電磁場(chǎng)與電磁波-第4章.ppt

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1、,第4章 靜態(tài)場(chǎng)及其邊值問(wèn)題求解 主要內(nèi)容 靜態(tài)場(chǎng)特性、泊松方程和拉普拉斯方程、 靜態(tài)場(chǎng)的重要原理和定理 鏡像法、分離變量法、有限差分法,4.1 靜態(tài)場(chǎng)特性,1、靜態(tài)場(chǎng)基本概念 靜態(tài)場(chǎng)是指電磁場(chǎng)中的源量和場(chǎng)量都不隨時(shí)間發(fā)生變化的場(chǎng)。 靜態(tài)場(chǎng)包括靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)及恒定磁場(chǎng)，它們是時(shí)變電磁場(chǎng)的特例。 靜電場(chǎng)是指由靜止的且其電荷量不隨時(shí)間變化的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)；恒定電場(chǎng)是指導(dǎo)電媒質(zhì)中，由恒定電流產(chǎn)生的電場(chǎng)；恒定磁場(chǎng)是指由恒定電流或永久磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)，亦稱(chēng)為靜磁場(chǎng)。,2、靜態(tài)場(chǎng)的麥克斯韋方程組 靜態(tài)場(chǎng)與時(shí)變場(chǎng)的最本質(zhì)區(qū)別：靜態(tài)場(chǎng)中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是彼此獨(dú)立存在的。,1、靜電場(chǎng)的泊松方程和拉普拉斯方程,

2、4.2、泊松方程和拉普拉斯方程,,,,靜電場(chǎng)基本方程,靜電場(chǎng)是有散(有源)無(wú)旋場(chǎng)，是保守場(chǎng)。,泊松方程,拉普拉斯方程,無(wú)源區(qū)域,2、恒定電場(chǎng)的拉普拉斯方程,,,恒定電場(chǎng)基本方程,導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)具有無(wú)散、無(wú)旋場(chǎng)的特征，是保守場(chǎng),拉普拉斯方程,3、恒定磁場(chǎng)的矢量泊松方程,,洛侖茲規(guī)范,矢量泊松方程,恒定磁場(chǎng)基本方程,恒定磁場(chǎng)是無(wú)散有旋場(chǎng)。,,,矢量拉普拉斯方程,注意： 標(biāo)量磁位只有在無(wú)源區(qū)才能應(yīng)用，而矢量磁位則無(wú)此限制。,,,分解,,在沒(méi)有電流分布的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)也成了無(wú)旋場(chǎng)，具有位場(chǎng)的性質(zhì)，引入標(biāo)量磁位 來(lái)表示磁場(chǎng)強(qiáng)度。即,,,標(biāo)量拉普拉斯方程,4.3、靜態(tài)場(chǎng)的重要原理和定理,對(duì)偶原理 (

3、1)概念：如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并具有對(duì)應(yīng)的邊界條件，那么它們解的數(shù)學(xué)形式也將是相同的，這就是對(duì)偶原理，亦稱(chēng)為二重性原理。具有同樣數(shù)學(xué)形式的兩個(gè)方程稱(chēng)為對(duì)偶方程，在對(duì)偶方程中，處于同等地位的量稱(chēng)為對(duì)偶量。,(2)靜電場(chǎng)與恒定電場(chǎng) 對(duì)偶方程 對(duì)偶量,(3)靜電場(chǎng)與恒定磁場(chǎng) 對(duì)偶方程 對(duì)偶量,(4)有源情況下的對(duì)偶關(guān)系 對(duì)偶關(guān)系存在 不像上述兩種情況那樣一目了然,(5)應(yīng)用 電偶極子和磁偶極子輻射的對(duì)偶關(guān)系， 某些波導(dǎo)中橫電波(TE波)和橫磁波(TM波)間的對(duì)偶關(guān)系,例1: 已知無(wú)限長(zhǎng)同軸電纜內(nèi)、外半徑分別為 和 ，如圖所 示，電纜中填充均勻介質(zhì)，內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差為 ，外

