【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 8.8 立體幾何中的向量方法（Ⅱ）求空間角、距離課時檢測 理 （含解析）北師大版

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1、 8.8 立體幾何中的向量方法（Ⅱ）----求空間角、距離 一、選擇題 1．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1上的動點，則直線NO、AM的位置關(guān)系是(　　)． A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直 解析　建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為2， 則A(2,0,0)，M(0,0,1)， O(1,1,0)，N(2，t,2)，＝(－1,1－t，－2)， ＝(－2,0,1)，·＝0，則直

2、線NO、AM的 位置關(guān)系是異面垂直． 答案　C 2．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上且＝，N為B1B的中點，則||為(　　)． A.a B.a C.a D.a 解析　以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N. 設(shè)M(x，y，z)， ∵點M在AC1上且＝， ∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z) ∴x＝a，y＝，z＝. 得M， ∴||＝ ＝a. 答案　A 3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1

3、的中點，則sin〈，〉的值為(　　)． A. B. C. D. 解析　設(shè)正方體的棱長為2，以D為坐標(biāo)原點， DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角 坐標(biāo)系(如圖)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)， cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝， 答案　B 4．兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點O和點A(2,1,1)，且兩平面的一個法向量n＝(－1,0,1)，則兩平面間的距離是(　　) A. B. C. D．3 解析 兩平面的

4、一個單位法向量n0＝，故兩平面間的距離d＝|·n0|＝. 答案　B 5．已知直二面角α-l-β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，點B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD＝(　　)． A．2 B. C. D．1 解析　如圖，建立直角坐標(biāo)系D-xyz，由已 知條件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)， 由AB＝2解得t＝. 答案　C 6．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中點，G是DD1中點，F(xiàn)是BC上一點且FB＝BC，則GB與EF所成的角為(　　)． A．30°

5、 B．120° C．60° D．90° 解析　如圖建立直角坐標(biāo)系D-xyz， 設(shè)DA＝1，由已知條件 G，B， E，F(xiàn)， ＝，＝ cos〈，〉＝＝0，則⊥. 答案　D 7．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小為60°，則AD的長為(　　) A. B. C．2 D. 解析 如圖，以C為坐標(biāo)原點，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y

6、軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)， C1(0,0,2)，D(1,0,1) 設(shè)AD＝a，則D點坐標(biāo)為(1,0，a)，＝(1,0，a)， ＝(0,2,2)， 設(shè)平面B1CD的一個法向量為m＝(x，y，z)． 則?，令z＝－1， 得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一個法向量為n(0,1,0)， 則由cos60°＝，得＝，即a＝， 故AD＝. 答案：A 二、填空題 8．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點P在線段BD1上．當(dāng)∠APC最大時，三棱錐P－ABC的體積為________． 解析 以B為坐標(biāo)原點，B

7、A為x軸，BC為y軸，BB1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)＝λ，可得P(λ，λ，λ)， 再由cos∠APC＝可求得當(dāng)λ＝時，∠APC最大， 故VP－ABC＝××1×1×＝. 答案 9．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1，點M是線段DC1上的動點，則點M到直線AD1距離的最小值為________． 解析 設(shè)M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a,0，a)，直線AD1的一個單位方向向量s0＝，由＝(0，－m，a－m)，故點M到直線AD1的距離d＝＝＝，根式內(nèi)的二次函數(shù)當(dāng)m＝－＝時取最小值2－a×＋a2＝a2，故d的最小值為a. 答案

8、 a 10．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則λ＝________. 解析　由已知得＝＝，[來源:Zxxk.Com] ∴8 ＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝. 答案　－2或 11．正四棱錐S -ABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC的夾角的大小為________． 解析　如圖所示，以O(shè)為原點建立空間[來源:學(xué)_科_網(wǎng)] 直角坐標(biāo)系O-xyz. 設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)， P. 則＝(2a,0,0)，＝，＝

