【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 第七章 不等式章末檢測(cè) 理 (含解析)北師大版

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1、 第七章 章末檢測(cè) (時(shí)間:120分鐘 滿分:150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.(2011·山東)設(shè)集合M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},則M∩N等于(  ) A.[1,2) B.[1,2] C.(2,3] D.[2,3] 2.(2011·商丘月考)下列命題中為真命題的是(  ) A.若a>b,c>d,則ac>bd B.若|a|>b,則a2>b2 C.若a>b,則a2>b2 D.若a>|b|,則a2>b2 3.若實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=2,則3a+3b的最小值是(  ) A.18 B.6

2、 C.2 D.2 4.不等式y(tǒng)≥|x|表示的平面區(qū)域是(  ) 5.(2011·北京)如果xn)都成立的是(  ) A.|a

3、n-am|< B.|an-am|> C.|an-am|< D.|an-am|> 9.今有一臺(tái)壞天平,兩臂長不等,其余均精確,有人要用它稱物體的重量,他將物體放在左右托盤各稱一次,取兩次稱量結(jié)果分別為a、b.設(shè)物體的真實(shí)重量為G,則(  ) A.=G B.≤G C.>G D.

4、 B.(-∞,-2) C.[-2,2] D.[0,+∞) 12.若實(shí)數(shù)x、y滿足+=1,則x2+2y2有(  ) A.最大值3+2 B.最小值3+2 C.最大值6 D.最小值6 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13.關(guān)于x的不等式x2+(a+1)x+ab>0的解集是{x|x<-1或x>4},則實(shí)數(shù)a、b的值分別為________. 14.(2011·陜西)如圖,點(diǎn)(x,y)在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運(yùn)動(dòng),那么2x-y的最小值為________. 15.(2011·湯陰模擬)已知正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍

5、為____________,a+b的取值范圍是____________. 16.(2011·山東)設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),觀察: f1(x)=f(x)=, f2(x)=f(f1(x))=, f3(x)=f(f2(x))=, f4(x)=f(f3(x))=, …… 根據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得: 當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí),fn(x)=f(fn-1(x))=________. 三、解答題(本大題共6小題,共70分) 17.(10分)解關(guān)于x的不等式≤(其中a>0且a≠1). 18.(12分)(2011·惠州月考)函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y

6、均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0. (1)求f(0); (2)求f(x); (3)當(dāng)0ax-5恒成立,求a的取值范圍. 19.(12分)(2011·汕頭月考)設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和. (1)求證:數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列; (2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎?為什么? 20.(12分)(2011·嘉興月考)某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,根據(jù)預(yù)測(cè),甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%,可

7、能的最大虧損率分別為30%和10%,投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元,要求確??赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元,問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬元,才能使可能的盈利最大? 21.(12分)先閱讀下列不等式的證法,再解決后面的問題: 已知a1,a2∈R,a1+a2=1,求證:a+a≥. 證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2, f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a+a=2x2-2x+a+a. 因?yàn)閷?duì)一切x∈R,恒有f(x)≥0,所以Δ=4-8(a+a)≤0,從而得a+a≥. (1)若a1,a2,…,an∈R,a

8、1+a2+…+an=1,請(qǐng)寫出上述問題的推廣式; (2)參考上述證法,對(duì)你推廣的問題加以證明. 22.(12分)(2009·山東)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意的n∈N*,點(diǎn)(n,Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均為常數(shù))的圖象上. (1)求r的值; (2)當(dāng)b=2時(shí),記bn=2 (log2an+1)(n∈N*), 證明:對(duì)任意的n∈N*,不等式··…·>成立. 第七章 章末檢測(cè) 1.A [∵x2+x-6<0,∴-3

9、又∵N={x|1≤x≤3},∴M∩N={x|1≤x<2}.] 2.D 3.B [由基本不等式,得3a+3b≥2=2=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào),所以3a+3b的最小值是6.] 4.A 5.D [不等式轉(zhuǎn)化為?1

10、·G=l1·b.② ①×②,得G2=ab,∴G=.∵l1≠l2, 故a≠b,>=G.] 10.D [∵M(jìn)=(-1)(-1)(-1) =··≥··=8, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí),等號(hào)成立. ∴M≥8.] 11.A [當(dāng)x=0時(shí),對(duì)任意實(shí)數(shù)a,不等式都成立; 當(dāng)x≠0時(shí),a≥-=-=f(x), 問題等價(jià)于a≥f(x)max,∵f(x)max=-2,故a≥-2. 綜上可知,a的取值范圍是[-2,+∞).] 12.B [x2+2y2=(x2+2y2)·1=(x2+2y2)·=1+++2≥3+2 =3+2,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立.] 13.-4,1 解析 由題意知,-1、4為方

