(shù)方程是為參數(shù)），若圓C關于直線l對稱，則a=　﹣2?。? 考點： 點的極坐標和直角坐標的互化；直線與圓的位置關系；參

17、數(shù)方程化成普通方程． 專題： 直線與圓． 分析： 將兩曲線方程化為直角坐標方程，根據(jù)題意可得圓心在直線上，圓心的坐標適合直線的方程，由此求得實數(shù)a的取值． 解答： 解：將兩曲線方程化為直角坐標坐標方程，得直線l直角坐標方程為：x﹣y+2a=0， C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4． 因為圓C關于直線l對稱，所以，圓心在直線上，圓心的坐標適合直線的方程， 即 ×﹣2+2a=0， 解得a=﹣2． 故答案為：﹣2． 點評： 本題考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，直線與圓的位置關系，屬于基礎題． 　 12．（5分）（2013?湖南模擬）設函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)，則g

18、（3）=　﹣26?。? 考點： 函數(shù)的值． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應用． 分析： 根據(jù)分段函數(shù)的奇偶性，則有f（3）=﹣f（﹣3），f（3）適合0＜x≤6時的解析式，f（﹣3）適合﹣6＜x＜0時的解析式，代入f（3）=﹣f（﹣3）后即可求得g（3）的值． 解答： 解：因為是奇函數(shù)， 所以當0＜x＜6時，﹣6＜﹣x＜6． 則f（3）=﹣f（﹣3）． 即g（3）﹣． 所以g（3）==﹣26． 故答案為﹣26． 點評： 本題考查了函數(shù)的值的求法，考查了分段函數(shù)的奇偶性的判斷及應用，是基礎題． 　 13．（5分）（2013?湖南模擬）執(zhí)行如圖所示程序框圖，輸出結果S=

19、　1?。? 考點： 程序框圖． 專題： 圖表型． 分析： 首先分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行，運行過程中各變量的值進行分析，不難得到輸出結果． 解答： 解：按照程序框圖依次執(zhí)行為n=5，S=1，T=1； S=1﹣（﹣1）1×1=2，T=3，n=2；S=3﹣（﹣1）2×2=1，T=5，n=3； S=5﹣（﹣1）3×1=6，T=7，n=4；S=7﹣（﹣1）4×6=1，T=9＞7，n=5，此時T=9＞7，退出循環(huán)，輸出S=1． 故答案為：1． 點評： 本題主要考查了循環(huán)結構的程序

20、框圖，一般都可以反復的進行運算直到滿足條件結束，本題中涉及到三個變量，注意每個變量的運行結果和執(zhí)行情況． 　 14．（5分）（2013?湖南模擬）設圓C：（x﹣3）2+（y﹣5）2=5，過圓心C作直線l交圓于A，B兩點，與y軸交于點P，若A恰好為線段BP的中點，則直線l的方程為　y=2x﹣1或y=2x﹣11　． 考點： 直線與圓相交的性質(zhì)；直線的一般式方程． 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 由題意可設直線L的方程為y﹣5=k（x﹣3），P（0，5﹣3k），設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，然后由方程的根與系數(shù)關系可得，x1+x2，x1x2，由A為PB的中點可得x

21、2=2x1，聯(lián)立可求x1，x2，進而可求k，即可求解直線方程 解答： 解：由題意可得，C（3，5），直線L的斜率存在 可設直線L的方程為y﹣5=k（x﹣3） 令x=0可得y=5﹣3k即P（0，5﹣3k），設A（x1，y1），B（x2，y2） 聯(lián)立消去y可得（1+k2）x2﹣6（1+k2）x+9k2+4=0 由方程的根與系數(shù)關系可得，x1+x2=6，x1x2=① ∵A為PB的中點 ∴即x2=2x1② 把②代入①可得x2=4，x1=2，x1x2==8 ∴k=±2 ∴直線l的方程為y﹣5=±2（x﹣3）即y=2x﹣1或y=﹣2x+11 故答案為：y=2x﹣1或y=﹣2x+11

