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1、第八章 平面向量
一、基礎(chǔ)知識(shí)
定義1 既有大小又有方向的量,稱為向量。畫(huà)圖時(shí)用有向線段來(lái)表示,線段的長(zhǎng)度表示向量的模。向量的符號(hào)用兩個(gè)大寫(xiě)字母上面加箭頭,或一個(gè)小寫(xiě)字母上面加箭頭表示。書(shū)中用黑體表示向量,如a. |a|表示向量的模,模為零的向量稱為零向量,規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模為1的向量稱為單位向量。
定義2 方向相同或相反的向量稱為平行向量(或共線向量),規(guī)定零向量與任意一個(gè)非零向量平行和結(jié)合律。
定理1 向量的運(yùn)算,加法滿足平行四邊形法規(guī),減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結(jié)合律。
定理2 非零向量a, b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)0
2、,使得a=f
定理3 平面向量的基本定理,若平面內(nèi)的向量a, b不共線,則對(duì)同一平面內(nèi)任意向是c,存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x, y,使得c=xa+yb,其中a, b稱為一組基底。
定義3 向量的坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系中,取與x軸,y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i, j作為基底,任取一個(gè)向量c,由定理3可知存在唯一一組實(shí)數(shù)x, y,使得c=xi+yi,則(x, y)叫做c坐標(biāo)。
定義4 向量的數(shù)量積,若非零向量a, b的夾角為,則a, b的數(shù)量積記作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos,也稱內(nèi)積,其中|b|cos叫做b在a上的投影(注:投影可能為負(fù)值)。
定理4 平面向
3、量的坐標(biāo)運(yùn)算:若a=(x1, y1), b=(x2, y2),
1.a(chǎn)+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2),
2.λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c,
3.a(chǎn)·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),
4. a//bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.
定義5 若點(diǎn)P是直線P1P2上異于p1,p2的一點(diǎn),則存在唯一實(shí)數(shù)λ,使,λ叫P分所成的比,若O為平面內(nèi)任意一點(diǎn),則。由此可得若P1,P,P2的坐標(biāo)分別為(x1, y1), (x, y), (x2, y2),則
定義6 設(shè)F是坐標(biāo)
4、平面內(nèi)的一個(gè)圖形,將F上所有的點(diǎn)按照向量a=(h, k)的方向,平移|a|=個(gè)單位得到圖形,這一過(guò)程叫做平移。設(shè)p(x, y)是F上任意一點(diǎn),平移到上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,則稱為平移公式。
定理5 對(duì)于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|.
【證明】 因?yàn)閨a|2·|b|2-|a·b|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0,
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注:本定理的兩個(gè)結(jié)論均可推
5、廣。1)對(duì)n維向量,a=(x1, x2,…,xn),b=(y1, y2, …, yn),同樣有|a·b|≤|a|·|b|,化簡(jiǎn)即為柯西不等式: (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0,
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注:本定理的兩個(gè)結(jié)論均可推廣。1)對(duì)n維向量,a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn),同樣有|a·b|≤|a|·|b|,化簡(jiǎn)即為柯西不等式:(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2)對(duì)于任意n個(gè)向量,a1, a2, …,an,
6、有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。
二、方向與例題
1.向量定義和運(yùn)算法則的運(yùn)用。
例1 設(shè)O是正n邊形A1A2…An的中心,求證:
【證明】 記,若,則將正n邊形繞中心O旋轉(zhuǎn)后與原正n邊形重合,所以不變,這不可能,所以
例2 給定△ABC,求證:G是△ABC重心的充要條件是
【證明】必要性。如圖所示,設(shè)各邊中點(diǎn)分別為D,E,F(xiàn),延長(zhǎng)AD至P,使DP=GD,則
又因?yàn)锽C與GP互相平分,
所以BPCG為平行四邊形,所以BGPC,所以
所以
充分性。若,延長(zhǎng)AG交BC于D,使GP=AG,連結(jié)CP,則因?yàn)椋瑒t,所以GBCP,所以AG平分
7、BC。
同理BG平分CA。
所以G為重心。
例3 在凸四邊形ABCD中,P和Q分別為對(duì)角線BD和AC的中點(diǎn),求證:AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【證明】 如圖所示,結(jié)結(jié)BQ,QD。
因?yàn)椋?
所以
=·
= ①
又因?yàn)?