11、程x2+(a+1)x+ab=0的兩根,∴a+1=-3,ab=-4.∴a=-4,b=1. 14.1 解析 令b=2x-y,則y=2x-b, 如圖所示,作斜率為2的平行線y=2x-b, 當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),直線在y軸上的截距最大,為-b,此時(shí)b=2x-y取得最小值,為b=2×1-1=1. 15.[9,+∞) [6,+∞) 解析 ∵a+b≥2,∴ab-3≥2. 解得,≥3或≤-1(舍),∴ab≥9, a+b=ab-3≥6. 16. 解析 依題意,先求函數(shù)結(jié)果的分母中x項(xiàng)系數(shù)所組成數(shù)列的通項(xiàng)公式,由1,3,7,15,…,可推知該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2n-1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項(xiàng)

12、依次為2,4,8,16,…,故其通項(xiàng)公式為bn=2n. 所以當(dāng)n≥2時(shí),fn(x)=f(fn-1(x))=. 17.解?、佼?dāng)a>1時(shí),有x-+1≤-1, ∴x-+2≤0,∴≤0. ∴≤0,∴x≤-3或01時(shí),x∈(-∞,-3]∪(0,1]; 當(dāng)0

13、(0)=(x+2×0+1)·x=x2+x, ∴f(x)=x2+x-2.(6分) (3)f(x)>ax-5化為x2+x-2>ax-5,ax

14、數(shù)列.(6分) 方法二 ∵Sn+1=a1+qSn,Sn+2=a1+qSn+1, ∴SnSn+2-S=Sn(a1+qSn+1)-(a1+qSn)Sn+1 =a1(Sn-Sn+1)=-a1an+1≠0. 故SnSn+2≠S, ∴數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.(6分) (2)解 當(dāng)q=1時(shí),{Sn}是等差數(shù)列. 當(dāng)q≠1時(shí),{Sn}不是等差數(shù)列,否則S1,S2,S3成等差數(shù)列,即2S2=S1+S3. ∴2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2)(10分) 由于a1≠0,∴2(1+q)=2+q+q2, ∴q=q2,∵q≠1,∴q=0. 這與q≠0矛盾,故當(dāng)q≠1時(shí),{Sn}不是等差

15、數(shù)列. (12分) 20.解 設(shè)投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,由題意知 目標(biāo)函數(shù)z=x+0.5y.(5分) 上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,陰影部分(含邊界)即可行域. 作直線l0:x+0.5y=0,并作平行于直線l0的一組直線x+0.5y=z,z∈R,與可行域相交,其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點(diǎn),且與直線x+0.5y=0的距離最大,這里M點(diǎn)是直線x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交點(diǎn).(9分) 解方程組, 得x=4,y=6,此時(shí)zmax=1×4+0.5×6=7(萬元). ∴當(dāng)x=4,y=6時(shí),z取得最大值. 答 投資人用4萬元投資甲項(xiàng)目、6

16、萬元投資乙項(xiàng)目,才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下,使可能的盈利最大.(12分) 21.(1)解 若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1. 求證:a+a+…+a≥.(4分) (2)證明 構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+a+a+…+a=nx2-2x+a+a+…+a.(8分) 因?yàn)閷?duì)一切x∈R,都有f(x)≥0, 所以Δ=4-4n(a+a+…+a)≤0, 從而證得a+a+…+a≥.(12分) 22.(1)解 由題意:Sn=bn+r,當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=bn-1+r. 所以an=Sn-Sn

17、-1=bn-1(b-1),(3分) 由于b>0且b≠1, 所以n≥2時(shí),{an}是以b為公比的等比數(shù)列. 又a1=b+r,a2=b(b-1), 所以=b,所以r=-1.(5分) (2)證明 由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(n∈N*), 所證不等式為··…·>. (6分) ①當(dāng)n=1時(shí),左式=,右式=. 左式>右式,所以結(jié)論成立,(7分) ②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)結(jié)論成立,即··…·>,則當(dāng)n=k+1時(shí), ··…·>· =要證當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立, 只需證≥, 即證≥, 由均值不等式=≥成立, 所以,當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論成立.(11分) 由①②可知,n∈N*時(shí),不等式··…·>成立.(12分) 8

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