高中平面解析幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(直線、圓、橢圓、曲線).doc
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高中平面解析幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 一.直線部分 1.直線的傾斜角與斜率: (1)直線的傾斜角:在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于一條與軸相交的直線,如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為叫做直線的傾斜角. 傾斜角,斜率不存在. (2)直線的斜率:.兩點(diǎn)坐標(biāo)為、. 2.直線方程的五種形式: (1)點(diǎn)斜式: (直線過(guò)點(diǎn),且斜率為). 注:當(dāng)直線斜率不存在時(shí),不能用點(diǎn)斜式表示,此時(shí)方程為. (2)斜截式: (b為直線在y軸上的截距). (3)兩點(diǎn)式: (,). 注:① 不能表示與軸和軸垂直的直線; ② 方程形式為:時(shí),方程可以表示任意直線. (4)截距式: (分別為軸軸上的截距,且). 注:不能表示與軸垂直的直線,也不能表示與軸垂直的直線,特別是不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線. (5)一般式: (其中A、B不同時(shí)為0). 一般式化為斜截式:,即,直線的斜率:. 注:(1)已知直線縱截距,常設(shè)其方程為或. 已知直線橫截距,常設(shè)其方程為(直線斜率k存在時(shí),為k的倒數(shù))或. 已知直線過(guò)點(diǎn),常設(shè)其方程為或. (2)解析幾何中研究?jī)蓷l直線位置關(guān)系時(shí),兩條直線有可能重合;立體幾何中兩條直線一般不重合. 3.直線在坐標(biāo)軸上的截矩可正,可負(fù),也可為0. (1)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等直線的斜率為或直線過(guò)原點(diǎn). (2)直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn). (3)直線兩截距絕對(duì)值相等直線的斜率為或直線過(guò)原點(diǎn). 4.兩條直線的平行和垂直: (1)若,,有 ① ; ② . (2)若,,有 ① ; ② . 5.平面兩點(diǎn)距離公式: (1)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)、,則兩點(diǎn)間距離. (2)軸上兩點(diǎn)間距離:. (3)線段的中點(diǎn)是,則 . 6.點(diǎn)到直線的距離公式: 點(diǎn)到直線的距離:. 7.兩平行直線間的距離公式: 兩條平行直線的距離:. 8.直線系方程: (1)平行直線系方程: ① 直線中當(dāng)斜率一定而變動(dòng)時(shí),表示平行直線系方程. ② 與直線平行的直線可表示為. ③ 過(guò)點(diǎn)與直線平行的直線可表示為:. (2)垂直直線系方程: ① 與直線垂直的直線可表示為. ② 過(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線可表示為:. (3)定點(diǎn)直線系方程: ① 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù). ② 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù). (4)共點(diǎn)直線系方程:經(jīng)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程為 (除開(kāi)),其中λ是待定的系數(shù). 9.兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo): 曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo)方程組的解. 10.平面和空間直線參數(shù)方程: ① 平面直線方程以向量形式給出: 方向向量為下面推導(dǎo)參數(shù)方程: ② 空間直線方程也以向量形式給出: 方向向量為 下面推導(dǎo)參數(shù)方程: 注意:只有封閉曲線才會(huì)產(chǎn)生參數(shù)方程,對(duì)于無(wú)限曲線,例如二次函數(shù)一般不會(huì)有化為如上的參數(shù)方程。 二.圓部分 1.圓的方程: (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(). (2)圓的一般方程:. (3)圓的直徑式方程:若,以線段為直徑的圓的方程是:. 注:(1)在圓的一般方程中,圓心坐標(biāo)和半徑分別是,. (2)一般方程的特點(diǎn): ① 和的系數(shù)相同且不為零;② 沒(méi)有項(xiàng); ③ (3)二元二次方程表示圓的等價(jià)條件是: ① ; ② ; ③ . 2.圓的弦長(zhǎng)的求法: (1)幾何法:當(dāng)直線和圓相交時(shí),設(shè)弦長(zhǎng)為,弦心距為,半徑為, 則:“半弦長(zhǎng)+弦心距=半徑”——; (2)代數(shù)法:設(shè)的斜率為,與圓交點(diǎn)分別為,則 (其中的求法是將直線和圓的方程聯(lián)立消去或,利用韋達(dá)定理求解) 3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系: 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種 ① 在在圓外. ② 在在圓內(nèi). ③ 在在圓上. 【到圓心距離】 4.直線與圓的位置關(guān)系: 直線與圓的位置關(guān)系有三種: 圓心到直線距離為(),由直線和圓聯(lián)立方程組消去(或)后,所得一元二次方程的判別式為. ; ; . 5.兩圓位置關(guān)系: 設(shè)兩圓圓心分別為,半徑分別為, ; ; ; ; . 6.圓系方程: (1)過(guò)直線與圓:的交點(diǎn)的圓系方程:,λ是待定的系數(shù). (2)過(guò)圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程: ,λ是待定的系數(shù). 特別地,當(dāng)時(shí),就是 表示兩圓的公共弦所在的直線方程,即過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線. 7.圓的切線方程: (1)過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程為:. (2)過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程為: . (3)當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí),可設(shè)切方程為,利用圓心到直線距離等于半徑, 即,求出;或利用,求出.