【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 13.4 數(shù)學(xué)歸納法課時檢測 理 (含解析)北師大版

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1、 13.4 數(shù)學(xué)歸納法 一、選擇題 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”,在第二步時,正確的證法是(  ). A.假設(shè)n=k(k∈N+),證明n=k+1命題成立 B.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+1命題成立 C.假設(shè)n=2k+1(k∈N+),證明n=k+1命題成立 D.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+2命題成立 解析 A、B、C中,k+1不一定表示奇數(shù),只有D中k為奇數(shù),k+2為奇數(shù). 答案 D 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2+1 對于n≥n0 的正整數(shù) n 都成立”時,第一步證明中的起始值 n0 應(yīng)取(  )

2、 A.2 B.3 C.5 D.6 解析 分別令 n0=2,3,5, 依次驗證即可. 答案 C 3.對于不等式

3、=k+1的推理不正確 解析 在n=k+1時,沒有應(yīng)用n=k時的假設(shè),不是數(shù)學(xué)歸納法. 答案 D 4.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*)”時,在驗證n=1成立時,左邊應(yīng)該是(  ) A 1        B 1+a C 1+a+a2 D 1+a+a2+a3 解析當(dāng)n=1時,左邊=1+a+a2,故選C. 答案 C 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2=,則當(dāng)n=k+1時左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上(  ). A.k2+1 B.(k+

4、1)2 C. D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2 解析 ∵當(dāng)n=k時,左側(cè)=1+2+3+…+k2, 當(dāng)n=k+1時, 左側(cè)=1+2+3+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2, ∴當(dāng)n=k+1時,左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上 (k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2. 答案 D 6.下列代數(shù)式(其中k∈N*)能被9整除的是(  ) A.6+6·7k B.2+7k-1 C.2(2+7k+1) D.3(2+7k) 解析 (1)當(dāng)k=1時,顯然只有3(

5、2+7k)能被9整除. (2)假設(shè)當(dāng)k=n(n∈N*)時,命題成立,即3(2+7n)能被9整除, 那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36. 這就是說,k=n+1時命題也成立. 由(1)(2)可知,命題對任何k∈N*都成立. 答案 D 7.用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+-+…+-=++…+,則當(dāng)n=k+1時,左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上(  ). A. B.- C.- D.+ 解析 ∵當(dāng)n=k時,左側(cè)=1-+-+…+-,當(dāng)n=k+1時, 左側(cè)=1-+-+…+-+-. 答案 C

6、 二、填空題 8.對大于或等于2的自然數(shù) m的n 次方冪有如下分解方式: 22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7;23=3+5,33=7+9+11, 43=13+15+17+19. 根據(jù)上述分解規(guī)律,若n2=1+3+5+…+19, m3(m∈N*)的分解中最小的數(shù)是21,則m+n的值為________. 解析 依題意得 n2==100, ∴n=10. 易知 m3=21m+×2, 整理得(m-5)(m+4)=0, 又 m∈N*, 所以 m=5, 所以m+n=15. 答案 15 9.用數(shù)學(xué)歸納法證明: ++…+=;當(dāng)推證當(dāng)n=k+1等式也成立時,用上歸納假設(shè)后

7、需要證明的等式是     . 解析 當(dāng)n=k+1時, ++…++ =+ 故只需證明+ =即可. 答案 += 10.如下圖,在楊輝三角形中,從上往下數(shù)共有n(n∈N*)行,在這些數(shù)中非1的數(shù)字之和是________________. 1 1  1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 … 解析 所有數(shù)字之和Sn=20+2+22+…+2n-1=2n-1, 除掉1的和2n-1-(2n-1)=2n-2n. 答案 2n-2n 11.在數(shù)列{an}中,a1=且Sn=n(2n-1)an,通過計算a2,a3,a4,猜想an的表達式是________

8、. 解析 當(dāng)n=2時,a1+a2=6a2,即a2=a1=; 當(dāng)n=3時,a1+a2+a3=15a3, 即a3=(a1+a2)=; 當(dāng)n=4時,a1+a2+a3+a4=28a4, 即a4=(a1+a2+a3)=. ∴a1==,a2==,a3==,a4=, 故猜想an=. 答案 an= 12.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”,當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n=2k-1(k∈N*)命題為真時,進而需證n=________時,命題亦真. 解析 ∵n為正奇數(shù),假設(shè)n=2k-1成立后,需證明的應(yīng)為n=2k+1時成立. 答案 2k+1 三、解答題 13.用數(shù)學(xué)歸納法證明下

