《橢圓雙曲線拋物線》PPT課件.ppt

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1、第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 1.圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),,2.橢圓中的最值 F1,F(xiàn)2為橢圓 =1(ab0)的左、右焦點,P為橢圓的任意一點,B為短軸的一個端點,O為坐標(biāo)原點,則有 (1)|OP|b,a. (2)|PF1|a-c,a+c. (3)|PF1| |PF2|b2,a2.(4)F1PF2F1BF2. (5) =b2tan ( =F1PF2). (6)焦點弦以通徑為最短. 3.雙曲線中的最值 F1,F(xiàn)2為雙曲線 (a0,b0)的左、 右焦點,P為雙曲線上的任一點,O為坐標(biāo)原點, 則有,(1)|OP|a.(2)|PF1|c-a. (2)

2、 ( =F1PF2). 4.拋物線中的最值 點P為拋物線y2=2px(p0)上的任一點,F(xiàn)為焦點, 則有:(1)|PF| . (2)焦點弦AB以通徑為最值,即|AB|2p. (3)A(m,n)為一定點,則|PA|+|PF|有最小值. 5.雙曲線的漸近線 (1)求法:令雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的左邊為零,分解 因式可得.,(2)用法: 可得 或 的值. 利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程. 6.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 (1)相離;(2)相切;(3)相交. 特別地,當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時,直 線與雙曲線相交且只有一個公共點. 當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行或重合時,直線 與拋物線相交且只有一個公共點.

3、,一、圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程 例1 如圖所示,橢圓 上的點M與橢 圓右焦點F1的連線MF1與x軸垂 直,且OM(O是坐標(biāo)原點)與橢 圓長軸和短軸端點的連線AB平行. (1)求橢圓的離心率; (2)F2是橢圓的左焦點,C是橢圓上的任一點,證明: F1CF2 ; (3)過F1且與AB垂直的直線交橢圓于P、 Q,若PF2Q的面積是 ,求此時橢圓的方程.,思維啟迪(1)從OMAB入手,尋找a,b,c的關(guān) 系式,進而求出離心率. (2)在焦點三角形F1CF2中,用余弦定理求出 cos F1CF2,再結(jié)合基本不等式. (3)設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2),則 用設(shè)而不

4、求的思路求解. (1)解 設(shè)橢圓方程為 (ab0),則 ,,(2)證明 由橢圓定義得:|F1C|+|F2C|=2a, cosF1CF2= = = . |F1C||F2C| =a2, cosF1CF2 , F1CF2 . (3)解 設(shè)直線PQ的方程為y=- (x-c),即y=- (x-c).,代入橢圓方程消去x得: , 整理得:5y2- -2c2=0, y1+y2= ,y1y2= . (y1-y2)2= . 因此a2=50,b2=25,所以橢圓方程為 . 探究提高(1)求離心率,結(jié)合已知條件找到a,b,c的關(guān)系式; (2)C為橢圓上的任意

5、一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2為左、右焦點,當(dāng)C點是橢圓短軸的一個端點時,F(xiàn)1CF2取得最大值.,變式訓(xùn)練1 (2009四川理,20)已知橢圓 (ab0)的左、右焦點分別為F1、F2,離心率 , 右準(zhǔn)線方程為x=2. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)過點F1的直線l與該橢圓相交于M、N兩點,且 ,求直線l的方程. 解 (1)由條件有 解得a= ,c=1. b= =1. 所求橢圓的方程為,(2)由(1)知F1(-1,0)、F2(1,0). 若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=-1, 將x=-1代入橢圓方程得y= . 不妨設(shè) 與題設(shè)矛盾. 直線l的斜率存在. 設(shè)直線l的斜率為k,則

6、直線l的方程為y=k(x+1). 設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),聯(lián)立,消y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. 由根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2= 從而y1+y2=k(x1+x2+2)=,化簡得40k4-23k2-17=0, 解得k2=1或k2=- (舍). k=1. 所求直線l的方程為y=x +1或y= -x -1.,二、圓錐曲線中的定值與最值 例2 已知菱形ABCD的頂點A,C在橢圓x2+3y2=4 上,對角線BD所在直線的斜率為1. (1)當(dāng)直線BD過點(0,1)時,求直線AC的方程; (2)當(dāng)ABC=60時,求菱形ABCD面積的最大值. 思維啟迪(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)及條

7、件求解. (2)由題意表示出菱形的面積,然后利用函數(shù)或不 等式知識求解. 解(1)由題意得直線BD的方程為y=x+1. 因為四邊形ABCD為菱形,所以ACBD. 于是可設(shè)直線AC的方程為y=-x+n. x2+3y2=4, 由 得4x2-6nx+3n2-4=0 y=-x+n,.,,因為A、C在橢圓上 所以=-12n2+640,解得 . 設(shè)A,C兩點坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2), 則x1+x2= ,x1x2= , y1=-x1+n,y2=-x2+n.所以y1+y2= . 所以AC的中點坐標(biāo)為 . 由四邊形ABCD為菱形可知, 點 在直線y=x+1上, 所以