4、導(dǎo)體接地。求其間各點(diǎn)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。,解：根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)和無(wú)限長(zhǎng)的假設(shè)，可確定電位函數(shù)滿(mǎn)足一維拉普拉斯方程，采用圓柱坐標(biāo)系,,積分,由邊界條件,,,則：,,解: (1)由于內(nèi)、外導(dǎo)體的電導(dǎo)率很高，可以認(rèn)為電力線(xiàn)仍和導(dǎo)體表面垂直，和靜電場(chǎng)的邊界條件一致，利用對(duì)偶原理，可以立即得到,,(2)單位長(zhǎng)度同軸線(xiàn)漏電流密度為,例2: 如圖所示，在電纜中填充電導(dǎo)媒質(zhì)，其他條件同“例1”，求: (1)內(nèi)外導(dǎo)體間的電位及電場(chǎng)強(qiáng)度。(2)單位長(zhǎng)度上該同軸線(xiàn)的漏電流。,則漏電流為,,2. 疊加定理,若 和 分別滿(mǎn)足拉普拉斯方程，則 和 的線(xiàn)性組合 必然滿(mǎn)足拉普拉斯方程。 證明： 已知 和 滿(mǎn)足拉

5、普拉斯方程 所以：,利用疊加定理，可以把比較復(fù)雜的場(chǎng)問(wèn)題分解為較簡(jiǎn)單問(wèn)題的組合，便于求解。,3. 惟一性定理,邊值問(wèn)題的分類(lèi) 狄利克雷問(wèn)題：給定整個(gè)場(chǎng)域邊界上的位函數(shù)值 紐曼問(wèn)題：給定待求位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值 混合邊值問(wèn)題：給定邊界上的位函數(shù)及其法向?qū)?shù)的線(xiàn)性組合 惟一性定理：在給定邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。 用反證法可以證明。,惟一性定理為某些復(fù)雜電磁問(wèn)題求解方法的建立提供了理論根據(jù)。鏡像法就是惟一性定理的直接應(yīng)用。,4.4、靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法, 靜電場(chǎng)和恒定電場(chǎng)的邊值問(wèn)題，可歸結(jié)為在給定邊界條件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。, 常用的方法有, 解析法中將介紹

6、分離變量法；數(shù)值法中將介紹有限差分法；而間接法中將介紹鏡像法。,1、 靜態(tài)電磁場(chǎng)的方程與邊界條件,2、鏡像法,在靜電場(chǎng)中，當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場(chǎng)的分布，一般情況下，直接求解這類(lèi)問(wèn)題是困難的，這是因?yàn)楦袘?yīng)電荷或極化電荷也是未知量，它也取決于總電場(chǎng)。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,（1）問(wèn)題的提出,幾個(gè)實(shí)例 接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。,,q,q,非均勻感應(yīng)電荷,等效電荷,,接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,接地導(dǎo)體

7、柱附近有一個(gè)線(xiàn)電荷。情況與上例類(lèi)似，但等效電 荷為線(xiàn)電荷。,,,q,非均勻感應(yīng)電荷,,q,等效電荷,,,結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷或線(xiàn)電荷的作用。,鏡像法概念：在一定條件下，可以用一個(gè)或多個(gè)位于待求場(chǎng)域邊界以外虛設(shè)的等效電荷來(lái)代替導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷的作用，且保持原有邊界上邊界條件不變，則根據(jù)惟一性定理，空間電場(chǎng)可由原來(lái)的電荷和所有等效電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)疊加得到。這些等效電荷稱(chēng)為鏡像電荷，這種求解方法稱(chēng)為鏡像法。 理論依據(jù)：惟一性定理是鏡像法的理論依據(jù)。因此，等效電荷的引入必須維持原來(lái)的邊界條件不變，從而保證原來(lái)區(qū)域中靜電場(chǎng)沒(méi)有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據(jù)。

8、這些等效電荷通常處于鏡像位置，因此稱(chēng)為鏡像電荷，因而這種方法稱(chēng)為鏡像法。,像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小“三要素” ；,鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn),確定鏡像電荷的兩條原則,等效求解的“有效場(chǎng)域”。,鏡像電荷的確定,像電荷必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外的空間中；,像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿(mǎn)足所求解的場(chǎng)區(qū)域的邊界條件來(lái)確定。,局限性：僅僅對(duì)于某些特殊的邊界以及特殊分布 的電荷才有可能確定其鏡像電荷。,(2)、接地導(dǎo)體平面的鏡像,點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,待求場(chǎng)域：上半空間 邊界： 無(wú)限大導(dǎo)體平面 邊界條件：,在空間的電位為點(diǎn)電荷q 和鏡像電荷 ( =-q)所產(chǎn)生的電位疊加，即,電位滿(mǎn)足邊

