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1、第七章 數(shù)字濾波器的設計,濾波器在實際信號處理中起到了非常重要的作用。任何檢測的信號都含有噪聲，而濾波是去除噪聲的基本手段。本章介紹IIR濾波器和FIR濾波器的設計。IIR濾波器設計主要內容包括：巴特沃思、切比雪夫模擬低通濾波器設計；脈沖響應不變法和雙線性變換法的數(shù)字化變換方法；數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計。而FIR濾波器是直接采用的數(shù)字式設計方法。針對FIR濾波器特征，首先介紹了其線性相位的實現(xiàn)條件，然后介紹了窗函數(shù)法和頻率抽樣法的設計方法。, 7.1 概述,7.1.1 濾波器的分類 這里主要討論經典濾波器的設計。 按功能劃分經典濾波器又可分為低通、高通、帶通、帶阻四種濾波器,,
2、圖7-1 理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器幅度特性,經典濾波器設計從實現(xiàn)方法上分為IIR濾波器和FIR濾波器。它是一個線性時不變離散時間系統(tǒng)，如果濾波器用單位脈沖響應序列 表示，其輸入 與輸出 之間的關系可以表示為：,,的Z變換稱為系統(tǒng)函數(shù)。IIR濾波器和FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分別是：,,7.1.2 數(shù)字濾波器的性能要求,一個理想濾波器，要求所在通頻帶內幅頻響應是一常數(shù)；相位頻率相應為零或是頻率的線性函數(shù)。但一個實際的濾波器要是不可能得到上述幅頻和相頻響應。以低通濾波器為例，頻率響應有通帶、過渡帶及阻帶三個范圍。,1 ：通帶衰減 2 ：阻帶衰減 c ：通帶截止頻率 st
3、：阻帶截止頻率 c st ：過渡帶,圖7-2 逼近理想低通濾波器得容限圖,通帶最大衰減,。,當幅度下降到 ， ，此時 ，稱 為3dB通帶截止頻率。,,,,,阻帶最小衰減,7.1.3 數(shù)字濾波器設計方法概述,設計IIR數(shù)字濾波器一般有以下兩種方法： 1. 模擬濾波器:首先設計一個合適的模擬濾波器，然后將它轉換成滿足給定指標的數(shù)字濾波器，這種方法適合于設計幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等。 2.直接在頻域或者時域中進行數(shù)字濾波器設計，由于要聯(lián)立方程，設計時需要計算機作輔助設計。,7.2無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計,1.設計的一般方法,IIR濾波器以模擬低通濾波器為基礎的設
4、計方法，為了設計其他的選頻濾波器（高通，帶通，帶阻等），需要對低通濾波器進行頻率轉換，在設計過程中有兩種不同的變換,頻帶變換和模擬/數(shù)字變換。根據(jù)這兩種變換的先后次序，引出兩種設計方法。,,圖7-3 IIR濾波器的設計流程,2.巴特沃思低通濾波器 （1）基本性質 巴特沃思濾波器以巴特沃思函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。巴特沃斯濾波器是根據(jù)幅頻特性在通頻帶內具有最平坦特性定義的濾波器。,(7.2.1).下面歸納了巴特沃斯濾波器的主要特征 a.對所有的N， 。,巴特沃思濾波器的低通模平方函數(shù)表示,,b. 對所有的N，,即,c. 是 的單調下降函數(shù)。,d. 隨著階次N的增大而更接近
5、于理想低通濾波器。,如圖7-4，可以看出濾波器的幅頻特性隨著濾波器階次N的增加而變得越來越好，在截止頻率 處的函數(shù)值始終為1/2的情況下，通帶內有更多的頻帶區(qū)的值接近于1；在阻帶內更迅速的趨近于零。,圖7-4 巴特沃思低通濾波平方幅頻特性函數(shù),在以后的設計和分析時，經常用歸一化巴特沃思低通濾波器為原型濾波器，一旦歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)確定后，其它巴特沃思低通濾波、高通、帶通、帶阻濾波器的傳遞函數(shù)都可以通過變換法從歸一化低通原型的傳遞函數(shù) 得到。歸一化原型濾波器是指截止頻率 已經歸一化成 的低通濾波器。對于截止頻率為某個 的低通濾波器，則令 代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 ，