同理 , ②
, ③
由①,②,③可得
。得證。
2.證利用定理2證明共線。
例4 △ABC外心為O,垂心為H,重心為G。求證:O,G,H為共線,且OG:GH=1:2。
【證明】 首先
=
其次設(shè)BO交外接圓于另一點(diǎn)E,則連結(jié)CE后得CE
又AHBC,所以AH//CE。
又EAAB
8、,CHAB,所以AHCE為平行四邊形。
所以
所以,
所以,
所以與共線,所以O(shè),G,H共線。
所以O(shè)G:GH=1:2。
3.利用數(shù)量積證明垂直。
例5 給定非零向量a, b. 求證:|a+b|=|a-b|的充要條件是ab.
【證明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab.
例6 已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,D為AB中點(diǎn),E為△ACD重心。求證:OECD。
【證明】 設(shè),
則,
又,
所以
a·(b-c). (因?yàn)閨a|2=|b|2=|c|2=|OH|2)
又因?yàn)锳B=AC,
9、OB=OC,所以O(shè)A為BC的中垂線。
所以a·(b-c)=0. 所以O(shè)ECD。
4.向量的坐標(biāo)運(yùn)算。
例7 已知四邊形ABCD是正方形,BE//AC,AC=CE,EC的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證:AF=AE。
【證明】 如圖所示,以CD所在的直線為x軸,以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,則A,B坐標(biāo)分別為(-1,1)和(0,1),設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, y),則=(x, y-1), ,因?yàn)?,所?x-(y-1)=0.
又因?yàn)?,所以x2+y2=2.
由①,②解得
所以
設(shè),則。由和共線得
所以,即F,
所以=4+,所以AF=AE。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1.以下
10、命題中正確的是__________. ①a=b的充要條件是|a|=|b|,且a//b;②(a·b)·c=(a·c)·b;③若a·b=a·c,則b=c;④若a, b不共線,則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m, y=n;⑤若,且a, b共線,則A,B,C,D共線;⑥a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影為-4。
2.已知正六邊形ABCDEF,在下列表達(dá)式中:①;②;③ ;④與,相等的有__________.
3.已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0,則|x|+|y|=__________.
4.設(shè)s, t為非零實(shí)數(shù),a, b為單位向量,若|sa+t
11、b|=|ta-sb|,則a和b的夾角為_(kāi)_________.
5.已知a, b不共線,=a+kb, =la+b,則“kl-1=0”是“M,N,P共線”的__________條件.
6.在△ABC中,M是AC中點(diǎn),N是AB的三等分點(diǎn),且,BM與CN交于D,若,則λ=__________.
7.已知不共線,點(diǎn)C分所成的比為2,,則__________.
8.已知=b, a·b=|a-b|=2,當(dāng)△AOB面積最大時(shí),a與b的夾角為_(kāi)_________.
9.把函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后得到y(tǒng)=2x2的圖象,c=(1, -1), 若,c·b=4,則b的坐標(biāo)為_(kāi)_______
12、__.
10.將向量a=(2, 1)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到向量b,則b的坐標(biāo)為_(kāi)_________.
11.在Rt△BAC中,已知BC=a,若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn),試問(wèn)與的夾角取何值時(shí)的值最大?并求出這個(gè)最大值。
12.在四邊形ABCD中,,如果a·b=b·c=c·d=d·a,試判斷四邊形ABCD的形狀。
四、高考水平訓(xùn)練題
1.點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是此平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足 則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的________心。
2.在△ABC中,,且a·b<0,則△ABC的形狀是__________.
3.非零向量,若點(diǎn)B關(guān)于所在直線對(duì)稱的
13、點(diǎn)為B1,則=__________.
4.若O為△ABC 的內(nèi)心,且,則△ABC 的形狀為_(kāi)_________.
5.設(shè)O點(diǎn)在△ABC 內(nèi)部,且,則△AOB與△AOC的面積比為_(kāi)_________.
6.P是△ABC所在平面上一點(diǎn),若,則P是△ABC 的__________心.
7.已知,則||的取值范圍是__________.
8.已知a=(2, 1), b=(λ, 1),若a與b的夾角為銳角,則λ的取值范圍是__________.
9.在△ABC中,O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若AM=2,則的最小值為_(kāi)_________.
10.已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3,
14、4), λ∈R},集合N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.