9、界條件,導(dǎo)體平面邊界上：,,,上半空間( z0 ）的電位函數(shù),導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為,導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為,可見(jiàn)，導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷恰好與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,線(xiàn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,將無(wú)限長(zhǎng)的線(xiàn)電荷看作無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)電荷的集合。根據(jù)點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像原理，可得到線(xiàn)電荷對(duì)應(yīng)的鏡像電荷仍為平行于導(dǎo)體表面的線(xiàn)電荷，其電荷密度為 待求場(chǎng)域 中的電位 上半空間的電場(chǎng),,,,,q,,d1,d2,1,2,,,,R,,R1,,R2,,R3,點(diǎn)電荷對(duì)相交半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷q 位于( d1 ,d2 )處。,對(duì)于平

10、面1，有鏡像電荷q1=q， 位于(d1, d2),對(duì)于平面2，有鏡像電荷q2=q， 位于(d1, d2),顯然，q1對(duì)平面2以及q2對(duì)平面1均不能滿(mǎn)足邊界條件。,只有在(d1, d2 )處再設(shè)置一鏡像電荷q3 = q，所有邊界條件才能得到滿(mǎn)足。,電位函數(shù),如果兩導(dǎo)體平面不是相互垂直，而是相交成 角，只要 ，這里的 為整數(shù)，就能用鏡像法求解，其鏡像電荷數(shù)為有限的 個(gè)。,角域外有5個(gè)鏡像電荷，大小和位置如圖所示。所有鏡像電荷都正、負(fù)交替地分布在同一個(gè)圓周上，該圓的圓心位于角域的頂點(diǎn)，半徑為點(diǎn)電荷到頂點(diǎn)的距離。,n不為整數(shù)時(shí)，鏡像電荷將有無(wú)數(shù)個(gè)，鏡像法就不再適用了；當(dāng)角域夾角為鈍角時(shí)，鏡像法亦不

11、適用。,(3)、導(dǎo)體球面的鏡像,.點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像,球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q來(lái)等效。q應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點(diǎn)電荷q與球心的連線(xiàn)上，距球心為d。則有,如圖所示，點(diǎn)電荷q 位于半徑為a 的接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。,問(wèn)題：,,,在球面上任取一點(diǎn)c，則,,,,方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定q和d 。,球外任意一點(diǎn)P 的電位：,因?yàn)?于是球外任意點(diǎn)的電位,若球外任意點(diǎn)坐標(biāo)為 ：,則,所以,點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖,.點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像,先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為 的感應(yīng)電荷分布，則,導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)：,導(dǎo)體球面是電位不為零的

12、等位面,球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的 感應(yīng)電荷為零,采用疊加原理來(lái)確定鏡像電荷,點(diǎn)電荷q 位于一個(gè)半徑為a 的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。,然后斷開(kāi)接地線(xiàn)，這樣導(dǎo)體球上帶電量為 ，根據(jù)電荷守恒定律，原來(lái)導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷代數(shù)和應(yīng)為零。所以，必須在導(dǎo)體球內(nèi)再附加另一鏡像電荷 ，為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的鏡像電荷應(yīng)位于球心處。,球外任意點(diǎn)的電位為：,所以，不接地導(dǎo)體球鏡像電荷：,點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖,例3： 有一接地導(dǎo)體球殼，內(nèi)外半徑分別為a1和a2，在球殼內(nèi)外各 有一點(diǎn)電荷q1和q2 ，與球心距離分別為d1和d2 ，如圖所示。 求：球殼外、球殼中和球殼內(nèi)的

