2010年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)23雙曲線

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1、考點(diǎn)23 雙曲線 1.（2010·安徽高考理科·Ｔ5）雙曲線方程為，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） A、 B、 C、 D、 【命題立意】本題主要考查雙曲線方程及其中系數(shù)的幾何意義，考查考生對(duì)雙曲線方程理解認(rèn)知水平． 【思路點(diǎn)撥】方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式確定實(shí)半軸和虛半軸由求半焦距 確定右焦點(diǎn)坐標(biāo). 【規(guī)范解答】選 C，雙曲線方程為， · ，，得， · 它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故C正確. 2.（2010·浙江高考理科·Ｔ8）設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線方程為（ ） （A） 　　　?。˙）　　　　

2、（C）　　 （D） 【命題立意】本題考查圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)，考查雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握雙曲線的 定義、漸近線的求法. 【思路點(diǎn)撥】本題利用條件及雙曲線的定義，構(gòu)造三角形解題. 【規(guī)范解答】選C.由圖意作圖如下.，為線段的垂直平行線，且，，代入雙曲線方程得， 即，把代入得， 即，， ，漸近線方程為，即. 【方法技巧】（1）涉及到圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)用定義解題比較方便；（2）求雙曲線的漸近線時(shí)可令，解出漸近線方程. 3.（2010·遼寧高考理科·Ｔ9）設(shè)雙曲線的—個(gè)焦點(diǎn)為F；虛軸的—個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心

3、率為（ ） (A) (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查了雙曲線的漸近線方程，考查了兩直線垂直的條件，雙曲線的離心率. 【思路點(diǎn)撥】 漸近線方程 直線BF斜率 a、b、c的關(guān)系 關(guān)于離心率e的方程 解出e，注意e 的范圍 【規(guī)范解答】選D.不妨設(shè)雙曲線方程為,焦點(diǎn)F（c,0）,虛軸端點(diǎn)B（0，b）,則漸近線方程為，直線BF的斜率,,即 所以?xún)蛇呁瑫r(shí)除以可得，　解得. 4.（2010·浙江高考文科·Ｔ10）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，,是雙曲線（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)P，滿足∠P=60°，∣OP∣=,則該雙曲線的漸近線方程為

4、（ ） （A）x±y=0 （B）x±y=0 （C）x±=0 （D）±y=0 【命題立意】本題將解析幾何與三角知識(shí)相結(jié)合，主要考察了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何圖形、幾何性質(zhì)、漸近線方程，以及斜三角形的解法，屬中檔題. 【思路點(diǎn)撥】本題先利用雙曲線的定義式及相關(guān)三角形知識(shí)，可解出間的關(guān)系，再求漸近線方程. 【規(guī)范解答】選D.如圖所示，作點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，，。。 在中，由余弦定理，得， 即， ，。與聯(lián)立解得，在中，由余弦定理得 ，，，， 漸近線方程為. 【方法技巧】在有些解決圓錐曲線問(wèn)題，利用圓錐曲線的定義解題

5、有時(shí)更方便. 5.（2010·天津高考理科·Ｔ5）已知雙曲線的一條漸近線方程是y=,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為 ( ) （A） （B） （C） ?。―） 【命題立意】考查雙曲線、拋物線的方程和幾何性質(zhì). 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)雙曲線的漸近線方程和焦點(diǎn)，列方程組，求出和. 【規(guī)范解答】選B，由題意可得， 所以雙曲線方程為. 6.（2010·福建高考理科·Ｔ7）若點(diǎn)O和點(diǎn)F（-2，0）分別為雙曲線的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（ 　?。? A.

6、 B. C. D. 【命題立意】本題主要考查求解雙曲線的方程以及以平面向量為背景的最值的求解,屬中檔題. 【思路點(diǎn)撥】 先求出雙曲線的方程，設(shè)P為動(dòng)點(diǎn)，依題意寫(xiě)出的表達(dá)式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解條件最值的問(wèn)題，利用二次函數(shù)的方法求解. 【規(guī)范解答】選B，雙曲線的方程為，設(shè)， 則， ，又，所以當(dāng)時(shí)， ； 7.（2010·天津高考文科·Ｔ１3）已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同.則雙曲線的方程為 【命題立意】考查雙曲線、拋物線的方程和幾何性質(zhì). 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)雙曲線的漸近線方程和焦點(diǎn)，列方

7、程組，求出和. 【規(guī)范解答】由題意可得， 所以雙曲線方程為. 【答案】 8.（2010·海南高考理科·T12）已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(-12,-15),則E的方程為（　　） （A） （B） （C） （D） 【命題立意】本小題主要考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可先設(shè)出雙曲線的方程，然后聯(lián)立方程組進(jìn)行求解. 【規(guī)范解答】選B.由于AB的中點(diǎn)為N(-12,-15)，所以直線的斜率，所以直線的方程為，由于F(3,0)是E的焦點(diǎn)，可設(shè)雙曲線的方程為 設(shè)，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得

