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勻速圓周運動知識點及例題
二、勻速圓周運動的描述
1．線速度、角速度、周期和頻率的概念
(1)線速度v是描述質(zhì)點沿圓周運動快慢的物理量，是矢量，其大小為; 其方向沿軌跡切線，國際單位制中單位符號是m/s；
（2）角速度ω是描述質(zhì)點繞圓心轉(zhuǎn)動快慢的物理量，是矢量，其大小為；
在國際單位制中單位符號是rad／s；
(3）周期T是質(zhì)點沿圓周運動一周所用時間，在國際單位制中單位符號是s；
（4）頻率f是質(zhì)點在單位時間內(nèi)完成一個完整圓運動的次數(shù)，在國際單位制中單位符號是 Hz；
（5）轉(zhuǎn)速n是質(zhì)點在單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)，單位符號為r／s，以及r／min．
2、速度、角速度、周期和頻率之間的關(guān)系
線速度、角速度、周期和頻率各量從不同角度描述質(zhì)點運動的快慢，它們之間有關(guān)系v＝rω．，，。
由上可知，在角速度一定時，線速度大小與半徑成正比；在線速度一定時，角速度大小與半徑成反比．
三、向心力和向心加速度
1．向心力
（1）向心力是改變物體運動方向，產(chǎn)生向心加速度的原因．
（2）向心力的方向指向圓心，總與物體運動方向垂直，所以向心力只改變速度的方向．
2．向心加速度
（1）向心加速度由向心力產(chǎn)生，描述線速度方向變化的快慢，是矢量．
（2）向心加速度方向與向心力方向恒一致，總沿半徑指向圓心；向心加速度的大小為
公式：
1. 線速度V＝s/t＝2πr/T
2.角速度ω＝Φ/t＝2π/T＝2πf
3.向心加速度a＝V2/r＝ω2r＝(2π/T)2r
4.向心力F心＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F合
5.周期與頻率：T＝1/f
6.角速度與線速度的關(guān)系：V＝ωr
7.角速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系ω＝2πn(此處頻率與轉(zhuǎn)速意義相同)
8.主要物理量及單位：弧長s:米(m)；角度Φ：弧度（rad）；頻率f：赫（Hz）；周期T：秒（s）；轉(zhuǎn)速n：r/s；半徑r：米（m）；線速度V：（m/s）；角速度ω：（rad/s）；向心加速度：（m/s2）。
二、向心力和加速度
1、大小F＝m ω2 r
向心加速度a：（1）大小：a =2 f 2r （2）方向：總指向圓心，時刻變化 （3）物理意義：描述線速度方向改變的快慢。
三、應(yīng)用舉例
（臨界或動態(tài)分析問題）
提供的向心力 需要的向心力
＝ 圓周運動
＞ 近心運動
＜ 離心運動
＝0 切線運動
1、火車轉(zhuǎn)彎
N
mg
如果車輪與鐵軌間無擠壓力，則向心力完全由重力和支持力提供,v增加，外軌擠壓，如果v減小，內(nèi)軌擠壓
問題：飛機(jī)轉(zhuǎn)彎的向心力的來源
2、汽車過拱橋
mg sinθ = f
如果在最高點，那么
此時汽車不平衡，mg≠N
N
mg
說明：F＝mv2 / r同樣適用于變速圓周運動，F(xiàn)和v具有瞬時意義，F(xiàn)隨v的變化而變化。
補(bǔ)充 ： (拋體運動)
3、圓錐問題
例：小球在半徑為R的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運動，試分析圖中的θ（小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角）與線速度v、周期T的關(guān)系。
，
由此可得：，
N
G
F
θ
繩
F
G
G
F
4、繩桿球
這類問題的特點是：由于機(jī)械能守恒，物體做圓周運動的速率時刻在改變，物體在最高點處的速率最小，在最低點處的速率最大。物體在最低點處向心力向上，而重力向下，所以彈力必然向上且大于重力；而在最高點處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向就不能確定了，要分三種情況進(jìn)行討論。
①彈力只可能向下，如繩拉球。這種情況下有
即，否則不能通過最高點。
②彈力只可能向上，如車過橋。在這種情況下有：，否則車將離開橋面，做平拋運動。
③彈力既可能向上又可能向下，如管內(nèi)轉(zhuǎn)（或桿連球、環(huán)穿珠）。這種情況下，速度大小v可以取任意值。但可以進(jìn)一步討論：①當(dāng)時物體受到的彈力必然是向下的；當(dāng)時物體受到的彈力必然是向上的；當(dāng)時物體受到的彈力恰好為零。②當(dāng)彈力大小F
mg時，向心力只有一解：F +mg；當(dāng)彈力F=mg時，向心力等于零。
四、牛頓運動定律在圓周運動中的應(yīng)用（圓周運動動力學(xué)問題）
1．向心力 （1）大?。?