22、 點評： 本題主要考查直線和圓的位置關系，方程的根與系數(shù)關系的應用，體現(xiàn)了方程的數(shù)學思想，屬于中檔題． 　 15．（5分）（2013?湖南模擬）已知函數(shù)f（x）的定義域為[﹣1，5]，部分對應值如下表，f（x）的導函數(shù)y=f'（x）的圖象如圖所示． x ﹣1 0 2 4 5 y 1 2 0 2 1 （1）f（x）的極小值為　0　； （2）若函數(shù)y=f（x）﹣a有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為　[1，2）?。? 考點： 函數(shù)在某點取得極值的條件；根的存在性及根的個數(shù)判斷． 專題： 綜合題；導數(shù)的綜合應用． 分析： （1）由導數(shù)圖象可知導函數(shù)的

23、符號，從而可判斷函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)的極值； （2）函數(shù)y=f（x）﹣a有4個零點，即函數(shù)y=f（x）與y=a的圖象有4個交點，求出函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極大值、極小值及端點處的函數(shù)值，結合圖象即可求得a的取值范圍； 解答： 解：（1）由導數(shù)圖象可知，當﹣1＜x＜0或2＜x＜4時，f'（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增， 當0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減， 所以當x=0和x=4時，函數(shù)取得極大值f（0）=2，f（4）=2， 當x=2時，函數(shù)取得極小值f（2）=0， 所以f（x）的極小值為0； （2）函數(shù)y=f（x）﹣a有4個零點，即函數(shù)y=f（x）與y=a的圖象有

24、4個交點， 由（1）知，函數(shù)取得極大值f（0）=2，f（4）=2，取得極小值f（2）=0， 又f（﹣1）=1，f（5）=1， 所以1≤a＜2， 故答案為：（1）0；（2）[1，2）． 點評： 本題考查導數(shù)知識的運用，考查導函數(shù)與原函數(shù)圖象之間的關系，正確運用導函數(shù)圖象是關鍵． 　 三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 16．（12分）（2013?湖南模擬）已知向量=，==?+1． （1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； （2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的倍；再把所得到的圖象向左平移

25、個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間上的值域． 考點： 平面向量數(shù)量積的運算；兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的定義域和值域；正弦函數(shù)的單調(diào)性；五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： （1）利用數(shù)量積、兩角和差的正弦公式即可把f（x）化為asin（ωx+φ）的形式，進而即可得出周期及其單調(diào)區(qū)間； （2）利用圖象變換的法則即可得到y(tǒng)=g（x），再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出值域． 解答： 解：（1）f（x）====2， ∴函數(shù)f（x）的最小正周期T==π， 由，解得（k∈Z）． ∴函數(shù)f（x）的單

26、調(diào)遞增區(qū)間為（k∈Z）； （2）函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的倍得到y(tǒng)=2， 再把所得到的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）=2=2cos4x， 當x∈時，， ∴當x=0時，g（x）max=2；當時，=﹣1． ∴函數(shù)y=g（x）在區(qū)間上的值域為[﹣1，2]． 點評： 熟練掌握數(shù)量積、兩角和差的正弦公式即可把f（x）化為asin（ωx+φ）的形式、三角函數(shù)周期及其單調(diào)性、圖象變換的法則是解題的關鍵． 　 17．（12分）（2013?湖南模擬）M公司從某大學招收畢業(yè)生，經(jīng)過綜合測試，錄用了14名男生和6名女生，這20名畢業(yè)生的測試成績

27、如莖葉圖所示（單位：分），公司規(guī)定：成績在180分以上者到“甲部門”工作；180分以下者到“乙部門”工作． （I）求男生成績的中位數(shù)及女生成績的平均值； （II）如果用分層抽樣的方法從“甲部門”人選和“乙部門”人選中共選取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“甲部門”人選的概率是多少？ 考點： 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： （Ⅰ）利用中位數(shù)、平均值的意義即可得出； （Ⅱ）利用分層抽樣及列舉法、古典概型的計算公式即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）男生共14人，中間兩個成績是175和176，它們的

28、平均數(shù)為175.5． 因此男生的成績的中位數(shù)是175.5． 女生的平均成績==181． （Ⅱ）用分層抽樣的方法從“甲部門”和“乙部門”20人中抽取5人，每個人被抽中的概率是=． 根據(jù)莖葉圖，“甲部門”人選有8人，“乙部門”人選有12人． 所以選中的“甲部門”人選有=2人，“乙部門”人選有=3人． 記選中的“甲部門”的人員為A1，A2，選中的“乙部門”人員為B，C，D．從這5人中選2人的所以可能情況為： （A1，A2），（A1，B），（A1，C），（A1，D），（A2，B），（A2，C），（A2，D），（B，C），（B，D），（C，D），共10種． 其中至少有1人是“甲部門”人選

