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1、第7章 三維變換,7.1 簡介 7.2 三維幾何變換 7.3 三維坐標(biāo)變換,7.1 簡介,三維平移變換、比例變換可看成是二維情況的直接推廣。但旋轉(zhuǎn)變換則不然，因為我們可選取空間任意方向作旋轉(zhuǎn)軸，因此三維變換處理起來更為復(fù)雜。,與二維變換相似，我們也采用齊次坐標(biāo)技術(shù)來描述空間的各點坐標(biāo)及其變換，這時，描述空間三維變換的變換矩陣是44的形式。 由此，一系列變換可以用單個矩陣來表示。,7.2 三維幾何變換,7.2.1 基本三維幾何變換 1. 平移變換 若空間平移量為(tx, ty, tz)，則平移變換為,,,,P(x,y,z),,,P(x,y,z),,x,y,z,補(bǔ)充說明：點的平移、物體的平移、多
2、面體的平移、逆變換,2. 比例變換,（1） 相對坐標(biāo)原點的比例變換 一個點P=(x,y,z)相對于坐標(biāo)原點的比例變換的矩陣可表示為,,,,x,y,z,,其中,為正值。,（2） 相對于所選定的固定點的比例變換,z,,,,x,y,,（xf,yf,zf),z,,,,x,y,,（xf,yf,zf),,z,,,,x,y,,（xf,yf,zf),z,,,,x,y,,（xf,yf,zf),,,(1),(2),(3),3. 繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換,三維空間中的旋轉(zhuǎn)變換比二維空間中的旋轉(zhuǎn)變換復(fù)雜。除了需要指定旋轉(zhuǎn)角外，還需指定旋轉(zhuǎn)軸。 若以坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸x,y,z分別作為旋轉(zhuǎn)軸，則點實際上只在垂直坐標(biāo)軸的平面
3、上作二維旋轉(zhuǎn)。此時用二維旋轉(zhuǎn)公式就可以直接推出三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣。 規(guī)定在右手坐標(biāo)系中，物體旋轉(zhuǎn)的正方向是右手螺旋方向，即從該軸正半軸向原點看是逆時針方向。,（1）繞 z 軸旋轉(zhuǎn),,,,,,,,,,,,,x,x,x,y,y,y,z,z,z,,,（2）繞 x 軸旋轉(zhuǎn),（3）繞 y 軸旋轉(zhuǎn),,繞 z 軸旋轉(zhuǎn),繞 x 軸旋轉(zhuǎn),繞 y 軸旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)，則該軸坐標(biāo)的一列元素不變。按照二維圖形變換的情況，將其旋轉(zhuǎn)矩陣,,中的元素添入相應(yīng)的位置中，即,對于單位矩陣,旋轉(zhuǎn)變換矩陣規(guī)律:,，繞哪個坐標(biāo)軸,(1) 繞z軸正向旋轉(zhuǎn),角，旋轉(zhuǎn)后點的z坐標(biāo)值不變, x、y,坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在xoy平面內(nèi)作正,角旋轉(zhuǎn)。,(
4、2)繞x軸正向旋轉(zhuǎn),角，旋轉(zhuǎn)后點的x坐標(biāo)值不變，,Y、z坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在yoz平面內(nèi)作正,角旋轉(zhuǎn)。,,即,這就是說，繞y軸的旋轉(zhuǎn)變換的矩陣與繞x軸和z軸變換的矩陣從表面上看在符號上有所不同。,(3) 繞y軸正向旋轉(zhuǎn),角，y坐標(biāo)值不變，z、x的坐標(biāo)相當(dāng),于在zox平面內(nèi)作正,角旋轉(zhuǎn)，于是,7.2.2 組合變換,物體繞平行于某一坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換。基本步驟: (1) 平移物體使旋轉(zhuǎn)軸與所平行的坐標(biāo)軸重合; (2) 沿著該坐標(biāo)軸進(jìn)行指定角度的旋轉(zhuǎn); (3) 平移物體使旋轉(zhuǎn)軸移回到原位置。,,,,x,y,z,,,,x,y,z,(a),(b),y,,,,x,z,(c),,,,x,z,,(d),,繞
5、任意軸旋轉(zhuǎn)的變換 (1)平移物體使旋轉(zhuǎn)軸通過坐標(biāo)原點;,,,,x,y,z,,P1,,,P2,,,,x,y,z,,P1,,,P2,(1),(2)旋轉(zhuǎn)物體使旋轉(zhuǎn)軸與某個坐標(biāo)軸(如z軸)重合; (3)關(guān)于該坐標(biāo)軸進(jìn)行指定角度的旋轉(zhuǎn);,,,,x,y,z,,P1,,,P2,(2),y,,,,x,z,,P1,,,P2,(3),,(4) 應(yīng)用逆旋轉(zhuǎn)變換將旋轉(zhuǎn)軸回到原方向; (5) 應(yīng)用逆平移變換將旋轉(zhuǎn)軸變換到原位置。,,,,x,y,z,,P1,,,P2,(4),,,,x,y,z,,P1,,,P2,(5),例. 求變換AV，使過原點的向量V=(a,b,c)與z軸的正向一致。,,,,x,y,z,,V,,,,,,