（2）方向：總指向圓心，時刻變化
2．處理方法：
一般地說，當(dāng)做圓周運動物體所受的合力不指向圓心時，可以將它沿半徑方向和切線方向正交分解，其沿半徑方向的分力為向心力，只改變速度的方向，不改變速度的大小；其沿切線方向的分力為切向力，只改變速度的大小，不改變速度的方向。分別與它們相應(yīng)的向心加速度描述速度方向變化的快慢，切向加速度描述速度大小變化的快慢。
做圓周運動物體所受的向心力和向心加速度的關(guān)系同樣遵從牛頓第二定律：Fn=man在列方程時，根據(jù)物體的受力分析，在方程左邊寫出外界給物體提供的合外力，右邊寫出物體需要的向心力（可選用等各種形式）。
【例1】 如圖所示的裝置是在豎直平面內(nèi)放置光滑的絕緣軌道，處于水平向右的勻強(qiáng)電場中，以帶負(fù)電荷的小球從高h(yuǎn)的A處靜止開始下滑，沿軌道ABC運動后進(jìn)入圓環(huán)內(nèi)作圓周運動。已知小球所受到電場力是其重力的3／4，圓滑半徑為R，斜面傾角為θ，sBC=2R。若使小球在圓環(huán)內(nèi)能作完整的圓周運動，h至少為多少？
解析：小球所受的重力和電場力都為恒力，故可兩力等效為一個力F，如圖所示?？芍狥＝1.25mg，方向與豎直方向左偏下37o，從圖6中可知，能否作完整的圓周運動的臨界點是能否通過D點，若恰好能通過D點，即達(dá)到D點時球與環(huán)的彈力恰好為零。
由圓周運動知識得： 即：
由動能定理：
聯(lián)立①、②可求出此時的高度h。
五、綜合應(yīng)用例析
【例2】如圖所示，用細(xì)繩一端系著的質(zhì)量為M=0.6kg的物體A靜止在水平轉(zhuǎn)盤上，細(xì)繩另一端通過轉(zhuǎn)盤中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量為m=0.3kg的小球B，A的重心到O點的距離為0.2m．若A與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為f=2N，為使小球B保持靜止，求轉(zhuǎn)盤繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度ω的取值范圍．
解析：要使B靜止，A必須相對于轉(zhuǎn)盤靜止——具有與轉(zhuǎn)盤相同的角速度．A需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成．角速度取最大值時，A有離心趨勢，靜摩擦力指向圓心O；角速度取最小值時，A有向心運動的趨勢，靜摩擦力背離圓心O．
對于B，T=mg 對于A，
rad/s rad/s 所以 2.9 rad/s rad/s
【例3】一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多）．在圓管中有兩個直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點）．A球的質(zhì)量為m1，B球的質(zhì)量為m2．它們沿環(huán)形圓管順時針運動，經(jīng)過最低點時的速度都為v0．設(shè)A球運動到最低點時，B球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m1、m2、R與v0應(yīng)滿足的關(guān)系式是______．
解析：A球通過圓管最低點時，圓管對球的壓力豎直向上，所以球?qū)A管的壓力豎直向下．若要此時兩球作用于圓管的合力為零，B球?qū)A管的壓力一定是豎直向上的，所以圓管對B球的壓力一定是豎直向下的．
最高點時
根據(jù)牛頓運動定律
對于A球， 對于B球，
又 N1=N2 解得
【例5】如圖所示，滑塊在恒定外力作用下從水平軌道上的A點由靜止出發(fā)到B點時撤去外力，又沿豎直面內(nèi)的光滑半圓形軌道運動，且恰好通過軌道最高點C，滑塊脫離半圓形軌道后又剛好落到原出發(fā)點A，試求滑塊在AB段運動過程中的加速度.
解析：設(shè)圓周的半徑為R，則在C點：mg=m ①
離開C點，滑塊做平拋運動，則2R＝gt2／2 ②
vCt＝sAB ③
L
V0
由B到C過程： mvC2/2+2mgR＝mvB2/2 ④
由A到B運動過程： vB2＝2asAB ⑤
由①②③④⑤式聯(lián)立得到： a=5g／4
例6、如圖所示，M為懸掛在豎直平面內(nèi)某一點的木質(zhì)小球，懸線長為L，質(zhì)量為m的子彈以水平速度V0射入球中而未射出，要使小球能在豎直平面內(nèi)運動，且懸線不發(fā)生松馳，求子彈初速度V0應(yīng)滿足的條件。 分兩種情況：
（1）若小球能做完整的圓周運動，則在最高點滿足：
由機(jī)械能守定律得：
由以上各式解得：.