9、(a，a,0)． 設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n＝(0,1,1)， 則cos〈，n〉＝＝＝. ∴〈，n〉＝60°， ∴直線BC與平面PAC的夾角為90°－60°＝30°. 答案　30° 12．已知點E、F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為________． 解析　如圖，建立直角坐標(biāo)系D-xyz， 設(shè)DA＝1由已知條件A(1,0,0)， E，F(xiàn)， ＝，＝， 設(shè)平面AEF的法向量為n＝(x，y，z)， 面AEF與面ABC所成的二面角為θ， 由得 令y＝1，z＝－3，

10、x＝－1，則n＝(－1,1，－3) 平面ABC的法向量為m＝(0,0，－1) cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝. 答案　 三、解答題 13. 如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°. (1)求證：平面PAB⊥平面PAD； (2)設(shè)AB＝AP.若直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長． 解析：(1)證明：因為PA⊥平面ABCD， AB?平面ABCD， 所以PA⊥AB. 又AB⊥AD，PA∩AD＝A， 所以AB⊥平面PAD. 又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面P

11、AD. (2)以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz(如圖)． 在平面ABCD內(nèi)，作CE∥AB交AD于點E，則CE⊥AD. 在Rt△CDE中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1. 設(shè)AB＝AP＝t，則B(t,0,0)，P(0,0，t)． 由AB＋AD＝4得AD＝4－t， 所以E(0,3－t,0)，C(1,3－t,0)，D(0,4－t,0)，＝(－1,1,0)， ＝(0,4－t，－t)． 設(shè)平面PCD的一個法向量為n＝(x，y，z)， 由n⊥，n⊥，得 取x＝t，得平面PCD的一個法向量n＝(t，t,4－t)． 又＝(t,0，－t)，故由直線P

12、B與平面PCD所成的角為30°得 cos60°＝||，即＝， 解得t＝或t＝4(舍去，因為AD＝4－t>0)， 所以AB＝. 14．如圖所示，四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝，AB＝AC. (1)證明：AD⊥CE； (2)設(shè)側(cè)面ABC為等邊三角形，求二面角C-AD-E的大?。? 解析 (1)證明　取BC中點O， 連接AO，則AO⊥BC 由已知條件AO⊥平面BCDE， 如圖，建立直角坐標(biāo)系O-xyz， 則A(0,0，t)，D(1，，0)， C(1,0,0)，E(－1，，0)，[來源:Z§xx§k.Com] ＝(1，，

13、－t)， ＝(－2，，0)， 則·＝0，因此AD⊥CE. (2) 作CF⊥AD垂足為F，連接EF， 由AD⊥平面CEF知EF⊥AD， 則∠CFE為二面角C-AD-E的平面角．[來源:Z。xx。k.Com] 在Rt△ACD中，CF＝＝， 在等腰△ADE中EF＝， cos∠CFE＝＝－. ∴二面角CADE的余弦值為－. 15．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EG∥AC，AB＝2EF. (1)若M是線段AD的中點， 求證：GM∥平面ABFE；[來源:Zxxk.Com] (2)若AC＝BC＝2

14、AE，求二面角A-BF-C的大?。? 解析 (1)證明　法一　因為EF∥AB， FG∥BC，EG∥AC， ∠ACB＝90°， 所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG. 由于AB＝2EF，因此BC＝2FG. 連接AF，由于FG∥BC，F(xiàn)G＝BC， 在?ABCD中，M是線段AD的中點，則AM∥BC，且AM＝BC， 因此FG∥AM且FG＝AM， 所以四邊形AFGM為平行四邊形，因此GM∥FA. 又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE， 所以GM∥平面ABFE. 法二　因為EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°， 所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG，

