(全國通用)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 板塊三 專題突破核心考點(diǎn) 專題二 數(shù)列 第3講 數(shù)列的綜合問題課件

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1、第3講數(shù)列的綜合問題專題二數(shù)列板塊三專題突破核心考點(diǎn)考情考向分析1.數(shù)列的綜合問題,往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合,探求數(shù)列中的最值或證明不等式.2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景,利用函數(shù)觀點(diǎn)探求參數(shù)的值或范圍.3.將數(shù)列與實(shí)際應(yīng)用問題相結(jié)合,考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.熱點(diǎn)分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點(diǎn)分類突破1.數(shù)列an中,an與Sn的關(guān)系熱點(diǎn)一利用Sn,an的關(guān)系式求an2.求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法(1)公式法:利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式.(2)在已知數(shù)列an中,滿足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an.(3)在已知數(shù)列an中,滿足 f(n),且f

2、(1)f(2)f(n)可求,則可用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)an.(4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換,轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).解答例例1已知等差數(shù)列an中,a22,a3a58,數(shù)列bn中,b12,其前n項(xiàng)和Sn滿足:bn1Sn2(nN*).(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式;解解a22,a3a58,2d23d8,d1,ann(nN*).bn1Sn2(nN*),bnSn12(nN*,n2).由,得bn1bnSnSn1bn(nN*,n2),bn12bn(nN*,n2).b12,b22b1,bn是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,bn2n(nN*).解答兩式相減,得給出Sn與an的遞推關(guān)系,求an,常用思路:一是

3、利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系,再求其通項(xiàng)公式;二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系,先求出Sn與n之間的關(guān)系,再求an.思維升華思維升華解答跟蹤演練跟蹤演練1(2018綿陽診斷性考試)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足:a1anS1Sn.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;解解由已知a1anS1Sn,當(dāng)n2時,由已知可得a1an1S1Sn1,得a1(anan1)an.若a10,則an0,此時數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an0.若a12,則2(anan1)an,化簡得an2an1,即此時數(shù)列an是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故an2n(nN*).綜上所述,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an0或an2n.解答(2)若

4、an0,數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Tn,試問當(dāng)n為何值時,Tn最?。坎⑶蟪鲎钚≈?解解因?yàn)閍n0,故an2n.由n50,解得n5,所以當(dāng)n4或n5時,Tn最小,熱點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景,給出數(shù)列所滿足的條件,通常利用點(diǎn)在曲線上給出Sn的表達(dá)式,還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問題,解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化.數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體,考查最值問題,不等關(guān)系或恒成立問題.解答例例2(2018遵義聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ln(1x).(1)若x0時,f(x)0,求的最小值;解解由已知可得f(0)0,若0,則

5、當(dāng)x0時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞增,f(x)f(0)0,不合題意;則當(dāng)x0時,f(x)0).(1)求A市2019年的碳排放總量(用含m的式子表示);解解設(shè)2018年的碳排放總量為a1,2019年的碳排放總量為a2,由已知,a14000.9m,a20.9(4000.9m)m4000.920.9mm3241.9m.解答(2)若A市永遠(yuǎn)不需要采取緊急限排措施,求m的取值范圍.解解a30.9(4000.920.9mm)m4000.930.92m0.9mm,an4000.9n0.9n1m0.9n2m0.9mm(40010m)0.9n10m.由已知nN*,an550,(1)當(dāng)40010m0,即m40時

6、,顯然滿足題意;(2)當(dāng)40010m0,即m40時,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得(40010m)0.910m550,解得m190.綜合得m40;(3)當(dāng)40010m40時,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得10m550,解得m55,綜合得40m55.綜上可得所求m的范圍是(0,55.常見數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法(1)產(chǎn)值模型:原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為p,對于時間n的總產(chǎn)值yN(1p)n.(2)銀行儲蓄復(fù)利公式:按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲蓄,本金為a元,每期的利率為r,存期為n,則本利和ya(1r)n.(3)銀行儲蓄單利公式:利息按單利計(jì)算,本金為a元,每期的利率為r,存期為n,則本利和ya(1nr).(4)分