11.設(shè)G為△ABO的重心,過(guò)G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q,已知,△OAB與△OPQ的面積分別為S和T,
(1)求y=f(x)的解析式及定義域;(2)求的取值范圍。
12.已知兩點(diǎn)M(-1,0),N(1,0),有一點(diǎn)P使得成公差小于零的等差數(shù)列。
(1)試問(wèn)點(diǎn)P的軌跡是什么?(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0, y0), 為與的夾角,求tan.
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1.在直角坐標(biāo)系內(nèi),O為原點(diǎn),點(diǎn)A,B坐標(biāo)分別為(1,0),(0,2),當(dāng)實(shí)數(shù)p, q滿足時(shí),
15、若點(diǎn)C,D分別在x軸,y軸上,且,則直線CD恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn),這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________.
2.p為△ABC內(nèi)心,角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a, b, c. O為平面內(nèi)任意一點(diǎn),則=___________(用a, b, c, x, y, z表示).
3.已知平面上三個(gè)向量a, b, c均為單位向量,且兩兩的夾角均為1200,若|ka+b+c|>1(k∈R),則k的取值范圍是___________.
4.平面內(nèi)四點(diǎn)A,B,C,D滿足,則的取值有___________個(gè).
5.已知A1A2A3A4A5是半徑為r的⊙O內(nèi)接正五邊形,P為⊙O上任意一點(diǎn),則取值的集合是_________
16、__.
6.O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),A,B,C為△ABC 的角,若sinA·+sinB·+sinC·,則點(diǎn)O為△ABC 的___________心.
7.對(duì)于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)(a-b)”的___________條件.
8.在△ABC 中,,又(c·b):(b·a):(a·c)=1:2:3,則△ABC 三邊長(zhǎng)之比|a|:|b|:|c|=____________.
9.已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且,CP交AB于D,求證:
10.已知△ABC的垂心為H,△HBC,△HCA,△HAB的外心分別為O1,O2,O3,令,求證:(1)2p=b+c-a;(2)H
17、為△O1O2O3的外心。
11.設(shè)坐標(biāo)平面上全部向量的集合為V,a=(a1, a2)為V中的一個(gè)單位向量,已知從V到的變換T,由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)確定,
(1)對(duì)于V的任意兩個(gè)向量x, y, 求證:T(x)·T(y)=x·y;
(2)對(duì)于V的任意向量x,計(jì)算T[T(x)]-x;
(3)設(shè)u=(1, 0);,若,求a.
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1.已知A,B為兩條定直線AX,BY上的定點(diǎn),P和R為射線AX上兩點(diǎn),Q和S為射線BY上的兩點(diǎn),為定比,M,N,T分別為線段AB,PQ,RS上的點(diǎn),為另一定比,試問(wèn)M,N,T三點(diǎn)的位置關(guān)系如何?證明你的結(jié)論。
2.已知A
18、C,CE是正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線,點(diǎn)M,N分別內(nèi)分AC,CE,使得AM:AC=CN:CE=r,如果B,M,N三點(diǎn)共線,求r.
3.在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個(gè)不同于頂點(diǎn)A,B的點(diǎn)M,點(diǎn)P,Q,R,S是M分別在直線AD,AB,BC,CD上的射影,求證:直線PQ與RS互相垂直。
4.在△ABC內(nèi),設(shè)D及E是BC的三等分點(diǎn),D在B和F之間,F(xiàn)是AC的中點(diǎn),G是AB的中點(diǎn),又設(shè)H是線段EG和DF的交點(diǎn),求比值EH:HG。
5.是否存在四個(gè)平面向量,兩兩不共線,其中任何兩個(gè)向量之和均與其余兩個(gè)向量之和垂直?
6.已知點(diǎn)O在凸多邊形A1A2…An內(nèi),考慮所有的AiOAj,這里的i, j為1至n中不同的自然數(shù),求證:其中至少有n-1個(gè)不是銳角。
7.如圖,在△ABC中,O為外心,三條高AD,BE,CF交于點(diǎn)H,直線ED和AB交于點(diǎn)M,F(xiàn)D和AC交于點(diǎn)N,求證:(1)OBDF,OCDE,(2)OHMN。
8.平面上兩個(gè)正三角形△A1B1C1和△A2B2C2,字母排列順序一致,過(guò)平面上一點(diǎn)O作,求證△ABC為正三角形。
9.在平面上給出和為的向量a, b, c, d,任何兩個(gè)不共線,求證:
|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.