15、由于AB＝2EF，所以BC＝2FG. 取BC的中點N，連接GN， 因此四邊形BNGF為平行四邊形，所以GN∥FB. 在?ABCD中，M是線段AD的中點，連接MN， 則MN∥AB. 因為MN∩GN＝N，AB∩FB＝B， 所以平面GMN∥平面ABFE. 又GM?平面GMN， 所以GM∥平面ABFE. (2)法一　因為∠ACB＝90°，所以∠CAD＝90°， 又EA⊥平面ABCD， 所以AC，AD，AE兩兩垂直． 分別以AC，AD，AE所在直線為x軸、y軸和z軸， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 不妨設(shè)AC＝BC＝2AE＝2，則由題意得 A(0,0,0)，B(2，－2,

16、0)，C(2,0,0)， E(0,0,1)，所以＝(2，－2,0)，＝(0,2,0)． 又EF＝AB， 所以F(1，－1,1)，＝(－1,1,1)． 設(shè)平面BFC的法向量為m＝(x1，y1，z1)， 則m·＝0，m·＝0， 所以 取z1＝1，得x1＝1，所以m＝(1,0,1)． 設(shè)平面ABF的法向量為n＝(x2，y2，z2)， 則n·＝0，n·＝0， 所以 取y2＝1，得x2＝1，則n＝(1,1,0)， 所以cos〈m，n〉＝＝. 因此二面角A-BF-C的大小為60°. 法二　由題意知，平面ABFE⊥平面ABCD， 取AB的中點H，連接CH， 因為AC＝BC，所

17、以CH⊥AB， 則CH⊥平面ABFE. 過H向BF引垂線交BF于R，連接CR， 則CR⊥BF， 所以∠HRC為二面角A-BF-C的平面角． 由題意，不妨設(shè)AC＝BC＝2AE＝2. 在直角梯形ABFE中，連接FH， 則FH⊥AB，又AB＝2， 所以HF＝AE＝1，BH＝， 因此在Rt△BHF中，HR＝. 由于CH＝AB＝， 所以在Rt△CHR中，tan∠HRC＝＝， 因此二面角A-BF-C的大小為60°.[來源:Zxxk.Com] 16．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點． (1)求證：AF∥平面BC

18、E； (2)求證：平面BCE⊥平面CDE； (3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值． 解析 方法一： (1)證法一：取CE的中點G，連接FG、BG. ∵F為CD的中點，∴GF∥DE且GF＝DE， ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB. 又AB＝DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB， ∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG. ∵AF?平面BCE，BG?平面BCE， ∴AF∥平面BCE. 證法二：取DE的中點M，連接AM、FM， ∵F為CD的中點，∴FM∥CE. ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB. 又AB＝D

19、E＝ME， ∴四邊形ABEM為平行四邊形，則AM∥BE.[來源:Z+xx+k.Com] ∵FM、AM?平面BCE，CE、BE?平面BCE， ∴FM∥平面BCE，AM∥平面BCE. 又FM∩AM＝M，∴平面AFM∥平面BCE. ∵AF?平面AFM， ∴AF∥平面BCE. (2)證明：∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點， ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE. (3)在平面CDE內(nèi)，過F作FH⊥CE于H，連接

20、BH， ∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE. ∴∠FBH為BF和平面BCE所成的角． 設(shè)AD＝DE＝2AB＝2a，則FH＝CFsin45°＝a， BF＝＝＝2a， 在Rt△FHB中，sin∠FBH＝＝. ∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為. 方法二： 設(shè)AD＝DE＝2AB＝2a，建立如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)． ∵F為CD的中點，∴F. (1)證明：＝，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)， ∵＝(＋)，AF?平面BCE，∴AF∥平面BCE. (2)證明：∵＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)， ∴·＝0，·＝0，∴⊥，⊥. ∴⊥平面CDE，又AF∥平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE. (3)設(shè)平面BCE的法向量為n＝(x，y，z)，由n·＝0，n·＝0可得 x＋y＋z＝0,2x－z＝0，取n＝(1，－，2)． 又＝，設(shè)BF和平面BCE所成的角為θ，則 sinθ＝＝＝. ∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為. 11