29、的結果有7種． 因此，至少有1人是“甲部門”人選的概率是． 點評： 熟練掌握中位數(shù)、平均值的意義、分層抽樣及列舉法、古典概型的計算公式是解題的關鍵． 　 18．（12分）（2013?湖南模擬）如圖所示，已知△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=． （1）證明：平面ACD⊥平面ADE， （2）令AC=x，V（x） 表示三棱錐A﹣CBE的體積，當V（x） 取得最大值時，求直線AD與平面ACE所成角的正弦值． 考點： 用空間向量求直線與平面的夾角；平面與平面垂直的判定． 專題： 綜合題；空間位置關系

30、與距離． 分析： （1）欲證平面ACD⊥平面ADE，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面ADE內(nèi)一直線與平面ACD垂直，而根據(jù)BC⊥平面ADC，DE∥BC，可得DE⊥平面ADC； （2）先利用等體積法表示出三棱錐A﹣CBE的體積，利用基本不等式求最值，再建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式，即可求得直線AD與平面ACE所成角的正弦值． 解答： （1）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形，∴CD∥BE，BC∥DE ∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC ∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC ∵DC∩AC=C，∴BC⊥平面ADC． ∵DE∥BC， ∴DE⊥平面ADC 又∵

31、DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE； （2）∵DC⊥平面ABC，CD∥BE，∴BE⊥平面ABC ∵AB?平面ABC，∴BE⊥AB， 在Rt△ABE中，由tan∠EAB==，AB=2得BE= 在Rt△ABC中，∵BC==（0＜x＜2） ∴S△ABC=AC?BC= ∴V（x）=VC﹣ABE=VE﹣ABC=S△ABC?BE==（0＜x＜2） ∵0＜x＜2，∴≤=2 ∴V（x）≤，當且僅當x2=4﹣x2，即x=時，V（x）取得最大值，AC= 這時△ABC為等腰直角三角形 建立如圖所示的坐標系， C（0，0，0），A（，0，0），E（0，，），D（0，0，），=（﹣，0

32、，） 設平面AEC的法向量，則，∴，∴可取=（0，﹣，） 設直線AD與平面ACE所成角為θ，則sinθ=cos＜＞=== 故直線AD與平面ACE所成角的正弦值為 點評： 本題主要考查空間中的線面關系，考查面面垂直的判定及簡單組合體體積的計算，考查線面角，考查向量知識的運用，屬于中檔題． 　 19．（13分）（2013?湖南模擬）大學生自主創(chuàng)業(yè)已成為當代潮流．長江學院大三學生夏某今年一月初向銀行貸款兩萬元作開店資金，全部用作批發(fā)某種商品，銀行貸款的年利率為6%，約定一年 后一次還清貸款，已知夏某每月月底獲得的利潤是該月月初投人資金的15%，每月月底需要 交納個人所得稅為

33、該月所獲利潤的20%，當月房租等其他開支1500元，余款作為資金全 部投入批發(fā)該商品再經(jīng)營，如此繼續(xù)，假定每月月底該商品能全部賣出． （1）設夏某第n個月月底余an元，第n+l個月月底余an+1元，寫出a1的值并建立an+1與an的遞推關系； （2）預計年底夏某還清銀行貸款后的純收入． （參考數(shù)據(jù)：1.1211≈3.48，1.1212≈3.90，0.1211≈7.43×10﹣11，0.1212≈8.92×10﹣12） 考點： 數(shù)列的應用． 專題： 應用題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （1）根據(jù)夏某每月月底獲得的利潤是該月月初投人資金的15%，每月月底需要交納個人所

34、得稅為該月所獲利潤的20%，當月房租等其他開支1500元，可求a1的值并建立an+1與an的遞推關系； （2）構造{an﹣12500}是以20900為首項，1.12為公比的等比數(shù)列，即可求得結論． 解答： 解：（1）由題意a1=20000（1+15%）﹣20000×15%×20%﹣1500=20900（元）…（2分） an+1=an（1+15%）﹣an×15%×20%﹣1500=1.12an﹣1500（n∈N+，1≤n≤11）…（6分） （2）令an+1+λ=1.12（an+λ），則an+1=1.12an+0.12λ， ∵an+1=1.12an﹣1500，∴對比得λ=﹣12500…

