【步步高】2014屆高三數(shù)學一輪 4.5 兩角和與差的正弦、余弦、正切課時檢測 理 （含解析）北師大版

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1、 4.5 兩角和與差的正弦、余弦、正切 一、選擇題 1.的值等于（ ） A. B. C. D. 解析 原式=，故選A. 答案 A 2.已知銳角α滿足cos 2α＝cos ，則sin 2α等于(　　) A.　　　　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：由cos 2α＝cos 得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α＋sin α) 由α為銳角知cos α＋

2、sin α≠0. ∴cos α－sin α＝，平方得1－sin 2α＝. ∴sin 2α＝. 答案：A 3．已知x∈，cos x＝，則tan 2x等于(　　)． A. B．－ C. D．－ 解析　∵x∈，cos x＝.∴sin x＝－， ∴tan x＝－.∴tan 2x＝＝＝－. 答案　D 4．已知α，β都是銳角，若sin α＝，sin β＝，則α＋β＝ (　　)． A. B. C.和 D．－和－ 解析　

3、由α，β都為銳角，所以cos α＝＝，cos β＝＝.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，所以α＋β＝. 答案　A 5．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，則cos＝(　　)． A. B．－ C. D．－ 解析　對于cos ＝cos＝ coscos＋sinsin， 而＋α∈，－∈， 因此sin＝，sin＝， 則cos＝×＋×＝. 答案　C 6．已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－，則tan2α的值為(　　) A.

4、 B．－ C．－ D．－ 解析 由sin(π＋α)＝－，得sinα＝，又α是第二象限角，故cosα＝－＝－，∴tanα＝－，tan2α＝＝＝－. 答案 C 7．已知cos＋sin α＝，則sin的值是(　　)． A．－ B. C．－ D. 解析　cos＋sin α＝?sin α＋cos α ＝?sin＝， 所以sin＝－sin＝－. 答案　C 二、填空題 8．已知cos ＝，α∈，則cos α＝________. 解析：∵α∈，∴α＋∈， ∴sin

5、＝. 故cos α＝cos [－] ＝cos cos＋sin sin ＝×＋×＝. 答案： 9．化簡[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·的結(jié)果是________． 解析 原式＝2sin50°＋sin10°··sin80° ＝·cos10° ＝·cos10° ＝2(sin50°cos10°＋sin10°cos50°)＝2sin60°＝. 答案 10．已知tan＝3，則sin 2θ－2cos2θ的值為________． 解析　法一　∵tan＝3， ∴＝3， 解得tan θ＝. ∵sin 2θ－2cos2 θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝－

6、－1 ＝－－1 ＝－－1＝－. 法二　sin 2θ－2cos2 θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝－cos－sin－1 ＝－－－1 ＝－－－1＝－. 答案　－ 11．函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________． 解析　∵f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin，∴f(x)min＝1－. 答案　1－ 12．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，則tan αtan β＝________. 解析　由已知，得cos αcos β－sin αsin β＝，cos αcos β＋sin αsin β＝，則有co

7、s αcos β＝，sin αsin β＝，＝，即tan αtan β＝. 答案　 三、解答題 13．已知sin＝，且x∈，求. 解析　∵x∈，∴＋x∈， ∴cos＝－， ∴tan＝－， ∴＝＝－. 14．設(shè)函數(shù)f(x)＝sinωx＋sin，x∈R. (1)若ω＝，求f(x)的最大值及相應(yīng)的x的集合； (2)若x＝是f(x)的一個零點，且0<ω<10，求ω的值和f(x)的最小正周期． 解析 (1)f(x)＝sinωx＋sin＝sinωx－cosωx， 當ω＝時，f(x)＝sin－cos＝sin， 而－1≤sin≤1，所以f(x)的最大值為， 此時，－＝

8、＋2kπ，k∈Z，即x＝＋4kπ，k∈Z， 相應(yīng)的x的集合為. (2)因為f(x)＝sin， 所以，x＝是f(x)的一個零點?f＝sin＝0， 即－＝kπ，k∈Z，整理，得ω＝8k＋2， 又0<ω<10，所以0<8k＋2<10，－

9、 ＝2cos B(1＋sin B)＋cos 2B－2cos B ＝2cos Bsin B＋cos 2B ＝sin 2B＋cos 2B＝2sin. ∵f(B)＝2，∴2sin＝2，＜2B＋＜π， ∴2B＋＝.∴B＝. (2)f(B)－m＞2恒成立，即2sin＞2＋m恒成立． ∵0＜B＜π，∴2sin∈[－2,2]，∴2＋m＜－2. ∴m＜－4. 16． (1)①證明兩角和的余弦公式 C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C(α＋β)推導兩角和的正弦公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝s

10、in αcos β＋cosαsin β. (2)已知cos α＝－，α∈，tan β＝－，β∈， 求cos(α＋β)． 解析 (1)證明?、偃鐖D，在直角坐標系xOy內(nèi)作單位圓O，并作出角α，β與－β，使角α的始邊為Ox軸非負半軸，交⊙O于點P1，終邊交⊙O于點P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于點P3，角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于點P4. 則P1(1,0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))． 由P1P3＝P2P4及兩點間的距離公式，得 [cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(

11、－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展開并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)． ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. ②由①易得，cos＝sin α， sin＝cos α. sin(α＋β)＝cos ＝cos ＝coscos(－β)－sinsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝－. ∵β∈，tan β＝－， ∴cos β＝－，sin β＝. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝. 7