13、電位分布。,球殼外：邊界為r = a2的導(dǎo)體球面，邊界條件為 根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷 的位置和大小分別為 球殼外區(qū)域任一點(diǎn)電位為,解：,球殼內(nèi)：邊界為r = a1的導(dǎo)體球面，邊界條件為 根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷 的位置和大小分別為 球殼內(nèi)區(qū)域任一點(diǎn)電位為,球殼中：球殼中為導(dǎo)體區(qū)域，導(dǎo)體為等位體，球殼中的電位為零。,用鏡像法解題時(shí)，一定要注意待求區(qū)域及其邊界條件，對(duì)邊界以外的情況不予考慮。,(4)、導(dǎo)體圓柱面的鏡像,,,,,,,,,,,,,,,,,問(wèn)題：如圖 1 所示，一根電荷線(xiàn)密度為 的無(wú)限長(zhǎng)線(xiàn)電荷位于半徑為a 的無(wú)限長(zhǎng)接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線(xiàn)平行且到軸線(xiàn)的距離為d 。,特點(diǎn)：

14、在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓柱外的電位由線(xiàn)電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。,分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線(xiàn)平行的無(wú)限長(zhǎng)線(xiàn)電荷，如圖2所示。,. 線(xiàn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像,邊界條件：柱面上電位為零 設(shè)想鏡像線(xiàn)電荷 位于對(duì)稱(chēng)面上，且與圓柱軸線(xiàn)距離為 ，則導(dǎo)體柱面上任一點(diǎn)的電位表示為 其中：,兩平行線(xiàn)電荷的電位分布,在柱面上取兩個(gè)特殊點(diǎn)M和N，則,,空間電位為：,其中：,. 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸,特點(diǎn)：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對(duì)的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。,分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線(xiàn)密度分別為 、且相距為2b的兩根無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)線(xiàn)來(lái)等效

15、替代，如圖2所示。,問(wèn)題：如圖1所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線(xiàn)間距為2h，單位長(zhǎng)度分別帶電荷 和 。,通常將帶電細(xì)線(xiàn)的所在的位置稱(chēng)為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱(chēng)為電軸法。,由,,,利用線(xiàn)電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定b 。,,導(dǎo)體圓柱外空間任意一點(diǎn)的電位函數(shù)就等于線(xiàn)電荷密度分別是 和 的兩平行雙線(xiàn)產(chǎn)生的電位疊加,例題4:試求圖示兩帶電長(zhǎng)直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線(xiàn)的電場(chǎng)及電位分布。,( 以y軸為電位為參考點(diǎn) ),解：,例5：設(shè)兩平行長(zhǎng)直導(dǎo)體圓柱半徑分別為a和b，且分別帶有等量異號(hào)電荷，兩圓柱幾何軸線(xiàn)相距為d，試求電軸的位置。,設(shè)想將兩導(dǎo)體圓柱面上的電荷用兩根平行的線(xiàn)電荷等效，線(xiàn)電荷密

16、度分別為 和 ，其位置如圖所示。,其等位面是許多圓柱面，若讓其中兩個(gè)等位面分別與兩圓柱面重合，即滿(mǎn)足兩導(dǎo)體柱面為等位面的邊界條件。根據(jù)惟一性定理，待求區(qū)域中的場(chǎng)就由這兩個(gè)等效線(xiàn)電荷產(chǎn)生。,,,兩電軸在空間產(chǎn)生的電位為 等位面方程為,,,,,例6：圖為一偏心電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，兩幾何軸線(xiàn)間距離為d，求兩等效電軸的位置。,只要能求出假想電軸的位置，使兩個(gè)導(dǎo)體圓柱面分別和電場(chǎng)中兩個(gè)等位面重合，就滿(mǎn)足了導(dǎo)電圓柱面為等位面的邊界條件。 根據(jù)電軸法,兩等效電軸的位置分別位于（c，0）和（c，0）處。,,(5)、介質(zhì)平面的鏡像,,點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大電介質(zhì)分界平面的鏡像,,,,,,,,,,,,

17、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,特點(diǎn)：在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。,問(wèn)題：如圖 1 所示，介電常數(shù)分別為 和 的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在電介質(zhì)1中有一個(gè)點(diǎn)電荷q，距分界平面為h 。,分析方法：計(jì)算電介質(zhì)1中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)2中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿(mǎn)介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖2所示。,介質(zhì)1中的電位為,計(jì)算電介質(zhì)2中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)1中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿(mǎn)介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖3所示。介質(zhì)2