9、面的等式 12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1. 證明 (1)當(dāng)n=1時,左邊=12=1, 右邊=(-1)0·=1, ∴原等式成立. (2)假設(shè)n=k(k∈N*,k≥1)時,等式成立, 即有12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2 =(-1)k-1. 那么,當(dāng)n=k+1時,則有 12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2+(-1)k(k+1)2 =(-1)k-1+(-1)k·(k+1)2 =(-1)k·[-k+2(k+1)] =(-1)k, ∴n=k+1時,等式也成立, 由(1)(2)得對任意n∈N*有 12-22+32-

10、42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1. 14.已知數(shù)列{an}中,a1=a(a>2),對一切n∈N*,an>0,an+1=. 求證:an>2且an+1<an. 證明 法一 ∵an+1=>0, ∴an>1, ∴an-2=-2=≥0, ∴an≥2.若存在ak=2,則ak-1=2, 由此可推出ak-2=2,…,a1=2, 與a1=a>2矛盾,故an>2. ∵an+1-an=<0, ∴an+1<an. 法二 (用數(shù)學(xué)歸納法證明an>2) ①當(dāng)n=1時,a1=a>2,故命題an>2成立; ②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N*)時命題成立, 即ak>2,那么,ak+1-2=

11、-2=>0. 所以ak+1>2,即n=k+1時命題也成立. 綜上所述,命題an>2對一切正整數(shù)成立. an+1<an的證明同上. 15.已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=c-. (1)設(shè)c=,bn=,求數(shù)列{bn}的通項公式; (2)求使不等式an<an+1<3成立的c的取值范圍. 解析 (1)an+1-2=--2=,==+2, 即bn+1=4bn+2. bn+1+=4,又a1=1,故b1==-1, 所以是首項為-,公比為4的等比數(shù)列, bn+=-×4n-1,bn=--. (2)a1=1,a2=c-1,由a2>a1,得c>2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)c>2時,an

12、<an+1. (ⅰ)當(dāng)n=1時,a2=c->a1,命題成立; (ⅱ)設(shè)當(dāng)n=k(k≥1且k∈N*)時,ak<ak+1, 則當(dāng)n=k+1時, ak+2=c->c-=ak+1. 故由(ⅰ)(ⅱ)知當(dāng)c>2時,an<an+1. 當(dāng)c>2時,因為c=an+1+>an+, 所以a-can+1<0有解, 所以<an<,令α=, 當(dāng)2<c≤時,an<α≤3. 當(dāng)c>時,α>3,且1≤an<α,于是α-an+1=(α-an)<(α-an)<(α-an-1)<…(α-1). 當(dāng)n>log3時,α-an+1<α-3,an+1>3,與已知矛盾. 因此c>不符合要求. 所以c的取值范圍是.

13、 16.是否存在常數(shù)a、b、c使等式12+22+32+…+n2+(n-1)2+…+22+12=an(bn2+c)對于一切n∈N*都成立,若存在,求出a、b、c并證明;若不存在,試說明理由. 解析 假設(shè)存在a、b、c使12+22+32+…+n2+(n-1)2+…+22+12=an(bn2+c)對于一切n∈N*都成立. 當(dāng)n=1時,a(b+c)=1; 當(dāng)n=2時,2a(4b+c)=6; 當(dāng)n=3時,3a(9b+c)=19. 解方程組 解得 證明如下: ①當(dāng)n=1時,由以上知存在常數(shù)a,b,c使等式成立. ②假設(shè)n=k(k∈N*)時等式成立, 即12+22+32+…+k2+(k-1)2+…+22+12=k(2k2+1); 當(dāng)n=k+1時, 12+22+32+…+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12 =k(2k2+1)+(k+1)2+k2 =k(2k2+3k+1)+(k+1)2 =k(2k+1)(k+1)+(k+1)2 =(k+1)(2k2+4k+3) =(k+1)[2(k+1)2+1]. 即n=k+1時,等式成立. 因此存在a=,b=2,c=1使等式對一切n∈N*都成立. 7

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