6、即 對于其他高通、帶通、帶阻濾波器，可應用后面討論到的頻帶變換法，由其變換得出。,,(2)系統(tǒng)函數(shù)和極點分布 設巴特沃斯的系統(tǒng)函數(shù) ，則頻率響應是,,,令上式分母為零可以得到 的2N個極點Sk,,,并解得當N為偶數(shù)時則,N為奇數(shù)：,,的極點均勻分布在s平面的單位圓上，共有2N個角度間隔為/N的極點，極點關于j軸對稱，不會落在虛軸上。將左半平面的極點構成 。,(3)設計過程,巴特沃思低通濾波技術指標關系式為 ； 為通帶邊界頻率 ； 為阻帶邊界頻率,代入（7.2.1） 化簡后得 兩式相比消去后得 由此得 取滿足上式的最小整數(shù)N作為濾波器的階數(shù)。,將N
7、 帶入式（7.2.4）或式(7.2.5)可得截止頻率 或 查表求得歸一化傳輸函數(shù) ,令 代替歸一化原 型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 , 即 代入 ，即得到實際濾波器傳輸函數(shù)。,例7.1 設計一巴特沃思低通濾波器，使其滿足以下指標: 通帶邊頻 ,通帶的最大衰減為 ，阻帶邊頻為 ,阻帶的最小衰減為 。,解:濾波器技術指標為 ， ， , 確定階次N，代入式（7.2.6） 取 N=4 查表得四階巴特沃思多項式，得歸一化系統(tǒng)函數(shù)表 達式 由式（7.2.7）得 用 替換式（7.2.8）中的s，構成巴特沃思濾波器傳輸函數(shù)H(s)為,3. 切比雪夫I
8、濾波器,切比雪夫I型濾波器的幅度平方函數(shù)為,（1）基本性質,,是N階切比雪夫多項式，定義為,,,N=0，C0(x)=1 N=1, C1(x)=x N=2, C2(x)=2x2-1=2xC1(x)-C0(x),迭代公式：CN(x)=2xCN-1(x)-CN-2(x) N1,N=偶數(shù)，CN(x)為偶函數(shù) N=奇數(shù)，CN(x)為奇函數(shù),切比雪夫多項式曲線,1) x:0, 1 設：=Ncos-1x , x: 01,N=0 , =0 C0(x):1,N=1 , :/2 0, C1(x):01,,,N=2 , : /2 0, C2(x):-1 01,,N=3 , : 3 /2 0, C2(x
9、):0 -1 01,,N=4 , : 2 0, C2(x):1 0 -1 01,,2) x:1, ),,,,,x=0, N=even, |CN(0)|=1, N=odd, CN(0)=0 x=1, CN(1)=1 |x|1, CN(x)在-1, +1之間波動， N增加，波動次數(shù)增加 |x|1, CN(x)單調上升，N增加，上升速度增加。,,切比雪夫濾波器的幅頻響應有如下特點： 1)0 時，曲線單調下降, 越大，N越大，曲線衰 減越快。,(2)設計過程 1)根據(jù)要求的濾波器指標確定波紋參數(shù) 和階數(shù)N。 由允許的通帶波紋 確定。則 濾波器的階數(shù)N由阻帶允許的衰減確定。 2)查表求得歸一化傳輸
10、函數(shù) ,令 代替歸 一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 ，即得到實際濾波 器傳輸函數(shù) 。,1.變換原理,數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)正好等于模擬濾波器的沖激響應ha(t)的采樣值，即 h(n)=ha(nT), T為采樣周期.如以 Ha(s) 及 H（z）分別表示 ha(t) 的拉氏變換及 h(n) 的Z變換，即,數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 便是的Z變換 。,7.2.2脈沖響應不變法( Impulse Invariance ),下面我們分析從模擬濾波器到數(shù)字濾波器S平面和Z平面之間的映射關系。,設,抽樣信號,抽樣信號的拉氏變換,序列h(n)的z變換,,,,,,,,,,,,(2) 抽樣信號與原信