(2)若木球不能做完整的圓周運動，則上升的最大高度為L時滿足：
解得：.
所以，要使小球在豎直平面內(nèi)做懸線不松馳的運動，V0應(yīng)滿足的條件是：
或
1.
圖4－2－11
在觀看雙人花樣滑冰表演時，觀眾有時會看到女運動員被男運動員拉著離開冰面在空中做水平方向的勻速圓周運動．已知通過目測估計拉住女運動員的男運動員的手臂和水平冰面的夾角約為45°，重力加速度為g＝10 m/s2，若已知女運動員的體重為35 kg，據(jù)此可估算該女運動員( )
A．受到的拉力約為350 N B．受到的拉力約為350 N
C．向心加速度約為10 m/s2 D．向心加速度約為10 m/s2
解析：本題考查了勻速圓周運動的動力學(xué)分析．以女運動員為研究對象，受力分析如圖．根據(jù)題意有G＝mg＝350 N；則由圖易得女運動員受到的拉力約為350 N，A正確；向心加速度約為10 m/s2，C正確．
答案：AC
2.
圖4－2－12
中央電視臺《今日說法》欄目最近報道了一起發(fā)生在湖南長沙某區(qū)湘府路上的離奇交通事故．
家住公路拐彎處的張先生和李先生家在三個月內(nèi)連續(xù)遭遇了七次大卡車側(cè)翻在自家門口的場面，第八次有輛卡車沖進(jìn)李先生家，造成三死一傷和房屋嚴(yán)重?fù)p毀的血腥慘案．經(jīng)公安部門和交通部門協(xié)力調(diào)查，畫出的現(xiàn)場示意圖如圖4－2－12所示．交警根據(jù)圖示作出以下判斷，你認(rèn)為正確的是( )
A．由圖可知汽車在拐彎時發(fā)生側(cè)翻是因為車做離心運動
B．由圖可知汽車在拐彎時發(fā)生側(cè)翻是因為車做向心運動
C．公路在設(shè)計上可能內(nèi)(東)高外(西)低
D．公路在設(shè)計上可能外(西)高內(nèi)(東)低
解析：由題圖可知發(fā)生事故時，卡車在做圓周運動，從圖可以看出卡車沖入民宅時做離心運動，故選項A正確，選項B錯誤；如果外側(cè)高，卡車所受重力和支持力提供向心力，則卡車不會做離心運動，也不會發(fā)生事故，故選項C正確．
答案：AC
3.
圖4－2－13
(2010·湖北部分重點中學(xué)聯(lián)考)如圖4－2－13所示，質(zhì)量為m的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑．某同學(xué)拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運動，已知重力加速度為g，空氣阻力不計，要使在最高點時盒子與小球之間恰好無作用力，則( )
A．該盒子做勻速圓周運動的周期一定小于2π
B．該盒子做勻速圓周運動的周期一定等于2π
C．盒子在最低點時盒子與小球之間的作用力大小可能小于2mg
D．盒子在最低點時盒子與小球之間的作用力大小可能大于2mg
解析：要使在最高點時盒子與小球之間恰好無作用力，則有mg＝，解得該盒子做勻速圓周運動的速度v＝，該盒子做勻速圓周運動的周期為T＝＝2π.選項A錯誤，B正確；在最低點時，盒子與小球之間的作用力和小球重力的合力提供小球運動的向心力，由F－mg＝，解得F＝2mg，選項C、D錯誤．
答案：B
4.
圖4－2－14
如圖4－2－14所示，半徑為r＝20 cm的兩圓柱體A和B，靠電動機(jī)帶動按相同方向均以角速度ω＝8 rad/s轉(zhuǎn)動，兩圓柱體的轉(zhuǎn)動軸互相平行且在同一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)動方向已在圖中標(biāo)出，質(zhì)量均勻的木棒水平放置其上，重心在剛開始運動時恰在B的正上方，棒和圓柱間動摩擦因數(shù)μ＝0.16，兩圓柱體中心間的距離s＝1.6 m，棒長l>2 m，重力加速度取10 m/s2，求從棒開始運動到重心恰在A正上方需多長時間？
解析：棒開始與A、B兩輪有相對滑動，棒受向左摩擦力作用，做勻加速運動，末速度v＝ωr＝8×0.2 m/s＝1.6 m/s，加速度a＝μg＝1.6 m/s2，時間t1＝＝1 s，此時間內(nèi)棒運動位移s1＝at＝0.8 m．此后棒與A、B無相對運動，棒以v＝ωr做勻速運動，再運動s2＝AB－s1＝0.8 m，重心到A正上方時間t2＝＝0.5 s，故所求時間t＝t1＋t2＝1.5 s.