35、（8分） ∴an+1﹣12500=1.12（an﹣12500）， ∴{an﹣12500}是以20900為首項，1.12為公比的等比數(shù)列 ∴an﹣12500=（20900﹣12500）×1.12n﹣1，即an=8400×1.12n﹣1+12500 ∴a12=8400×1.1211+12500≈41732（元） …（11分） 又年底償還銀行本利總計20000（1+6%）=21200（元）…（12分） 故該生還清銀行貸款后純收入41732﹣21200=20532（元） …（13分） 點評： 本題考查數(shù)列的應用，解題時要注意認真審題，本題解題的關鍵是構造{an﹣12500

36、}是以20900為首項，1.12為公比的等比數(shù)列． 　 20．（13分）（2013?湖南模擬）設橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，上頂點為A，離心率為，在x軸負半軸上有一點B，且． （1）若過A、B、F2三點的圓恰好與直線相切，求橢圓C的方程； （2）在（1）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，說明理由． 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程． 專題： 綜合題． 分析： （1）根據(jù)，得，所以|F1F2|=a，利用，

37、可得F1為BF2的中點，從而可得△ABF2的外接圓圓心為，半徑r=|F1A|=a，根據(jù)過A、B、F2三點的圓與直線相切，利用點到直線的距離公式，即可確定橢圓方程； （2）由（1）知F2（1，0），設l的方程為：y=k（x﹣1）與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，結合菱形對角線垂直，所以，可得m，k之間的關系，從而可得結論． 解答： 解：（1）由題意，得，所以|F1F2|=a ∵|AF1|=|AF2|=a，，∴F1為BF2的中點， ∴|AF1|=|AF2|=|F1F2|=a ∴△ABF2的外接圓圓心為，半徑r=|F1A|=a…（3分） 又過A、B、F2三點的圓與直線相切，所以 ∴a=2

38、，∴c=1，b2=a2﹣c2=3． ∴所求橢圓方程為…（6分） （2）由（1）知F2（1，0），設l的方程為：y=k（x﹣1） 將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0 設M（x1，y1），N（x2，y2），則…（8分） 假設存在點P（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形， 由于菱形對角線垂直，所以 又 又MN的方向向量是（1，k），故k（y1+y2）+x1+x2﹣2m=0，則k2（x1+x2﹣2）+x1+x2﹣2m=0， 即 由已知條件知k≠0且k∈R， ∴…（11分） ∴， 故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是…

39、（13分） 點評： 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，確定橢圓方程，正確運用韋達定理是關鍵． 　 21．（13分）（2013?湖南模擬）已知的圖象在點（1，f（1）處的切線與直線y=3x+1平行． （1）求a與b滿足的關系式； （2）若a＞0且f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍． 考點： 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用． 專題： 導數(shù)的綜合應用． 分析： （1）根據(jù)f（x）在點（1，f（1）處的切線與直線y=3x+1平行建立等式關系：f'（1）=3，即可求出a與b的

40、關系式； （2）先構造函數(shù)g（x）=f（x）﹣3lnx=ax++3﹣2a﹣3lnx，x∈[1，+∞），利用導數(shù)研究g（x）的最小值，討論a的范圍，分別進行求解即可求出a的取值范圍． 解答： 解：（1）f′（x）=a﹣， 由于的圖象在點（1，f（1）處的切線與直線y=3x+1平行， 則有f′（1）=a﹣b=3，即b=a﹣3， 此時，f（1）=a+a﹣3+3﹣2a=0≠4， （2）由f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立，得 ax++3﹣2a﹣3lnx≥0在[1，+∞）上恒成立， 令g（x）=ax++3﹣2a﹣3lnx，x∈[1，+∞） 則g（l）=0，g′（x）=a﹣﹣=．

41、 （i）當a＞，≤l 則g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)， 所以g（x）≥g（l）=0，f（x）＞3lnx，故f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立． （ii）a=時，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)， 所以g（x）≥g（l）=0，f（x）＞3lnx，故f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立． （iii）當0＜a＜，＞l， 則x∈（1，）時，g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)， x∈（，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)， 所以存在x0∈（1，），使得g（x0）＜g（l）=0，即存在x0∈（1，），使得f（x0）＞3lnx0不成立， 綜上所述，所求a的取值范圍為[，+∞）． 點評： 本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及函數(shù)恒成立問題等基礎題知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，分類討論思想，屬于中檔題．