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1、考點17 推理與證明
1.（2010·山東高考文科·Ｔ１０）觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則=（ ）
（A） (B) (C) (D)
【命題立意】本題考查歸納推理的有關(guān)知識，考查了考生的觀察問題，分析問題解決問題的能力.
【思路點撥】觀察所給的結(jié)論，通過歸納類比聯(lián)想，得出結(jié)論.
【規(guī)范解答】選D．通過觀察所給的結(jié)論可知，若是偶函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，故選D．
2.（2010·陜西高考理科·Ｔ１２）觀察下列等式：,……，根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為 ______
2、______.
【命題立意】本題考查歸納推理，屬送分題．
【思路點撥】找出等式兩邊底數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【規(guī)范解答】由所給等式可得：等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關(guān)系如下：
即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)。故第五個等式為：
【答案】
3.（2010·福建高考文科·Ｔ１６）觀察下列等式：
① cos2a=2-1;
② cos4a=8- 8+ 1;
③ cos6a=32- 48+ 18- 1;
④ cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1;
⑤ cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.
可以推測，m – n + p =
3、 .
【命題立意】本題主要考查利用合情推理的方法對系數(shù)進行猜測求解．
【思路點撥】根據(jù)歸納推理可得．
【規(guī)范解答】觀察得：式子中所有項的系數(shù)和為1，，，又，，．
【答案】962．
4.（2010·浙江高考理科·Ｔ14）設(shè)，
將的最小值記為，則
其中=__________________ .
【命題立意】本題考查合情推理與演繹推理的相關(guān)知識，熟練掌握相關(guān)的推理規(guī)則是關(guān)鍵．
【思路點撥】觀察的奇數(shù)項與偶數(shù)項的特點．
【規(guī)范解答】觀察表達式的特點可以看出，……，當(dāng)為偶數(shù)時，；，，……，當(dāng)為奇數(shù)時，．
【答案】．
5.（2010·北京高考文科·Ｔ20）
已
4、知集合對于，，定義A與B的差為
A與B之間的距離為
（Ⅰ）當(dāng)n=5時，設(shè)，求，；
（Ⅱ）證明：，且;
(Ⅲ) 證明：三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)
【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學(xué)生運用新知識的能力。本題情景是全新的，對學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求。要求教師真正的重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”、“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)．
【思路點撥】（I）（Ⅱ）直接按定義證明即可；(Ⅲ) “至少”問題可采用反證法證明．
【規(guī)范解答】（Ⅰ）＝（1,0,1,0,1）
＝3
(Ⅱ)設(shè)
因為，所以
從而
由題意知
當(dāng)時，
當(dāng)時，
所以
(Ⅲ)證明：設(shè)
記由（Ⅱ）可知
5、
所以中1的個數(shù)為k,中1的個數(shù)為
設(shè)是使成立的的個數(shù)。則
由此可知，三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，
即三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)．
6.（2010·北京高考理科·Ｔ20）已知集合
對于，，定義A與B的差為 A與B之間的距離為；
（Ⅰ）證明：，且;
（Ⅱ）證明：三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)
(Ⅲ) 設(shè)P，P中有m(m≥2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P).
證明：（P）≤.
【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學(xué)生運用新知識的能力，考查了反證法、不等式證明等知識．本題情景是全新的，對學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求．要求教師真正的重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生
6、“學(xué)習(xí)能力”、“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)．
【思路點撥】（I）直接按定義證明即可；（Ⅱ）“至少”問題可采用反證法證明；(Ⅲ)把表示出來，再利用均值不等式證明．
【規(guī)范解答】（I）設(shè)，，
因為，，所以,
從而
又
由題意知，，.
當(dāng)時，;
當(dāng)時，
所以
(II)設(shè)，，
，，.
記，由（I）可知
，
所以中1的個數(shù)為，中1的個數(shù)為．
設(shè)是使成立的的個數(shù)，則
由此可知，三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，
即,,三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)．
（III）,其中表示中所有兩個元素間
7、距離的總和，
設(shè)中所有元素的第個位置的數(shù)字中共有個1，個0
則＝
由于
所以
從而
【方法技巧】（1）證明“至少有一個……”的時，一般采用反證法；
（2）證明不等式時要多觀察形式，適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為基本不等式．
7.（2010·江蘇高考·Ｔ23）已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)。
（1） 求證：cosA是有理數(shù)；
（2）求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。
【命題立意】本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。
【思路點撥】（1）利用余弦定理表示cosA，由三邊是有理數(shù)，求得結(jié)論；
（2）可利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【規(guī)范
8、解答】方法一：（1）設(shè)三邊長分別為，，∵是有理數(shù)，
是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性，
∴必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù)。
（2）①當(dāng)時，顯然cosA是有理數(shù)；
當(dāng)時，∵，因為cosA是有理數(shù)， ∴也是有理數(shù)；
②假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)。
當(dāng)時，，
，
，
解得：
∵cosA，，均是有理數(shù)，∴是有理數(shù)，
∴是有理數(shù)。
即當(dāng)時，結(jié)論成立。
綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。
方法二：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知
是有理數(shù)。
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和都是有理數(shù)。
①當(dāng)時，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。
②假設(shè)當(dāng)時，和都是有理數(shù)。
當(dāng)時，由，
，
及①和歸納假設(shè)，知和都是有理數(shù)。
即當(dāng)時，結(jié)論成立。
綜合①、②可知，對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。
2010年高考數(shù)學(xué) 考點17推理與證明
