2010年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)17推理與證明

考點(diǎn)17 推理與證明 1.（2010·山東高考文科·Ｔ１０）觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則=（ ） （A） (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查歸納推理的有關(guān)知識(shí)，考查了考生的觀察問題，分析問題解決問題的能力. 【思路點(diǎn)撥】觀察所給的結(jié)論，通過歸納類比聯(lián)想，得出結(jié)論. 【規(guī)范解答】選D．通過觀察所給的結(jié)論可知，若是偶函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，故選D． 2.（2010·陜西高考理科·Ｔ１２）觀察下列等式：,……，根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為 ____________. 【命題立意】本題考查歸納推理，屬送分題． 【思路點(diǎn)撥】找出等式兩邊底數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 【規(guī)范解答】由所給等式可得：等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關(guān)系如下： 即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)。故第五個(gè)等式為： 【答案】 3.（2010·福建高考文科·Ｔ１６）觀察下列等式： ① cos2a=2-1; ② cos4a=8- 8+ 1; ③ cos6a=32- 48+ 18- 1; ④ cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; ⑤ cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1. 可以推測(cè)，m – n + p = . 【命題立意】本題主要考查利用合情推理的方法對(duì)系數(shù)進(jìn)行猜測(cè)求解． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)歸納推理可得． 【規(guī)范解答】觀察得：式子中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，，，又，，． 【答案】962． 4.（2010·浙江高考理科·Ｔ14）設(shè)， 將的最小值記為，則 其中=__________________ . 【命題立意】本題考查合情推理與演繹推理的相關(guān)知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的推理規(guī)則是關(guān)鍵． 【思路點(diǎn)撥】觀察的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)． 【規(guī)范解答】觀察表達(dá)式的特點(diǎn)可以看出，……，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；，，……，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，． 【答案】． 5.（2010·北京高考文科·Ｔ20） 已知集合對(duì)于，，定義A與B的差為 A與B之間的距離為 （Ⅰ）當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)，求，； （Ⅱ）證明：，且; (Ⅲ) 證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù) 【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)的能力。本題情景是全新的，對(duì)學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求。要求教師真正的重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”、“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)． 【思路點(diǎn)撥】（I）（Ⅱ）直接按定義證明即可；(Ⅲ) “至少”問題可采用反證法證明． 【規(guī)范解答】（Ⅰ）＝（1,0,1,0,1） ＝3 (Ⅱ)設(shè) 因?yàn)椋? 從而 由題意知 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 所以 (Ⅲ)證明：設(shè) 記由（Ⅱ）可知 所以中1的個(gè)數(shù)為k,中1的個(gè)數(shù)為 設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)。則 由此可知，三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)， 即三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)． 6.（2010·北京高考理科·Ｔ20）已知集合 對(duì)于，，定義A與B的差為 A與B之間的距離為； （Ⅰ）證明：，且; （Ⅱ）證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù) (Ⅲ) 設(shè)P，P中有m(m≥2)個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明：（P）≤. 【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)的能力，考查了反證法、不等式證明等知識(shí)．本題情景是全新的，對(duì)學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求．要求教師真正的重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”、“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)． 【思路點(diǎn)撥】（I）直接按定義證明即可；（Ⅱ）“至少”問題可采用反證法證明；(Ⅲ)把表示出來，再利用均值不等式證明． 【規(guī)范解答】（I）設(shè)，， 因?yàn)?，，所? 從而 又 由題意知，，. 當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)， 所以 (II)設(shè)，， ，，. 記，由（I）可知 ， 所以中1的個(gè)數(shù)為，中1的個(gè)數(shù)為． 設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)，則 由此可知，三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)， 即,,三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)． （III）,其中表示中所有兩個(gè)元素間距離的總和， 設(shè)中所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字中共有個(gè)1，個(gè)0 則＝ 由于 所以 從而 【方法技巧】（1）證明“至少有一個(gè)……”的時(shí)，一般采用反證法； （2）證明不等式時(shí)要多觀察形式，適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為基本不等式． 7.（2010·江蘇高考·Ｔ23）已知△ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)。 （1） 求證：cosA是有理數(shù)； （2）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。 【命題立意】本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。 【思路點(diǎn)撥】（1）利用余弦定理表示cosA，由三邊是有理數(shù)，求得結(jié)論； （2）可利用數(shù)學(xué)歸納法證明. 【規(guī)范解答】方法一：（1）設(shè)三邊長(zhǎng)分別為，，∵是有理數(shù)， 是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對(duì)于除法的具有封閉性， ∴必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù)。 （2）①當(dāng)時(shí)，顯然cosA是有理數(shù)； 當(dāng)時(shí)，∵，因?yàn)閏osA是有理數(shù)， ∴也是有理數(shù)； ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)。 當(dāng)時(shí)，， ， ， 解得： ∵cosA，，均是有理數(shù)，∴是有理數(shù)， ∴是有理數(shù)。 即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。 綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。 方法二：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知 是有理數(shù)。 （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和都是有理數(shù)。 ①當(dāng)時(shí)，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。 ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，和都是有理數(shù)。 當(dāng)時(shí)，由， ， 及①和歸納假設(shè)，知和都是有理數(shù)。 即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。 綜合①、②可知，對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。