8、 因?yàn)锳B的中點(diǎn)為N(-12,-15)，所以，解得，故選B. 【方法技巧】先根據(jù)題意設(shè)出雙曲線的方程，再利用韋達(dá)定理，列出兩根之和滿足的等式，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)求出參數(shù)，進(jìn)而解決相關(guān)的問(wèn)題. 9.（2010·福建高考文科·Ｔ１3）若雙曲線-=1(b>0)的漸近線方程式為y=，則ｂ等于　　　　　　　 . 【命題立意】本題考查雙曲線的漸近線方程. 【思路點(diǎn)撥】焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程為. 【規(guī)范解答】雙曲線的漸近線方程為，. 【答案】1 【方法技巧】1.由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求其漸近線方程時(shí)，最簡(jiǎn)單實(shí)用的辦法是：把標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0，即可得兩條直線的方程。如雙曲線的漸近線方程為

9、，即；雙曲線的漸近線方程為，即. 2.如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為. 10.（2010·江蘇高考·Ｔ6）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)M到此雙曲線的右焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_________. 【命題立意】本題考查雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用. 求M的坐標(biāo) 求右焦點(diǎn)坐標(biāo) 利用兩點(diǎn)的距離公式求解 【思路點(diǎn)撥】 【規(guī)范解答】,雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0） 由兩點(diǎn)間的距離公式得 【答案】4 11.（2010·北京高考理科·Ｔ１3）已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

10、 ；漸近線方程為 . 【命題立意】本題考查雙曲線與橢圓的基礎(chǔ)知識(shí). 【思路點(diǎn)撥】先由橢圓方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用離心率求，利用求。令求漸近線方程. 【規(guī)范解答】雙曲線的焦點(diǎn)為，。離心率，，。雙曲線方程為。令，得漸近線方程為. 【答案】（，0） 【方法技巧】求雙曲線漸近線時(shí)，可令即可解出漸近線方程. 12.（2010·山東高考理科·Ｔ21）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和. （1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

11、方程； （2）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明； （3）是否存在常數(shù)，使得恒成立？ 若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【命題立意】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試 題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。其中問(wèn)題（3） 是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，考查了考生的觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)離心率和周長(zhǎng)構(gòu)造含有的方程組，可求出橢圓的方程，再根據(jù)雙曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)可求雙曲線的方程;（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再將用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，并利用點(diǎn)P在雙曲線上進(jìn)行化簡(jiǎn)；（3

12、）設(shè)直線AB的斜率為，則由（2）的結(jié)果可將直線CD的斜率用表示，然后設(shè)出直線AB與CD的方程，利用弦長(zhǎng)公式將與表示出來(lái)，最后將用表示出來(lái)，通過(guò)化簡(jiǎn)可判斷是否為常數(shù). 【規(guī)范解答】（1）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）設(shè)點(diǎn)P（，），則=，=，所以= ，又點(diǎn)P（，）在雙曲線上，所以有，即，所以 =1. （3）假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，則由（2）知，所以設(shè)直線AB的方程為，則直線CD的方程為， 由方程組消y得：，設(shè)，， 則由韋達(dá)定理得：

13、 所以|AB|==，同理可得 |CD|===， 又因?yàn)?，所以?+ =，所以存在常數(shù)，使得恒成立。 【方法技巧】解析幾何中的存在判斷型問(wèn)題 1、基本特征：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、圖形)是否存在或某一結(jié)論和參數(shù)無(wú)關(guān). 2、基本策略：通常假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論.其中反證法在解題中起著重要的作用.或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式來(lái)證明該式是恒定的. 13.（2010·廣東高考理科·Ｔ20） 已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2，點(diǎn)，是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)

14、 （1） 求直線A1P與A2 Q交點(diǎn)的軌跡E的方程式； （2） 若過(guò)點(diǎn)H(O, h)（h>1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且 ,求h的值。 【命題立意】本題為解析幾何綜合問(wèn)題，主要考察點(diǎn)的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系. 【思路點(diǎn)撥】（1）利用交軌法求點(diǎn)的軌跡方程； （2）利用互相垂直的兩條直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系，設(shè)出l1和l2 的方程，代入曲線方程后，利用其判別式為零求出的值. 【規(guī)范解答】（1）因?yàn)锳1,A2 分別為的左、右頂點(diǎn)，所以、 ， . 兩式相乘得：，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，代入上式，求得點(diǎn)的軌跡方程為：. (2)設(shè) ，因?yàn)?，所以可設(shè) . 將 代入得： 即： ，因?yàn)榕c只有一個(gè)交點(diǎn)，所以 ，即 ——————（1） 同理，將 代入，因?yàn)榕c只有一個(gè)交點(diǎn)，可得： ， ----------------------------------------------（2） 由（1）、（2）得，解得，所以，， 即 【方法技巧】設(shè)而不求是處理直線與圓錐曲線的常用方法.