【步步高】2014屆高三數(shù)學一輪 10.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課時檢測 理 (含解析)北師大版

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1、 10.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 一、選擇題 1.如圖,用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A,B,C,D中,要求相鄰的矩形涂色不同,則不同的涂法有(  ) A B C D A.72種 B.48種 C.24種 D.12種 解析 先分兩類:一是四種顏色都用,這時A有4種涂法,B有3種涂法,C有2種涂法, D有1種涂法,共有4×3×2×1=24種涂法;二是用三種顏色,這時A,B,C的涂法有4×3×2=24種,D只要不與C同色

2、即可,故D有2種涂法.故不同的涂法共有24+24×2=72種. 答案 A 2.如圖,用6種不同的顏色把 圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開,若相鄰區(qū)域 不能涂同一種顏色,則不同的涂法共有(  ). A.400種 B.460種 C.480種 D.496種 解析 從A開始,有6種方法,B有5種,C有4種,D、A同色1種,D、A不同色3種,∴不同涂法有6×5×4×(1+3)=480(種),故選C. 答案 C 3.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門,則甲、乙所選的課程中恰有1門

3、相同的選法有(   ). A.6種 B.12種 C.24種 D.30種 解析 分步完成.首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門,有4種方法,其次甲從剩下的3門課程中任選1門,有3種方法,最后乙從剩下的2門課程中任選1門,有2種方法,于是,甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有4×3×2=24(種),故選C 答案 C 4.有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學,在數(shù)學檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考,則監(jiān)考的方法有(  ) A.8種 B.9種 C.10種

4、 D.11種 解析 分四步完成,共有3×3×1×1=9種. 答案 B 5.如果一條直線與一個平面平行,那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”.在一個長方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數(shù)是(  ). A.60 B.48 C.36 D.24 解析 長方體的6個表面構成的“平行線面組”有6×6=36個,另含4個頂點的6個面(非表面)構成的“平行線面組”有6×2=12個,共36+12=48個,故選B. 答案 B 6.高三年級的三個班去甲、乙、丙、

5、丁四個工廠參加社會實踐,但去何工廠可自由選擇,甲工廠必須有班級要去,則不同的分配方案有(  ). A.16種 B.18種 C.37種 D.48種 解析 三個班去四個工廠不同的分配方案共43種,甲工廠沒有班級去的分配方案共33種,因此滿足條件的不同的分配方案共有43-33=37(種). 答案 C 7.4位同學從甲、乙、丙3門課程中選修1門,則恰有2人選修課程甲的不同選法有(  ). A.12種 B.24種 C.30種 D.36種 解析 分三步,第一步先從4位同學中選2人選修課程

6、甲.共有C種不同選法,第二步給第3位同學選課程,有2種選法.第三步給第4位同學選課程,也有2種不同選法.故共有C×2×2=24(種). 答案 B 二、填空題 8.將數(shù)字1,2,3,4,5,6按第一行1個數(shù),第二行2個數(shù),第三行3個數(shù)的形式隨機排列,設Ni(i=1,2,3)表示第i行中最大的數(shù),則滿足N1<N2<N3的所有排列的個數(shù)是________.(用數(shù)字作答) 解析 由已知數(shù)字6一定在第三行,第三行的排法種數(shù)為AA=60;剩余的三個數(shù)字中最大的一定排在第二行,第二 行的排法種數(shù)為AA=4,由分步計數(shù)原理滿足條件的排列個數(shù)是240. 答案 240 9.數(shù)字1,2,3,…,9這九

7、個數(shù)字填寫在如圖的9個空格中,要求每一行從左到右依次增大,每列從上到下也依次增大,當數(shù)字4固定在中心位置時,則所有填寫空格的方法共有________種. 4 解析 必有1、4、9在主對角線上,2、3只有兩種不同的填法,對于它們的每一種填法,5只有兩種填法.對于5的每一種填法,6、7、8只有3種不同的填法,由分步計數(shù)原理知共有22×3=12種填法. 答案 12 10.將數(shù)字1,2,3,4,5,6排成一列,記第i個數(shù)為ai(i=1,2,…,6),若a1≠1,a3≠3,a5≠5,a1<a3<a5,則不同的排列方法有________種(用數(shù)字作答). 解析 分