答案：1.5 s
5．
圖4－2－15
在一次抗洪救災(zāi)工作中，一架直升機(jī)A用長H＝50 m的懸索(重力可忽略不計)系住一質(zhì)量m＝50 kg的被困人員B，直升機(jī)A和被困人員B以v0＝10 m/s的速度一起沿水平方向勻速運動，如圖4－2－15甲所示．某時刻開始收懸索將人吊起，在5 s時間內(nèi)，A、B之間的豎直距離以l＝50－t2(單位：m)的規(guī)律變化，取g＝10 m/s2.
(1)求這段時間內(nèi)懸索對被困人員B的拉力大?。?
(2)求在5 s末被困人員B的速度大小及位移大?。?
(3)直升機(jī)在t＝5 s時停止收懸索，但發(fā)現(xiàn)仍然未脫離洪水圍困區(qū)，為將被困人員B盡快運送到安全處，飛機(jī)在空中旋轉(zhuǎn)后靜止在空中尋找最近的安全目標(biāo)，致使被困人員B在空中做圓周運動，如圖乙所示．此時懸索與豎直方向成37°角，不計空氣阻力，求被困人員B做圓周運動的線速度以及懸索對被困人員B的拉力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解析：(1)被困人員在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上被困人員的位移y＝H－l＝50－(50－t2)＝t2，由此可知，被困人員在豎直方向上做初速度為零、加速度a＝2 m/s2的勻加速直線運動，由牛頓第二定律可得F－mg＝ma，解得懸索的拉力F＝m(g＋a)＝600 N.
(2)被困人員5 s末在豎直方向上的速度為vy＝at＝10 m/s，合速度v＝＝10 m/s，豎直方向上的位移y＝at2＝25 m，水平方向的位移x＝v0t＝50 m，合位移s＝＝25 m.
(3)t＝5 s時懸索的長度l′＝50－y＝25 m，旋轉(zhuǎn)半徑r＝l′sin 37°，
由m＝mgtan 37°，解得v′＝ m/s.此時被困人員B的受力情況如右圖所示，
由圖可知Tcos 37°＝mg，解得T＝＝625 N.
答案：(1)600 N (2)10 m/s 25 m (3)625 N
6．
圖4－2－26
如圖4－2－26所示，小球從光滑的圓弧軌道下滑至水平軌道末端時，光電裝置被觸動，控制電路會使轉(zhuǎn)筒立刻以某一角速度勻速連續(xù)轉(zhuǎn)動起來．轉(zhuǎn)筒的底面半徑為R，已知軌道末端與轉(zhuǎn)筒上部相平，與轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)軸距離為L，且與轉(zhuǎn)筒側(cè)壁上的小孔的高度差為h；開始時轉(zhuǎn)筒靜止，且小孔正對著軌道方向．現(xiàn)讓一小球從圓弧軌道上的某處無初速滑下，若正好能鉆入轉(zhuǎn)筒的小孔(小孔比小球略大，小球視為質(zhì)點，不計空氣阻力，重力加速度為g)，求：
(1)小球從圓弧軌道上釋放時的高度為H；
(2)轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動的角速度ω.
解析：(1)設(shè)小球離開軌道進(jìn)入小孔的時間為t，則由平拋運動規(guī)律得h＝gt2，
L－R＝v0t
小球在軌道上運動過程中機(jī)械能守恒，故有mgH＝mv
聯(lián)立解得：t＝ ，H＝.