若求得只有一值,則還有一條斜率不存在的直線. 8. 圓的參數(shù)方程: 圓方程參數(shù)方程源于: 那么 設(shè): 得: 9.把兩圓與方程相減 即得相交弦所在直線方程: . 10.對(duì)稱問(wèn)題: (1)中心對(duì)稱: ① 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱:點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn). ② 直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱: 法1:在直線上取兩點(diǎn),利用中點(diǎn)公式求出兩點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo),由兩點(diǎn)式求直線方程. 法2:求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn),在利用由點(diǎn)斜式得出直線方程. (2)軸對(duì)稱: ① 點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱:點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)連線斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù),點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上. 點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱 . ② 直線關(guān)于直線對(duì)稱:(設(shè)關(guān)于對(duì)稱) 法1:若相交,求出交點(diǎn)坐標(biāo),并在直線上任取一點(diǎn),求該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn). 若,則,且與的距離相等. 法2:求出上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),在由兩點(diǎn)式求出直線的方程. (3)其他對(duì)稱: 點(diǎn)(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱:(a,-b); 關(guān)于y軸對(duì)稱:(-a,b); 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱:(-a,-b); 點(diǎn)(a,b)關(guān)于直線y=x對(duì)稱:(b,a); 關(guān)于y=-x對(duì)稱:(-b,-a); 關(guān)于y =x+m對(duì)稱:(b-m、a+m); 關(guān)于y=-x+m對(duì)稱:(-b+m、-a+m). 11.若,則△ABC的重心G的坐標(biāo)是. 12.各種角的范圍: 直線的傾斜角 兩條相交直線的夾角 兩條異面線所成的角 三.橢圓部分 1.橢圓定義: ① 到兩定點(diǎn)距離之和為一常數(shù)的平面幾何曲線:即∣MO1∣+∣MO2∣=2a ② 或定義:任意一條線段,在線段中任取兩點(diǎn)(不包括兩端點(diǎn)),將線段兩端點(diǎn)置于這兩點(diǎn)處,用一個(gè)釘子將線段繃直旋轉(zhuǎn)一周得到的平面幾何曲線即為橢圓。 ③ 從橢圓定義出發(fā)得到一個(gè)基本結(jié)論:橢圓上任意一點(diǎn)引出的兩個(gè)焦半徑之和為常數(shù)2a。 2.橢圓性質(zhì): ①由于橢圓上任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和為常數(shù),所以從A點(diǎn)向焦點(diǎn)引兩條焦半徑 ∣AO1∣+∣AO2∣=∣AO2∣+∣O2B∣=2a 這是因?yàn)楱OAO1∣=∣O2B∣(由圖形比較看出) ② 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: ③ 橢圓參數(shù)方程: 從圓方程知: 圓方程參數(shù)方程源于: 所以按上面邏輯將橢圓方程 視為 設(shè) 得: 同理橢圓參數(shù)方程為: 得: ④由于兩個(gè)焦半徑和為2a 所以 得: 得: ⑤ 橢圓離心率,來(lái)源于圓的定義: 圓實(shí)際上是一種特殊的橢圓,而圓不過(guò)是兩個(gè)焦點(diǎn)與坐標(biāo)圓點(diǎn)重合罷了。 橢圓離心率為 四.雙曲線部分 1.雙曲線定義:到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)的平面幾何圖形,即: ① 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程: ② 由于雙曲線上任意一點(diǎn)兩個(gè)焦點(diǎn)之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a. ③ 雙曲線的漸近線: 由標(biāo)準(zhǔn)方程知: 若標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,那么這時(shí) 注意y下面對(duì)應(yīng)b,x下面對(duì)應(yīng)a. ④ 取x=a及x=-a兩條直線,它們與漸近線的兩個(gè)焦點(diǎn)的連線和y軸的交點(diǎn)稱為虛焦點(diǎn), 該軸稱為虛軸。 ⑤ 推導(dǎo)a、b、c之間的關(guān)系: 設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)M(x,y) 設(shè): 從而得到: 五. 拋物線部分 1. 定義:到定點(diǎn)與定直線距離相等的平面曲線稱為拋物線。 為了推導(dǎo)拋物線標(biāo)準(zhǔn)式,設(shè):定直線為x=-p,定點(diǎn)為O1(p,0), (盡管這是一種特殊情況,但同樣具有一般性) ① 設(shè):拋物線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為M(x,y) M點(diǎn)到定直線x=-p的距離為 M點(diǎn)到定點(diǎn)O1(p,0)的距離為 ② 很顯然與以前學(xué)習(xí)的二次函數(shù)是一致的,只不過(guò)這里自變量變成y,函數(shù)變成x;而二次函數(shù)自變量是x,函數(shù)是y,因而二次函數(shù)也是拋物線,同樣具有拋物線的性質(zhì)。 如下: 韋達(dá)定理:⑴ . ⑵. 頂點(diǎn)坐標(biāo) ,推導(dǎo)采用配方法: ⑶ 求根公式: 從而零點(diǎn)坐標(biāo)為。 ③ 平移 注意,平移部分需要自己琢磨,根據(jù)上面三個(gè)例子. - 11 -- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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