中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).ppt

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1、5.1 大數(shù)定律 5.2 中心極限定理 5.3 小結(jié),第五章 大數(shù)定律與中心極限定理,5.1 大數(shù)定律,討論 “概率是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義； 給出幾種大數(shù)定律： 伯努利大數(shù)定律、切比雪夫大數(shù)定律、 馬爾可夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律.,常用的幾個(gè)大數(shù)定律,大數(shù)定律一般形式：,若隨機(jī)變量序列Xn滿足：,則稱Xn 服從大數(shù)定律.,切比雪夫大數(shù)定律,定理5.1.1,Xn兩兩不相關(guān)，且Xn方差存在，有共同的上界，則 Xn服從大數(shù)定律.,證明用到切比雪夫不等式.,依概率收斂,定義5.1.1 (依概率收斂),大數(shù)定律討論的就是依概率收斂.,若對(duì)任意的 0，有,則稱隨機(jī)變量序列Yn依概率收斂于Y,

2、記為,依概率收斂的性質(zhì),定理5.1.2 若,則Xn與Yn的加、減、乘、除 依概率收斂到 a 與 b 的加、減、乘、除.,依概率收斂（續(xù)）,推論5.1.3 (多變量函數(shù)),設(shè),g(x,y)在點(diǎn)(a,b)連續(xù)，則,，,，又設(shè)函數(shù),伯努利大數(shù)定律,定理5.1.4（伯努利大數(shù)定律）,設(shè) n 是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中 P(A) = p, 則對(duì)任意的 0，有,馬爾可夫大數(shù)定律,定理5.1.5,若隨機(jī)變量序列Xn滿足：,則 Xn服從大數(shù)定律.,(馬爾可夫條件),辛欽大數(shù)定律,定理5.1.6,若隨機(jī)變量序列Xn獨(dú)立同分布，且Xn的數(shù)學(xué)期望存在，則 Xn服從大數(shù)定律.,(1) 伯努利大

3、數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例.,注 意 點(diǎn),(2) 切比雪夫大數(shù)定律是馬爾可夫大數(shù)定律的特例.,(3) 伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特例.,5.2 中心極限定理,討論獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布, 本節(jié)指出極限分布為正態(tài)分布.,5.2.1 獨(dú)立隨機(jī)變量和,設(shè) Xn 為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，記其和為,5.2.2 獨(dú)立同分布的中心極限定理,定理5.2.1 林德貝格勒維中心極限定理,設(shè) Xn 為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望為, 方差為 20，則當(dāng) n 充分大時(shí)，有,應(yīng)用之例: 正態(tài)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生； 誤差分析,林德貝格勒維中心極限定理的推論,例5.2.1 每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為 100克，

4、標(biāo)準(zhǔn)差為10克. 一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克的概率?,解:,設(shè)箱中第 i 袋味精的凈重為 Xi, 則Xi 獨(dú)立同分布，,且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100，,由中心極限定理得，所求概率為：,= 0.0002,故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002. (很小),例5.2.2 設(shè) X 為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為,求100次射擊中命中環(huán)數(shù)在900環(huán)到930環(huán)之間的概率.,解: 設(shè) Xi 為第 i 次射擊命中的環(huán)數(shù)，則Xi 獨(dú)立同分布，,且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故,= 0.00021,,5.2.3 二項(xiàng)分布

5、的正態(tài)近似,定理5.2.2 棣莫弗拉普拉斯中心極限定理,設(shè)n 為服從二項(xiàng)分布 b(n, p) 的隨機(jī)變量，則當(dāng) n 充分大時(shí)，有,是林德貝格勒維中心極限定理的特例.,二項(xiàng)分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布， 所以用正態(tài)分布作為二項(xiàng)分布的近似時(shí)，可作 如下修正：,注 意 點(diǎn) (1),中心極限定理的應(yīng)用有三大類：,注 意 點(diǎn) (2),ii) 已知 n 和概率，求x ；,iii) 已知 x 和概率，求 n .,i) 已知 n 和 x，求概率；,一、給定 n 和 x，求概率,例5.2.3 100個(gè)獨(dú)立工作(工作的概率為0.9)的部件組成一個(gè)系統(tǒng)，求系統(tǒng)中至少有85個(gè)部件工作的概率.,解：用,由此得：

6、,Xi=1表示第i個(gè)部件正常工作, 反之記為Xi=0.,又記Y=X1+X2++X100，則 E(Y)=90，Var(Y)=9.,二、給定 n 和概率，求 x,例5.2.4 有200臺(tái)獨(dú)立工作(工作的概率為0.7)的機(jī)床， 每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)需15kw電力. 問共需多少電力, 才可 有95%的可能性保證正常生產(chǎn)?,解：用,設(shè)供電量為x, 則從,Xi=1表示第i臺(tái)機(jī)床正常工作, 反之記為Xi=0.,又記X=X1+X2++X200，則 E(X)=140，Var(X)=42.,中解得,三、給定 x 和概率，求 n,例5.2.5 用調(diào)查對(duì)象中的收看比例 k/n 作為某電視節(jié) 目的收視率 p 的估計(jì)

7、。 要有 90 的把握，使k/n與p 的差異不大于0.05，問至少要調(diào)查多少對(duì)象？,解：用,根據(jù)題意,Xn表示n 個(gè)調(diào)查對(duì)象中收看此節(jié)目的人數(shù)，則,從中解得,Xn 服從 b(n, p) 分布，k 為Xn的實(shí)際取值。,又由,可解得,n = 271,例5.2.6 設(shè)每顆炮彈命中目標(biāo)的概率為0.01， 求500發(fā)炮彈中命中 5 發(fā)的概率.,解: 設(shè) X 表示命中的炮彈數(shù), 則,X b(500, 0.01),0.17635,(2) 應(yīng)用正態(tài)逼近:,P(X=5) = P(4.5 < X < 5.5),= 0.1742,,5.2.4 獨(dú)立不同分布下的中心極限定理,定理5.2.3 林德貝格中心極限定

8、理,設(shè)Xn 為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，若任對(duì) 0，有,林德貝格條件,則,李雅普諾夫中心極限定理,定理5.2.4 李雅普諾夫中心極限定理,設(shè)Xn 為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，若存在 0，滿足：,李雅普諾夫條件,則,林德貝格條件較難驗(yàn)證.,例5.2.7 設(shè) X1, X2 , . , X99相互獨(dú)立, 且服從不同的 0--1分布,試求,解: 設(shè) X100, X101, .相互獨(dú)立, 且與X99同分布,,則可以驗(yàn)證Xn滿足 =1的李雅普諾夫條件，且,,由此得,5.3 小結(jié),基本概念： 依概率收斂、契比雪夫大數(shù)定理、伯努利大數(shù)定理、辛欽大數(shù)定理、獨(dú)立同分布的中心極限定理、李雅普諾夫中心極限定理、棣莫弗拉普拉斯中心極限定理； 基本概念： 中心極限定理的應(yīng)用；,2, 5, 8,作 業(yè),