【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 10.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課時檢測 理 （含解析）北師大版

10.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 一、選擇題 1．如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有(　　) A B C D A．72種 B．48種 C．24種 D．12種 解析 先分兩類：一是四種顏色都用，這時A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法， D有1種涂法，共有4×3×2×1＝24種涂法；二是用三種顏色，這時A，B，C的涂法有4×3×2＝24種，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72種． 答案 A 2．如圖，用6種不同的顏色把 圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域 不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有(　　)． A．400種 B．460種 C．480種 D．496種 解析　從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D、A同色1種，D、A不同色3種，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(種)，故選C. 答案　C 3.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有(　 　)． A．6種 B．12種 C．24種 D．30種 解析 分步完成.首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門，有4種方法，其次甲從剩下的3門課程中任選1門，有3種方法，最后乙從剩下的2門課程中任選1門，有2種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有4×3×2=24（種），故選C 答案 C 4．有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有(　　) A．8種 B．9種 C．10種 D．11種 解析 分四步完成，共有3×3×1×1＝9種． 答案 B 5．如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是(　　)． A．60 B．48 C．36 D．24 解析　長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”有6×6＝36個，另含4個頂點(diǎn)的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”有6×2＝12個，共36＋12＝48個，故選B. 答案　B 6．高三年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參加社會實(shí)踐，但去何工廠可自由選擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的分配方案有(　　)． A．16種 B．18種 C．37種 D．48種 解析　三個班去四個工廠不同的分配方案共43種，甲工廠沒有班級去的分配方案共33種，因此滿足條件的不同的分配方案共有43－33＝37(種)． 答案　C 7．4位同學(xué)從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法有(　　)． A．12種 B．24種 C．30種 D．36種 解析　分三步，第一步先從4位同學(xué)中選2人選修課程甲．共有C種不同選法，第二步給第3位同學(xué)選課程，有2種選法．第三步給第4位同學(xué)選課程，也有2種不同選法．故共有C×2×2＝24(種)． 答案　B 二、填空題 8．將數(shù)字1,2,3,4,5,6按第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)，第三行3個數(shù)的形式隨機(jī)排列，設(shè)Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的數(shù)，則滿足N1＜N2＜N3的所有排列的個數(shù)是________．(用數(shù)字作答) 解析　由已知數(shù)字6一定在第三行，第三行的排法種數(shù)為AA＝60；剩余的三個數(shù)字中最大的一定排在第二行，第二 行的排法種數(shù)為AA＝4，由分步計(jì)數(shù)原理滿足條件的排列個數(shù)是240. 答案　240 9.數(shù)字1,2,3，…，9這九個數(shù)字填寫在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右依次增大，每列從上到下也依次增大，當(dāng)數(shù)字4固定在中心位置時，則所有填寫空格的方法共有________種． 4 解析　必有1、4、9在主對角線上，2、3只有兩種不同的填法，對于它們的每一種填法，5只有兩種填法．對于5的每一種填法，6、7、8只有3種不同的填法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有22×3＝12種填法． 答案　12 10．將數(shù)字1,2,3,4,5,6排成一列，記第i個數(shù)為ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，則不同的排列方法有________種(用數(shù)字作答)． 解析 分兩步：(1)先排a1，a3，a5，若a1＝2，有2種排法；若a1＝3，有2種排法；若a1＝4，有1種排法，共有5種排法；(2)再排a2，a4，a6，共有A＝6種排法，故不同的排列方法有5×6＝30種． 答案 30 11．用紅、黃、藍(lán)三種顏色之一去涂圖中標(biāo)號為1,2，…，9的9個小正方形，使得任意相鄰(有公共邊的)小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號為1、5、9的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有________種. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 分步求解．只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可，若3與1,5,9同色，則2,6的涂法為2×2，若3與1,5,9不同色，則3有兩種涂法，2,6只有一種涂法，同理涂4,7,8，即涂法總數(shù)是C(2×2＋C×1)×(2×2＋C×1)＝3×6×6＝108. 答案 108 12．給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色．當(dāng)n≤4時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示： 由此推斷，當(dāng)n＝6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有__________種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有________種．(結(jié)果用數(shù)值表示) 答案 21；43 三、解答題 13．如右圖所示三組平 行線分別有m、n、k條，在此圖形中 (1)共有多少個三角形？ (2)共有多少個平行四邊形？ 解析　(1)每個三角形與從三組平行線中各取一條的取法是一一對應(yīng)的，由分步計(jì)數(shù)原理知共可構(gòu)成m·n·k個三角形． (2)每個平行四邊形與從兩組平行線中各取兩條的取法是一一對應(yīng)的，由分類和分步計(jì)數(shù)原理知共可構(gòu)成CC＋CC＋CC個平行四邊形． 14. 編號為A，B，C，D，E的五個小球放在如圖所示的五個盒子里，要求每個盒子只能放一個小球，且A球不能放在1,2號，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，求不同的放法有多少種？ 解析 根據(jù)A球所在位置分三類： (1)若A球放在3號盒子內(nèi)，則B球只能放在4號盒子內(nèi)，余下的三個盒子放球C、D、E，則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，3×2×1＝6種不同的放法； (2)若A球放在5號盒子內(nèi)，則B球只能放在4號盒子內(nèi)，余下的三個盒子放球C、D、E，則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，3×2×1＝6種不同的放法； (3)若A球放在4號盒子內(nèi)，則B球可以放在2號、3號、5號盒子中的任何一個，余下的三個盒子放球C、D、E有A＝6種不同的放法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，3×3×2×1＝18種不同方法． 綜上所述，由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30種． 15．現(xiàn)安排一份5天的工作值班表，每天有一個人值班，共有5個人，每個人都可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準(zhǔn)由同一個人值班，問此值班表共有多少種不同的排法？ 解析　可將星期一、二、三、四、五分給5個人，相鄰的數(shù)字不分給同一個人． 星期一：可分給5人中的任何一人，有5種分法； 星期二：可分給剩余4人中的任何一人，有4種分法；星期三：可分給除去分到星期二的剩余4人中的任何一人，有4種分法； 同理星期四和星期五都有4種不同的分法，由分步計(jì)數(shù)原理共有5×4×4×4×4＝1 280種不同的排法． 16．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是從A到B的映射． (1)若B中每一元素都有原象，這樣不同的f有多少個？ (2)若B中的元素0必?zé)o原象，這樣的f有多少個？ (3)若f滿足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，這樣的f又有多少個？ 解析　(1)顯然對應(yīng)是一一對應(yīng)的，即為a1找象有4種方法，a2找象有3種方法，a3找象有2種方法，a4找象有1種方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(個)． (2)0必?zé)o原象，1,2,3有無原象不限，所以為A中每一元素找象時都有3種方法．所以不同的f共有34＝81(個)． (3)分為如下四類： 第一類，A中每一元素都與1對應(yīng)，有1種方法； 第二類，A中有兩個元素對應(yīng)1，一個元素對應(yīng)2，另一個元素與0對應(yīng)，有C·C＝12種方法； 第三類，A中有兩個元素對應(yīng)2，另兩個元素對應(yīng)0，有C·C＝6種方法； 第四類，A中有一個元素對應(yīng)1，一個元素對應(yīng)3，另兩個元素與0對應(yīng)，有C·C＝12種方法． 所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(個)． 5