6、x,y,z,,,實現(xiàn)步驟: (1)將V繞x軸旋轉(zhuǎn)到xz 平面上; (2)再繞y軸旋轉(zhuǎn)使之與z軸正向重合。,旋轉(zhuǎn)角度的確定：繞x軸旋轉(zhuǎn)的角度 等于向量V在yz 平面上的投影向量與z 軸正向的夾角。,,,,x,y,z,,V=(a,b,c),,,V1=(0,b,c),V,V,根據(jù)矢量的點乘與叉乘，可以算出:,因此，,類似地，可以求出:,利用這一結(jié)果，則繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可表示為：,,,,x,y,z,,P1,,,P2,,,,x,y,z,,P1,,,P2,1) T,,,,x,y,z,,P1,,,P2,2),,,,x,z,,P1,,,P2,3),,給定具有單位長的旋轉(zhuǎn)軸A=ax,ay,az和旋轉(zhuǎn)角
7、 ，,則物體繞OA軸旋轉(zhuǎn)變換的矩陣表示可確定如下：,,,,,A,,,,,,,軸角旋轉(zhuǎn),7.2.3 繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換的簡單算法,x,y,z,o,其中,表示M的轉(zhuǎn)置矩陣。,,利用這一結(jié)果，則繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可表示為：,傳統(tǒng)的方法通過繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變換的乘積表示繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換。與之相比，這種方法更直觀。,,,,x,y,z,,P1,,,P2,,,,x,y,z,,P1,,,P2,其中旋轉(zhuǎn)軸A=ax,ay,az為,A,7.2.4 三維變換矩陣的功能分塊,（1）三維線性變換部分 （2）三維平移變換部分 （3）透視變換部分 （4）整體比例因子,7.3 三維坐標(biāo)變換,幾何變換：在一個參考坐標(biāo)系下將物體從
8、一個位置移動到另一個位置的變換。 坐標(biāo)變換： 一個物體在不同坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換。如從世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換；觀察坐標(biāo)到設(shè)備坐標(biāo)之間的變換。再如，對物體造型時，我們通常在局部坐標(biāo)系中構(gòu)造物體，然后重新定位到用戶坐標(biāo)系。,坐標(biāo)變換的構(gòu)造方法: 與二維的情況相同，為將物體的坐標(biāo)描述從一個系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為另一個系統(tǒng)，我們需要構(gòu)造一個變換矩陣，它能使兩個坐標(biāo)系統(tǒng)重疊。具體過程分為兩步： （1）平移坐標(biāo)系統(tǒng)oxyz，使它的坐標(biāo)原點與新坐標(biāo)系統(tǒng)的原點重合； （2）進(jìn)行一些旋轉(zhuǎn)變換，使兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重疊。 有多種計算坐標(biāo)變換的方法，下面我們介紹一種簡單的方法。,,,,x,y,z,,(0,0,0),,,,,
9、,,x,z,y,設(shè)新坐標(biāo)系oxyz 原點的坐標(biāo)為（x0,y0,z0），相對原坐標(biāo)系其單位坐標(biāo)矢量為：,將原坐標(biāo)系xyz下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成新坐標(biāo)系xyz的坐標(biāo)可由以下兩步完成： 首先， 平移坐標(biāo)系xyz，使其原點與新坐標(biāo)系xyz的原點（x0,y0,z0）重合；,,,,x,y,z,,(0,0,0),,,,,,,x,z,y,,,,x,y,z,,(0,0,0),平移矩陣為：,,(x,y,z),第二步，利用單位坐標(biāo)向量構(gòu)造坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣,,該矩陣R將單位向量,分別變換到x,y和z 軸。,綜合以上兩步，從oxyz到oxyz的坐標(biāo)變換的矩陣為,說明：變換矩陣TR將一個直角坐標(biāo)系變換為另一個坐標(biāo)系。即使一個坐標(biāo)系是右手坐標(biāo)系，另一個為左手坐標(biāo)系，結(jié)論依然成立。,，也即坐標(biāo)變換公式為：,習(xí)題7 7-1 對于點P(x,y,z) ，(1) 寫出它繞x 軸旋轉(zhuǎn) 角，然后再繞y軸旋轉(zhuǎn) 角的變換矩陣。 (2)寫出它繞 y 軸旋轉(zhuǎn) 角，然后再繞 x 軸旋轉(zhuǎn) 角的變換矩陣。所得到的變換矩陣的結(jié)果一樣嗎? 7-2 寫出繞空間任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣。,
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