18、中的電位為,可得到,說(shuō)明：對(duì)位于無(wú)限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無(wú)限長(zhǎng)線(xiàn)電荷，其鏡像電荷為,,利用電位滿(mǎn)足的邊界條件,電介質(zhì)中的電場(chǎng)分布：,,線(xiàn)電流對(duì)磁介質(zhì)分界面的鏡像,當(dāng)計(jì)算上半空間的磁場(chǎng)時(shí) 可認(rèn)為整個(gè)空間充滿(mǎn)磁導(dǎo)率為1的磁介質(zhì)，在下半空間有一鏡像電流I，與I關(guān)于分界面對(duì)稱(chēng)(如圖所示)。上半空間任一點(diǎn)的磁場(chǎng)為,設(shè)想用鏡像電流代替磁化電流的作用，并在界面上保持原有邊界條件不變,當(dāng)計(jì)算下半空間磁場(chǎng)時(shí) 可認(rèn)為整個(gè)空間充滿(mǎn)磁導(dǎo)率為2的磁介質(zhì)，在上半空間有一鏡像電流I，與電流I 位置重合(如圖)。下半空間任一點(diǎn)的磁場(chǎng)為 在分界面(r = r= r)上，磁場(chǎng)滿(mǎn)足邊界條件：,,討論：,(1)

19、當(dāng) 時(shí) ， ，說(shuō)明 與 方向相同， 與 方向相反。,(2) 當(dāng) 時(shí) ， ，說(shuō)明 與 方向相反， 與 方向相同。,(3) 當(dāng) 有限 時(shí) ， ，此時(shí)鐵磁質(zhì)中 但 。,(4) 當(dāng) 有限 時(shí) ， ，此時(shí) 中磁場(chǎng) 為原來(lái)的兩倍。,,磁壁,3、分離變量法,理論基礎(chǔ)：惟一性定理,基本思想：把待求的位函數(shù)表示為幾個(gè)未知函數(shù)的乘積，其中每一個(gè)未知函數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)，代入偏微分方程進(jìn)行變量分離，將原偏微分方程分離為幾個(gè)常微分方程，然后分別求解這些常微分方程并利用邊界條件確定其中的待定常數(shù)，從而得到位函數(shù)的解。應(yīng)用分離變

20、量法求解時(shí)，所求場(chǎng)域的邊界面應(yīng)與某一正交曲面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面重合。,分離變量法的主要步驟： 1、根據(jù)給定的邊界形狀，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，正確寫(xiě)出該坐標(biāo)系下拉普拉斯的表達(dá)式，及給定的邊界條件。 2、經(jīng)變量分離將偏微分方程化簡(jiǎn)為常微分方程，并給出常微分方程的通解，其中含有待定常數(shù)。 3、利用給定的邊界條件，確定通解中的待定常數(shù)，獲得滿(mǎn)足邊界條件的特解。,（1）直角坐標(biāo)系中二維拉普拉斯方程分離變量法,在直角坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z無(wú)關(guān)，則拉普拉斯方程為,將(x,y)表示為兩個(gè)一維函數(shù)X(x)和Y(y)的乘積，即,將其代入拉普拉斯方程，得,再除以X(x)Y(y) ，有,對(duì)于x,y取任意值時(shí)，上式恒等。所以，

21、式中的每一項(xiàng)都須為常數(shù)。將此常數(shù)寫(xiě)成k2(分離常數(shù)) ，即,則有,,,.當(dāng) 時(shí),.當(dāng) 時(shí)（即 為不為0的任意常數(shù)），設(shè),由,,,或,,則：,則方程的解為,雙曲正弦,雙曲余弦,,或,,則：,方程的解為,.當(dāng) 時(shí)，即 為虛數(shù)設(shè),由,,應(yīng)用疊加定理，可將三種解疊加組成拉普拉斯方程的通解,三種解的特點(diǎn)： 第一種解中，X(x)和Y(y)為常數(shù)或線(xiàn)性函數(shù)，說(shuō)明它們最多只有一個(gè)零點(diǎn)； 第二種解中， X(x)為三角函數(shù)，有多個(gè)零點(diǎn)， Y(y)為雙曲函數(shù)，最多只有一個(gè)零點(diǎn)； 第三種解中， X(x)為雙曲函數(shù)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，而Y(y)為三角函數(shù)，有多個(gè)零點(diǎn)。,解: 選直角坐標(biāo)系，電位函數(shù)滿(mǎn)足二維拉普拉斯