8、 ,解得 n=-2 . 所以直線AC的方程為y=-x-2,即x+y+2=0. (2)因為四邊形ABCD為菱形,且ABC=60, 所以|AB|=|BC|=|CA|.,所以菱形ABCD的面積S = |AC|2. 由(1)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2= , 所以 . 所以當(dāng)n=0時,菱形ABCD的面積取得最大值 . 探究提高 解析幾何中的最值問題涉及的知識面較廣,解法靈活多樣,但最常用的方法有以下幾種: 利用函數(shù),尤其是二次函數(shù)求最值; 利用三角函數(shù),尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值; 利用不等式,尤其是均值不等式求最值; 利用判別式求最值; 利用數(shù)形結(jié)

9、合,尤其是切線的性質(zhì)求最值.,變式訓(xùn)練2(2009銀川模擬) 已知橢圓 的離心率為 ,以右焦點F為圓心的圓過橢圓上的頂點 B(0,b),且與直線l: 相切. (1)求橢圓的方程; (2)過該橢圓的右焦點的直線交橢圓于M、N兩點,該橢圓 的左、右頂點分別為A1、A2,求證:直線MA1與直線NA2的斜 率平方的比值為定值. (1)解 設(shè)點F(c,0),其中 .以右 焦點F為圓心的圓過橢圓上的頂點B(0,b),圓的半徑為 r= .由圓與直線l:x+ +3=0 相切,得 =a,又a=2c,c=1,a=2,b= .,橢圓方程為 . (2)證明設(shè)M(x1,y1),

10、N(x2,y2),當(dāng)直線MN的斜率不存在時,直線MN的方程為x=1, 當(dāng)直線MN的斜率存在時,設(shè)直線MN的方程為y=k(x-1),將其代入 ,得(3+4k2)x2-8k2x+4k212=0, x1+x2= , .,而 , 將其代入上式,得 綜上,知直線MA1與直線NA2的斜率平方的比值為 定值. 三、圓錐曲線中的參數(shù)范圍問題 例3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,經(jīng)過點(0, ) 且斜率為k的直線l與橢圓 有兩個不同 的交點P和Q. (1)求k的取值范圍;,(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、 B,是否存在常數(shù)k,使得向量

11、共線? 如果存在,求k值;如果不存在,請說明理由. 思維啟迪(1)將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為 關(guān)于x的一元二次方程,利用0求k的范圍;(2)利 用共線的條件建立等式求出k值進行判斷. 解(1)由已知條件知直線l的方程為y=kx+ , 代入橢圓方程得 . 整理得 直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于 =,解得 . 即k的取值范圍為 . (2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2), 則 =(x1+x2,y1+y2), 由方程得x1+x2= 又y1+y2=k(x1+x2)+ 而A( ,0),B(0,1), =( ,1). 所以 共線等價于x1+x2=

12、(y1+y2), 將代入上式,解得 k=. 由(1)知 k , 故沒有符合題意的常數(shù)k.,探究提高 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷,有關(guān)圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查,一直是高考考查的重點,此類問題涉及根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法. 變式訓(xùn)練3 如圖,已知 直線l與拋物線x2=4y 相切于點P(2,1), 且與x軸交于點A,O為 坐標(biāo)原點,定點B的坐標(biāo)為(2,0).,(1)若動點M滿足 ,求點M的軌跡C; (2)若過點B的直線l(斜率不等于零)與(1)中的軌跡 C交于不同的兩點E、F(E在B、F之間),試求OBE與 OBF面積之比的取值

13、范圍. 解(1)由x2=4y得y= x2,y= x. 直線l的斜率為y|x=2=1. 故l的方程為y=x-1,點A坐標(biāo)為(1,0). 設(shè)M(x,y),則 =(1,0), =(x-2,y), =(x- 1,y),由 =0得 (x-2)+y0+ =0, 整理,得 +y2=1.,動點M的軌跡C為以原點是中心,焦點在x軸上,長軸長為 ,短軸長為2的橢圓. (2)如圖,由題意知直線l的斜率存在且不為零, 設(shè)l方程為y=k(x-2)(k0), 將代入 +y2=1,整 理,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2 -2=0 x1+x2= , x1x2= 由此可 得 = , = ,

14、 且0< <1.由知(x1-2)+(x2-2)= , (x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4= ., ,即k2= . 0