8、兩步:(1)先排a1,a3,a5,若a1=2,有2種排法;若a1=3,有2種排法;若a1=4,有1種排法,共有5種排法;(2)再排a2,a4,a6,共有A=6種排法,故不同的排列方法有5×6=30種. 答案 30 11.用紅、黃、藍三種顏色之一去涂圖中標號為1,2,…,9的9個小正方形,使得任意相鄰(有公共邊的)小正方形所涂顏色都不相同,且標號為1、5、9的小正方形涂相同的顏色,則符合條件的所有涂法共有________種. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 分步求解.只要在涂好1,5,9后,涂2,3,6即可,若3與1,5,9同色,則2,6的涂法為2×2,若3與1

9、,5,9不同色,則3有兩種涂法,2,6只有一種涂法,同理涂4,7,8,即涂法總數(shù)是C(2×2+C×1)×(2×2+C×1)=3×6×6=108. 答案 108 12.給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當n≤4時,在所有不同的著色方案中,黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示: 由此推斷,當n=6時,黑色正方形互不相鄰的著色方案共有__________種,至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有________種.(結果用數(shù)值表示) 答案 21;43 三、解答題 13.如右圖所示三組平 行線分別有m、n、k條,在此圖形中 (1)共有多少個三角形? (2)共有多少個平行四

10、邊形? 解析 (1)每個三角形與從三組平行線中各取一條的取法是一一對應的,由分步計數(shù)原理知共可構成m·n·k個三角形. (2)每個平行四邊形與從兩組平行線中各取兩條的取法是一一對應的,由分類和分步計數(shù)原理知共可構成CC+CC+CC個平行四邊形. 14. 編號為A,B,C,D,E的五個小球放在如圖所示的五個盒子里,要求每個盒子只能放一個小球,且A球不能放在1,2號,B球必須放在與A球相鄰的盒子中,求不同的放法有多少種? 解析 根據(jù)A球所在位置分三類: (1)若A球放在3號盒子內,則B球只能放在4號盒子內,余下的三個盒子放球C、D、E,則根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得,3×2×1=6種不同的

11、放法; (2)若A球放在5號盒子內,則B球只能放在4號盒子內,余下的三個盒子放球C、D、E,則根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得,3×2×1=6種不同的放法; (3)若A球放在4號盒子內,則B球可以放在2號、3號、5號盒子中的任何一個,余下的三個盒子放球C、D、E有A=6種不同的放法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得,3×3×2×1=18種不同方法. 綜上所述,由分類加法計數(shù)原理得不同的放法共有6+6+18=30種. 15.現(xiàn)安排一份5天的工作值班表,每天有一個人值班,共有5個人,每個人都可以值多天班或不值班,但相鄰兩天不準由同一個人值班,問此值班表共有多少種不同的排法? 解析 可將星期一、二、三、四、五

12、分給5個人,相鄰的數(shù)字不分給同一個人. 星期一:可分給5人中的任何一人,有5種分法; 星期二:可分給剩余4人中的任何一人,有4種分法;星期三:可分給除去分到星期二的剩余4人中的任何一人,有4種分法; 同理星期四和星期五都有4種不同的分法,由分步計數(shù)原理共有5×4×4×4×4=1 280種不同的排法. 16.已知集合A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f是從A到B的映射. (1)若B中每一元素都有原象,這樣不同的f有多少個? (2)若B中的元素0必無原象,這樣的f有多少個? (3)若f滿足f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,這樣的f又有多少個?

13、 解析 (1)顯然對應是一一對應的,即為a1找象有4種方法,a2找象有3種方法,a3找象有2種方法,a4找象有1種方法,所以不同的f共有4×3×2×1=24(個). (2)0必無原象,1,2,3有無原象不限,所以為A中每一元素找象時都有3種方法.所以不同的f共有34=81(個). (3)分為如下四類: 第一類,A中每一元素都與1對應,有1種方法; 第二類,A中有兩個元素對應1,一個元素對應2,另一個元素與0對應,有C·C=12種方法; 第三類,A中有兩個元素對應2,另兩個元素對應0,有C·C=6種方法; 第四類,A中有一個元素對應1,一個元素對應3,另兩個元素與0對應,有C·C=12種方法. 所以不同的f共有1+12+6+12=31(個). 5

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