11、號關系,2.混疊失真,利用抽樣序列的Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關系，得,,,由采樣定律可知，如果模擬濾波器的頻率響應帶限于折疊頻率 以內,,這時數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響（存在于折疊頻率,以內）,但任何一個實際的模擬濾波器，其頻率響應都不可能是嚴格帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊，即產生頻率響應的混疊失真。,原模擬信號的頻帶不是限于,之間，則會在,的奇數(shù)倍附近產生頻率混疊，從而映射到Z平面上，,附近產生頻率混疊。這種頻率混疊現(xiàn)象會使設計出的數(shù)字濾波器在 附近的頻率特性，程度不同的偏離模擬濾波器在 附近的頻率特性，嚴重時使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術指
12、標。,解決混疊的方法： 1)濾波器指標以模擬域形式給出，此時,已確定，采樣頻率T增加，混疊減小。,未確定，但,已定，采樣頻率增加，為保證,不變，必有,增加，增加濾波器的階數(shù)N，混疊,2)濾波器指標以數(shù)字域形式給出，此時,減小。,設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)若只有單階極點，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù) NM，則可表達為部分分式形式 其拉氏反變換為 是單位階躍函數(shù)，對ha(t)采樣得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列,3.數(shù)字化設計,再對h(n)取Z 變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù),第二個求和為等比級數(shù)之和，要收斂的話 必有,所以,例7.2 IIR低通濾波器的設計指標如下： 1）通帶截止頻率
13、P0.1rad， 阻帶起始頻率s0.25rad 2）通帶最大衰減p=3dB， 阻帶最小衰減s=15dB,4.設計舉例,解：,1) 根據(jù)DF指標, 將DF指標轉換為歸一化LPF指標,4) 求H(z),7.2.3雙線性變換法 （Bilinear Transform),1.變換原理,s平面到z平面的映射關系 二次映射法 為了將S平面的j軸壓縮到S1平面j1軸上的 到 一段上，可通過以下的正切變換實現(xiàn)： （7.2.11）,,,,這里C是待定常數(shù)，下面會講到用不同的方法確定C 。,當 由 時, 由 經過變化到 ，即S平面的整個 軸被壓縮到S1平面的 一
14、段. 式（7.2.11）又可以寫成 將這一關系解析擴展至整個S平面， 則得到S平面到S1平面的映射關系： 再將 S1 平面通過標準變換關系映射到Z平面，即令,從而得到s平面與z平面的單值映射關系,(7.2.12),2.變換常數(shù)的選擇,式（7.2.11）中常數(shù)的選擇可以使模擬濾波器的頻響特性和數(shù)字濾波器的頻響特性在不同的頻率范圍有對應的關系，起到調節(jié)二者頻帶間關系的作用。選擇的方法有兩種。,1)使模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻響特性在低頻部分有較確切的對應關系，即當 較小時，有,由此得,2)使數(shù)字濾波器的某一特定頻率(例如截止頻率 與模擬原型濾波器的特定頻率 嚴格對應，即,,由于在待定的