15、 線的方程. 解 (1)設(shè)OA=m-d,AB=m,OB=m+d 由勾股定理可得: (m-d)2+m2=(m+d)2 化簡得:d= m tanAOF= tanAOB=tan2AOF= ,解得 則離心率e= . (2)過點F的直線方程為y= (x-c) 與雙曲線方程 =1聯(lián)立 將a=2b,c= b代入,化簡有 4= = 將數(shù)值代入,有4= 解得 b=3 最后求得雙曲線方程為 =1.,變式訓(xùn)練4 (2009全國理,21)如圖,已知拋物線E:y2=x與圓M:(x-4)2+y2=r2(r0)相交于A、B、C、D四個點.(1)求r的取值范圍; (2)當(dāng)四邊形ABCD的面積最 大

16、時,求對角線AC、BD的交 點P的坐標(biāo). 解(1)將y2=x代入 (x-4)2+y2=r2,并化簡得x2-7x+16-r2=0. E與M有四個交點的充要條件是方程有兩個不等的正根x1、x2, =(-7)2-4(16-r2)0, 由此得 x1+x2=70, x1x2=16-r20. 解得 0,,,所以r的取值范圍是 . (2)不妨設(shè)E與M的四個交點的坐標(biāo)為 A(x1, )、B(x1, )、C(x2, )、D(x2, ). 則直線AC、BD的方程分別為y- = (x-x1),y+ = , 解得點P的坐標(biāo)為( ,0), 設(shè)t= ,由t= 及(1)知0

17、 . 由于四邊形ABCD為等腰梯形,因而其面積 S= 則S2=(x1+x2+2 )(x1+x2)2-4x1x2. 將x1+x2=7, =t代入上式,并令f(t)=S2,,求導(dǎo)數(shù),f(t)=-2(2t+7)(6t-7). 令f(t)=0,解得t = ,t = (舍去). 當(dāng)00,當(dāng)t= 時.f(t)=0; 當(dāng) 0)的焦點F,交拋物線于A、,B兩點,則有:(1)通徑的長為2p. (2)焦點弦公式:|AB|=x1+x2+p. (3)x1x2= ,y1y2=-p2. (4)以焦點弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切. 2.求軌跡方程的常用方法 (1)軌跡法:建系設(shè)動點.列幾何等式.坐標(biāo)代入得方程.化簡

18、方程.除去不合題意的點作答. (2)待定系數(shù)法:已知曲線的類型,先設(shè)方程再求參數(shù). (3)代入法:當(dāng)所求動點隨已知曲線上動點的動而動時用此法.代入法的步驟:,設(shè)出兩動點坐標(biāo)(x,y),(x0,y0). 結(jié)合已知找出x,y與x0,y0的關(guān)系,并用x,y表示 x0,y0. 將x0,y0代入它滿足的曲線方程,得到x,y的關(guān)系 式即為所求. (4)定義法:結(jié)合幾種曲線的定義,明確所求曲線 的類型,進而求得曲線的方程. 3.有關(guān)弦的中點問題 (1)通法 (2)點差法 點差法的作用是用弦的中點坐標(biāo)表示弦所在直線的 斜率.點差法的步驟:,將兩交點A(x1,y1),B(x2,y2)的坐標(biāo)代入曲線的方 程.

19、作差消去常數(shù)項得到關(guān)于x1+x2,x1-x2,y1+y2,y1-y2的 關(guān)系式. 應(yīng)用斜率公式及中點坐標(biāo)公式求解. 4.解決直線與圓錐曲線問題的通法 (1)設(shè)方程及點的坐標(biāo). (2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組,消元得方程. (3)應(yīng)用韋達定理及判別式. (4)結(jié)合已知、中點坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長公式 求解. 弦長公式:|AB|= .,一、選擇題 1.(2009菏澤模擬)已知雙曲線 (a )的 兩條漸近線的夾角(兩條相交直線所成的銳角或直 角為 ,則雙曲線的離心率為 ( ) A.2 B. C. D. 解析 雙曲線的漸近線方程為y= . 若 =t

20、an = , 則 a= c= ,e= . 若 ,則 a= ,不符合要求.故選D.,D,2.(2009浙江文,6)已知橢圓 (ab0)的左焦點為F,右頂點為A,點B在橢 圓上,且BFx軸,直線AB交y軸于點P,若 ,則橢圓的離心率是 ( ) A. B. C. D. 解析 如圖,由于BFx軸, 故xB=-c,yB= , 設(shè)P(0,t), , (-a,t)=2(-c, -t),a=2c. .,D,3.(2009山東文,10)設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2=ax(a0)的焦點F,且和y軸交于點A,若OAF(O為坐標(biāo)原點)的面積為4,則拋物線方程為( ) A.y