(2)在小球做平拋運動的時間內(nèi)，圓筒必須恰好轉(zhuǎn)整數(shù)轉(zhuǎn)，小球才能鉆進(jìn)小孔，
即ωt＝2nπ(n＝1,2,3…)．所以ω＝nπ (n＝1,2,3…)
答案：(1) (2)nπ (n＝1,2,3…)
、
圓周運動的應(yīng)用專題
知識簡析 一、圓周運動的臨界問題
1.圓周運動中的臨界問題的分析方法
首先明確物理過程，對研究對象進(jìn)行正確的受力分析，然后確定向心力，根據(jù)向心力公式列出方程，由方程中的某個力的變化與速度變化的對應(yīng)關(guān)系，從而分析找到臨界值．
2.特例（1）如圖所示，沒有物體支撐的小球，在豎直平面做圓周運動過最高點的情況：
注意：繩對小球只能產(chǎn)生沿繩收縮方向的拉力
①臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的作用：mg=mv2/R→v臨界=（可理解為恰好轉(zhuǎn)過或恰好轉(zhuǎn)不過的速度）
注意：如果小球帶電，且空間存在電、磁場時，臨界條件應(yīng)是小球重力、電場力和洛倫茲力的合力作為向心力，此時臨界速度V臨≠
②能過最高點的條件：v≥，當(dāng)V＞時，繩對球產(chǎn)生拉力，軌道對球產(chǎn)生壓力．
③不能過最高點的條件：V＜V臨界（實際上球還沒到最高點時就脫離了軌道）
（2）如圖（a）的球過最高點時，輕質(zhì)桿（管）對球產(chǎn)生的彈力情況：
注意：桿與繩不同，桿對球既能產(chǎn)生拉力，也能對球產(chǎn)生支持力．
①當(dāng)v＝0時，N＝mg（N為支持力）
②當(dāng) 0＜v＜時， N隨v增大而減小，且mg＞N＞0，N為支持力．
③當(dāng)v=時，N＝0
① 當(dāng)v＞時，N為拉力，N隨v的增大而增大（此時N為拉力，方向指向圓心）
注意：管壁支撐情況與桿子一樣
若是圖（b）的小球，此時將脫離軌道做平拋運動．因為軌道對小球不能產(chǎn)生拉力．
注意：如果小球帶電，且空間存在電場或磁場時，臨界條件應(yīng)是小球所受重力、電場力和洛侖茲力的合力等于向心力，此時臨界速度 。要具體問題具體分析，但分析方法是相同的。
水流星模型(豎直平面內(nèi)的圓周運動)
豎直平面內(nèi)的圓周運動是典型的變速圓周運動研究物體通過最高點和最低點的情況，并且經(jīng)常出現(xiàn)臨界狀態(tài)。(圓周運動實例)①火車轉(zhuǎn)彎 ②汽車過拱橋、凹橋3③飛機(jī)做俯沖運動時，飛行員對座位的壓力。
④物體在水平面內(nèi)的圓周運動（汽車在水平公路轉(zhuǎn)彎，水平轉(zhuǎn)盤上的物體，繩拴著的物體在光滑水平面上繞繩的一端旋轉(zhuǎn)）和物體在豎直平面內(nèi)的圓周運動（翻滾過山車、水流星、雜技節(jié)目中的飛車走壁等）。
⑤萬有引力——衛(wèi)星的運動、庫侖力——電子繞核旋轉(zhuǎn)、洛侖茲力——帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的偏轉(zhuǎn)、重力與彈力的合力——錐擺、（關(guān)健要搞清楚向心力怎樣提供的）
（1）火車轉(zhuǎn)彎：設(shè)火車彎道處內(nèi)外軌高度差為h，內(nèi)外軌間距L，轉(zhuǎn)彎半徑R。由于外軌略高于內(nèi)軌，使得火車所受重力和支持力的合力F合提供向心力。
①當(dāng)火車行駛速率V等于V0時，F(xiàn)合=F向，內(nèi)外軌道對輪緣都沒有側(cè)壓力
②當(dāng)火車行駛V大于V0時，F(xiàn)合F向，內(nèi)軌道對輪緣有側(cè)壓力，F(xiàn)合-N'=mv2/R
即當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎時行駛速率不等于V0時，其向心力的變化可由內(nèi)外軌道對輪緣側(cè)壓力自行調(diào)節(jié)，但調(diào)節(jié)程度不宜過大，以免損壞軌道。
（2）無支承的小球，在豎直平面內(nèi)作圓周運動過最高點情況：
① 臨界條件：由mg+T=mv2/L知，小球速度越小，繩拉力或環(huán)壓力T越小，但T的最小值只能為零，此時小球以重力為向心力，恰能通過最高點。即mg=mv臨2/R
結(jié)論：繩子和軌道對小球沒有力的作用（可理解為恰好轉(zhuǎn)過或恰好轉(zhuǎn)不過的速度），只有重力作向心力，臨界速度V臨=
②能過最高點條件：V≥V臨（當(dāng)V≥V臨時，繩、軌道對球分別產(chǎn)生拉力、壓力）
③不能過最高點條件：V
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