22、方程 邊界條件：,例7：一接地金屬槽如圖所示，其側(cè)壁和底壁電位均為零，頂蓋與側(cè)壁絕緣，其電位為U0，求槽內(nèi)電位分布。,,設(shè) 代入式(1) 中得:,,,根據(jù)邊界條件(2)與(3)可知，函數(shù)X(x)沿x方向有兩個(gè)零點(diǎn)，因此X(x)應(yīng)為三角函數(shù)形式，又因?yàn)閄(0) =0，所以X(x)應(yīng)選取正弦函數(shù)，即,由邊界條件(3)得：,對(duì)應(yīng)的Y(y)函數(shù)為雙曲函數(shù)，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式為,此時(shí)，電位可表示為 由邊界條件(5)知 其中：,,,對(duì)上式兩邊同乘以 ，再對(duì)x從0到a進(jìn)行積分，即,,,滿(mǎn)足邊界條件的特解為：,（2）、直角坐標(biāo)系中三維拉普拉斯方程分離變量法,根據(jù)

23、本征值的不同取值，可以得到類(lèi)似于二維情況的解的形式。,,,,,4. 有限差分法,有限差分法是求解電磁場(chǎng)問(wèn)題的數(shù)值法。數(shù)值法的基本思想是將所要求的整個(gè)連續(xù)分布的場(chǎng)域空間的場(chǎng)轉(zhuǎn)換為所求解的場(chǎng)域空間中各個(gè)離散點(diǎn)上場(chǎng)的集合。顯然，離散點(diǎn)取得越多，對(duì)場(chǎng)分布的描述就越精確，但是計(jì)算量也越大。,對(duì)于邊界條件過(guò)于復(fù)雜的電磁場(chǎng)問(wèn)題，無(wú)法求得解析解。,有限差分法是將求解區(qū)域劃分成網(wǎng)格，把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場(chǎng)分布用求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值解代替，即用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的差分方程近似代替場(chǎng)域內(nèi)的偏微分方程來(lái)求解。,網(wǎng)格的劃分有不同的方法，我們只討論正方形網(wǎng)格劃分。,故點(diǎn)1的電位,點(diǎn)3的電位,,,,,設(shè)x軸上鄰近O點(diǎn)的一點(diǎn)的電位

24、為 ，用泰勒公式展開(kāi)為,于是,同理,將以上二式相加,得,若所求區(qū)域電荷分布為零，則, 上式表示任意一點(diǎn)的電位等于圍繞它的4個(gè)點(diǎn)的電位的平均值。,對(duì)每一網(wǎng)格點(diǎn)寫(xiě)出類(lèi)似的式子，得到方程數(shù)與未知電位的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)相等的線(xiàn)性方程組。,將邊界條件離散化，作為邊界上節(jié)點(diǎn)的已知電位。,式中,已知一正方形截面的無(wú)限長(zhǎng)金屬盒。盒子兩側(cè)及底部電位為零，頂部電位為100V，求盒內(nèi)的電位分布。,根據(jù)二維拉氏方程的有限差分形式得點(diǎn)5的電位為,一、簡(jiǎn)單迭代法, 對(duì)每一網(wǎng)格點(diǎn)賦初值:,點(diǎn)1、3電位為,點(diǎn)7、9電位為,點(diǎn)4、6電位為,點(diǎn)2電位為,點(diǎn)8電位為,初值給定后，按一固定順序（點(diǎn)的順序是從左到右，從下到上），利用拉氏方程的差分形式，用圍繞它的4個(gè)點(diǎn)的電位的平均值作為其新值，依次計(jì)算每點(diǎn)的電位。當(dāng)所有點(diǎn)計(jì)算完后，用新值代替舊值，即完成一次迭代。然后再進(jìn)行下一次，直到每一點(diǎn)計(jì)算的新值和舊值之差小于指定的范圍。,二、超松馳法,為使計(jì)算時(shí)收斂速度更快，常采用超松馳法。點(diǎn) 的電位由下式計(jì)算,為了加快收斂，可引進(jìn)一個(gè)松馳因子 ，上式變?yōu)?有一個(gè)最優(yōu)值，如果選擇恰當(dāng)，將大大地提高收斂速度。,兩個(gè)重大改進(jìn)： 1、計(jì)算每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)時(shí)，把剛才計(jì)算得到的鄰近點(diǎn)的電位新值代如 2、引入松弛因子，加快收斂速度。,