21、2=4x B.y2=8x C.y2=4x D.y2=8x 解析 y2=ax的焦點坐標(biāo)為 ,過焦點且斜率為2的直線方程為y=2 ,令x=0得: y= . =4, a2=64, a=8.,B,4.橢圓M: (ab0)的左、右焦點分別為F1、F2,P為橢圓M上任一點,且 的最大值的取值范圍是c2,3c2,其中c= ,則橢圓M的離心率e的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 解析 由 所以 的最大值為 =(a+c)(a-c),結(jié)合題意分析知c2a2_c23c2,求得離心率的取值范圍是 ,故選B,B,5.P是雙

22、曲線 (a0,b0)右支上的一點, F1、F2分別為左、右焦點,且焦距為2c,PF1F2的 內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)是 ( ) A.a B.b C.c D.a+b+c 解析 設(shè)圓切PF1、PF2、F1F2分別于M、N、R, 則由雙曲線定義知|PF1|-|PF2|=2a, 即(|PM|+|MF1|)-(|PN|+|NF2|)=2a, 又|PM|=|PN|,故|MF1|-|NF2|=2a, 而|MF1|=|RF1|,|NF2|=|RF2|, 因此|F1R|-|F2R|=2a, 設(shè)R(0,t),則t+c-(c-t)=2a,t=a.,A,二、填空題 6.(2009湖南理,12)

23、已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中,有一個內(nèi)角為60,則雙曲線C的離心率為 . 解析 雙曲線中焦距比虛軸長,焦點處內(nèi)角為60,又由雙曲線性質(zhì)得四邊形為菱形. =tan 30= , c= b,a2=c2-b2=2b2, a= b. e= .,,7.(2009聊城模擬)設(shè)雙曲線 (ba0)的半焦距為c,直線l過(a,0)、(0,b)兩點.已知原點到直線l的距離為 ,則雙曲線的離心率為 . 解析 直線l的方程為 ,即bx+ay-ab=0. 于是有 ,即ab = . 兩邊平方得16a2b2=3c4,16a2(c2-a2)=3c4. 即3c4-16a

24、2c2+16a4=0,3e4-16e2+16=0. 解得e2=4,或e2= , ba0, 1, e2= =1+ 2,故e2=4,e=2.,,8.(2009南通模擬)已知拋物線y2=-2px(p0)的焦點F恰好是橢圓 (ab0)的左焦點,且兩曲線的公共點的連線過F,則該橢圓的離心率為 . 解析 由題意F( ,0),設(shè)橢圓的右焦點為M,橢圓與拋物線的一個交點為A,則|AF|=p,|FM|=p, |AM|= p, 橢圓長半軸長a = , 橢圓的半焦距c= , 橢圓的離心率e= .,,三、解答題 9.(2009濰坊模擬)已知橢圓的兩個焦點分別為 F1(0,

25、 ),F(xiàn)2(0, ),離心率為e= . (1)求橢圓方程; (2)一條不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓交于不同 的兩點M,N,且線段MN中點的橫坐標(biāo)為 ,求直 線l的傾斜角的取值范圍. 解(1)根據(jù)題意可設(shè)橢圓方程為 (ab0),其中c為半焦距, c= , e= , a=3,b=1, .,(2)由題意知,直線的傾斜角不可能為0和 , 設(shè)直線方程為y=kx+m (k0). y=kx+m x2+ =1 (k2+9)x2+2kmx+m2-9=0, =4k2m2-4(k2+9)(m2-9)0,即k2-m2+90 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),x1+

26、x2= , 線段MN中點的橫坐標(biāo)為 , ,即m= 把代入解得k23,即k 或k< , 直線l的傾斜角的取值范圍為 .,,10.如圖所示,橢圓C的方程為 (ab0),A是橢圓C的短軸左頂點,過A點作斜率為-1的直線交橢圓于B點,點P(1,0),且BPy軸,APB的面積為 . (1)求橢圓C的方程; (2)在直線AB上求一點M,使得 以橢圓C的焦點為焦點,且過M的 雙曲線E的實軸最長,并求此雙 曲線E的方程. 解(1)SAPB= APPB= , 又PAB=45,AP=PB,故AP=BP=3. P(1,0),A(-2,0),B(1,-3). b=2,將B(1,-3)代入橢

27、圓方程,,b=2, 得 解得a2=12, , 所求橢圓的方程為 . (2)設(shè)橢圓C的焦點為F1,F(xiàn)2, 則易知F1(0, ),F(xiàn)2(0, ), 直線AB的方程為x+y+2=0,因為M在雙曲線E上,要使雙曲線E的實軸最長,只需||MF1|-|MF2||最大, F1(0, )關(guān)于直線AB的對稱點為F1( -2,-2), 直線F2F1與直線l的交點為所求M,,F2F1的方程為y+(3+ )x - =0, y+(3+ )x- =0, 聯(lián)立 得M(1,-3), x+y+2=0, 又2a=||MF1|-|MF2|| =||MF1|-|MF2|||F2F1| = , 故amax= ,b= , 故所求雙曲線的方程為 .,,返回,

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