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1、第三十講 從創(chuàng)新構(gòu)造入手
有些數(shù)學(xué)問題直接求解比較困難,可通過創(chuàng)造性構(gòu)造轉(zhuǎn)化問題而使問題獲解．
所謂構(gòu)造法，就是綜合運(yùn)用各種知識和方法，依據(jù)問題的條件和結(jié)論給出的信息，把問題作適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚恚畼?gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學(xué)模式，揭示問題的本質(zhì)，從而溝通解題思路的方法。構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維，是建立在對問題結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的深刻認(rèn)識基礎(chǔ)上的．
構(gòu)造法的基本形式是以已知條件為“原料”,以所求結(jié)論為“方向"，構(gòu)造一種新的數(shù)學(xué)形式,初中階段常用的構(gòu)造解題的基本方法有：
1.構(gòu)造方程；
２。構(gòu)造函數(shù)；
３．構(gòu)造圖形；
４。對于存在性問題,構(gòu)造實例；
2、 ５．對于錯誤的命題,構(gòu)造反例；
6.構(gòu)造等價命題等．
【例題求解】
【例1】 設(shè)、、、都為實數(shù)，，滿足，求證：．
思路點(diǎn)撥 可以從展開已知等式、按比例性質(zhì)變形已知等式等角度嘗試．仔細(xì)觀察已知等式特點(diǎn),、可看作方程的兩根，則,通過構(gòu)造方程揭示題設(shè)條件與結(jié)論的內(nèi)在規(guī)律，解題思路新穎而深刻．
?
注:一般說來，構(gòu)造法包含下述兩層意思：利用抽象的普遍性,把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型;利用具體問題的特殊性，給所解決的問題設(shè)計一個框架，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用的數(shù)學(xué)建模是前一層意思的代表，而后一層意思的“框架”含義更為廣泛，如方程、函數(shù)、圖形、“抽屜”等。
【例2】 求代數(shù)式的最小值.
思路點(diǎn)撥
3、 用一般求最值的方法很難求出此代數(shù)式的最小值.
，于是問題轉(zhuǎn)化為:在 軸上求一點(diǎn)C（1,0）,使它到兩點(diǎn)A（一1，1）和B(2，3）的距離和（CＡ+ＣB)最小,利用對稱性可求出Ｃ點(diǎn)坐標(biāo)．這樣,通過構(gòu)造圖形而使問題獲解．
【例３】 已知、為整數(shù),方程的兩根都大于且小于0，求和的值．
思路點(diǎn)撥 利用求根公式,解不等式組求出、的范圍，這是解本例的基本思路,解法繁難.由于二次函數(shù)與二次方程有深刻的內(nèi)在聯(lián)系,構(gòu)造函數(shù)，令，從討論拋物線與軸交點(diǎn)在與0之間所滿足的約束條件入手.
【例４】 如圖,在矩形ＡBＣD中，AＤ＝,AB=,問:能否在Aｂ邊上找一點(diǎn)E，使E點(diǎn)與C、D的連線將此矩形分成三個
4、彼此相似的三角形?若能找到，這樣的E點(diǎn)有幾個?若不能找到，請說明理由.
思路點(diǎn)撥 假設(shè)在AB邊上存在點(diǎn)E,使Rt△ADＥ∽Rt△ＢEC∽Rｔ△ECD,又設(shè)AE=，則，即，于是將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程是否有實根,在一定條件下有幾個實根的研究，通過構(gòu)造方程解決問題。
【例5】 試證:世界上任何6個人,總有3人彼此認(rèn)識或者彼此不認(rèn)識．
思路點(diǎn)撥 構(gòu)造圖形解題，我們把“人”看作“點(diǎn)”，把2個人之間的關(guān)系看作染成顏色的線段．比如２個人彼此認(rèn)識就把連接2個人的對應(yīng)點(diǎn)的線段染成紅色;2個人彼此不認(rèn)識,就把相應(yīng)的線段染成藍(lán)色，這樣,有3個人彼此認(rèn)識就是存在一個3邊都是紅色的三角形,否則就是存在
5、一個３邊都是藍(lán)色的三角形,這樣本題就化作：
已知有６個點(diǎn),任何3點(diǎn)不共線，每2點(diǎn)之間用線段連結(jié)起來，并染上紅色或藍(lán)色，并且一條邊只能染成一種顏色．證明:不管怎么染色,總可以找出三邊同色的三角形.
注：“數(shù)缺形時少直觀，形缺少時難入微”數(shù)形互助是一種重要的思想方法,主要體現(xiàn)在：
（１)幾何問題代數(shù)化；
(２)利用圖形圖表解代數(shù)問題;
（3）構(gòu)造函數(shù)，借用函數(shù)圖象探討方程的解.
利用代數(shù)法解幾何題,往往是以較少的量的字母表示相關(guān)的幾何量,根據(jù)幾何圖形性質(zhì)列出代數(shù)式或方程(組)，再進(jìn)行計算或證明．
特別地，證明幾何存在性的問題可構(gòu)造方程,利用一元二次方程
6、必定有解的的的代數(shù)模型求證；應(yīng)用為韋達(dá)定理，討論幾何圖形位置的可能性．
有些問題可通過改變形式或換個說法，構(gòu)造等價命題或輔助命題，使問題清晰且易于把握.
對于存在性問題，可根據(jù)問題要求構(gòu)造出一個滿足條件的結(jié)論對象，即所謂的存在性問題的“構(gòu)造性證明”。
學(xué)歷訓(xùn)練
1．若關(guān)于的方程的所有根都是比1小的正實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 .
２．已知、、、是四個不同的有理數(shù)，且,，那么的值是 ．
３。代數(shù)式的最小值為 。
４.A、B、C、D、Ｅ、Ｆ六個足球隊單循
7、環(huán)賽,已知A、B、C、D、E五個隊已經(jīng)分別比賽 了5、4、3、2、1場，則還未與B隊比賽的球隊是 ．
5．若實數(shù)、滿足,且,則的取值范圍是 ．
6。設(shè)實數(shù)分別、分別滿足，,并且,求的值．
7．已知實數(shù)、、滿足，求證:．
8．寫出1０個不同的自然數(shù)，使得它們中的每個是這10個數(shù)和的一個約數(shù)，并說明寫出的10個自然數(shù)符合題設(shè)條件的理由．
9.求所有的實數(shù)，使得 ．
10．若是不全為零且絕對值都小于1０6的整數(shù)。求證:.
１1．已知關(guān)于的方程有四個不同的實根，求的取值范圍．
１2.設(shè)0,求證.
１3．從自然數(shù)l,2,3，…354中任取178個數(shù)，試證:其中必有兩個數(shù),它們的差為１77．
14．已知、、、、是滿足，的實數(shù)，試確定的最大值。
15．如圖,已知一等腰梯形,其底為和，高為.
(1)在梯形的對稱軸上求作點(diǎn)P，使從點(diǎn)P看兩腰的視角為直角；
（2）求點(diǎn)P到兩底邊的距離；
(３）在什么條件下可作出Ｐ點(diǎn)？
參考答案
文中如有不足，請您指教！
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第三十講 從創(chuàng)新構(gòu)造入手