15、模擬頻率和待定的數(shù)字頻率處頻率響應應嚴格相等，因而可以較準確的控制截止頻率位置。,,,,,,,,,S/2,-S/2,,,,3. 模擬角頻率和數(shù)字角頻率的映射關系,,,,總結計算H(Z)步驟如下： 設給定數(shù)字低通濾波器的通帶截止頻率 、阻帶截止頻率 、通帶波動 和阻帶波動 。 (1)利用公式 對通帶和阻帶截止頻率 和 進行預畸變，求出模擬低通濾波器的通帶和阻帶截止頻率 和 。預畸變函數(shù)式為 (2)求滿足指標 、 、 和 要求的模擬低通濾波器的傳輸函數(shù) 。 (3)利用雙線性變換公式 將 映射成,4.數(shù)字化設計,例7.3 設計IIR濾波器代替如下性能的模擬LPF: 1)fp=50Hz
16、 fs=125Hz 2)p3dB, s15dB 3)采樣頻率f=1kHz,解: 1)用脈沖響應不變法 ; 2)雙線性變換法,(3)數(shù)字帶通的設計,a.思路:歸一化LPF模擬BPF數(shù)字BPF,將,代入上式,歸一化LPF指標為：,前面我們學習了模擬低通濾波器，數(shù)字低通濾波器的設計，對于數(shù)字高通和帶阻的設計，可以借助于模擬濾波器的頻率變換設計一個所需類型的模擬濾波器，再通過雙線性變換將其換算成所需類型的數(shù)字濾波器。,1.高通濾波器,和 分別是低通的歸一化通帶截止頻率和歸一化阻帶截止頻率， 和 分別是高通的歸一化通帶下限頻率和歸一化阻帶上限頻率。,7.2.4數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器設計,,,低通
17、的 從 經過 和 到0時，高通的 則從0經過 和 到 ，因此 和 之間關系為 ，即是低通到高通的頻率變換公式。,總結步驟為： (1)確定數(shù)字高通濾波器的技術指標 、 。 (2)將數(shù)字高通濾波器的技術指標轉換成高通模擬濾 波器的技術指標 、 ，轉換公式為 。 (3)利用頻率變換 將模擬高通濾波器技術指標轉 換成歸一化模擬低通濾波器 的技術指標。,(4)設計模擬低通濾波器 。 (5)將模擬低通濾波器 通過頻率轉換轉換成模擬高 通濾波器 ，并去歸一化后得 。,,,(6)采用雙線性變換，將所需類型的模擬濾波器轉換成所需類型的數(shù)字濾波器. 2.帶通濾波器,、 分別是模擬帶通濾波器通帶的
18、下限和上限頻率， 是下阻帶的上限頻率， 是上阻帶的下限頻率，令 為通帶帶寬，用B做為歸一化參考頻率，,令 為通帶的中心頻率，歸一化,,,,,可以找到 和 的轉換關系。,, ，所以有 由此可以得到低通濾波器的技術指標 、 ，可以設計低通濾波器的轉移函數(shù) 。 ，將 代入得到 去歸一化，將 代入上式得： 可得模擬帶通濾波器的傳遞函數(shù)是,數(shù)字帶通濾波器的傳遞函數(shù),3.帶阻濾波器,、分別是模擬帶阻濾波器通帶的截止頻率， 是下限頻率， 是上限頻率，與帶通模擬濾波器一樣，令 為通帶帶寬，用B做為歸一化參考頻率，,,和 的轉換關系： , ，所以有,由帶通濾波器的推導過程
19、易知 可得模擬帶阻濾波器的傳遞函數(shù)是,數(shù)字帶阻濾波器的傳遞函數(shù),例7.6 設計一個數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率p=0.8rad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率s=0.5rad,阻帶衰減不小于18dB。采用巴特沃斯型濾波器。 解：(1)數(shù)字高通的技術指標為 p=0.8rad,p=3dB; s=0. 5rad,s=18dB,(2) 模擬高通的技術指標計算如下： 令T=2，則有,(3)設計歸一化模擬低通濾波器G(p)。模擬低通濾波器的階數(shù)N計算如下。,取N2,(4)查表得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為 為去歸一化，將p=s/c代入上式得到： (5)將模擬低通轉換成模擬高通。將上式中G(s) 的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)： (6)用雙線性變換法將模擬高通H (s)轉換成數(shù)字高通H(z)：,
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