7、期付款模型:a為貸款總額,r為年利率,b為等額還款數(shù),則b .思維升華思維升華跟蹤演練跟蹤演練3(2018上海崇明區(qū)模擬)2016 年崇明區(qū)政府投資 8 千萬元啟動休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目.規(guī)劃從 2017 年起,在今后的若干年內(nèi),每年繼續(xù)投資 2 千萬元用于此項(xiàng)目.2016 年該項(xiàng)目的凈收入為 5 百萬元,并預(yù)測在相當(dāng)長的年份里,每年的凈收入均在上一年的基礎(chǔ)上增長50%.記 2016 年為第 1 年,f(n)為第 1 年至此后第n(nN*)年的累計(jì)利潤(注:含第n年,累計(jì)利潤累計(jì)凈收入累計(jì)投入,單位:千萬元),且當(dāng)f(n)為正值時,認(rèn)為該項(xiàng)目贏利.解答(1)試求f(n)的表達(dá)式;解解由題意知,

8、第1年至此后第n(nN*)年的累計(jì)投入為82(n1)2n6(千萬元),第1年至此后第n(nN*)年的累計(jì)凈收入為解答(2)根據(jù)預(yù)測,該項(xiàng)目將從哪一年開始并持續(xù)贏利?請說明理由.當(dāng)n3時,f(n1)f(n)0,故當(dāng)n4時,f(n)遞增.該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利.答:答:該項(xiàng)目將從2023年開始并持續(xù)贏利.x4.從而當(dāng)x1,4)時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞增.該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利.答:答:該項(xiàng)目將從2023年開始并持續(xù)贏利.真題押題精練1.(2018全國)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若Sn2an1,則S6_.真題體驗(yàn)解析63答案解析解析Sn2an1,當(dāng)n2時,Sn12an11,a

9、nSnSn12an2an1(n2),即an2an1(n2).當(dāng)n1時,a1S12a11,得a11.數(shù)列an是首項(xiàng)a11,公比q2的等比數(shù)列,S612663.2.(2017山東)已知xn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1x23,x3x22.(1)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式;解答解解設(shè)數(shù)列xn的公比為q.所以3q25q20,由已知得q0,所以q2,x11.因此數(shù)列xn的通項(xiàng)公式為xn2n1(nN*).(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,依次連接點(diǎn)P1(x1,1),P2(x2,2),Pn1(xn1,n1)得到折線P1P2Pn1,求由該折線與直線y0,xx1,xxn1所圍成的區(qū)域的面積Tn.解答解解過P1,

10、P2,Pn1向x軸作垂線,垂足分別為Q1,Q2,Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1,記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn,所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1,得Tn321(2222n1)(2n1)2n1押題預(yù)測已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式Snkan1,k為不等于0的常數(shù).(1)試判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列;押題依據(jù)押題依據(jù)本題綜合考查數(shù)列知識,考查反證法的數(shù)學(xué)方法及邏輯推理能力.解答押題依據(jù)解解若數(shù)列an是等比數(shù)列,則由n1得a1S1ka2,從而a2ka3.又取n2,得a1a2S2ka3,于是a10,顯然矛盾,故數(shù)列an不是等比數(shù)列.押題依據(jù)押題依據(jù)是高考的熱點(diǎn)問題,即數(shù)列與不等式的完美結(jié)合,其中將求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法“裂項(xiàng)相消法”與“錯位相減法”結(jié)合在一起,考查了綜合分析問題、解決問題的能力.解答押題依據(jù)2nb從而Snan1.當(dāng)n2時,由Sn1an,得anSnSn1an1an,從而其前n項(xiàng)和Sn2n2(nN*).由得bnn2,記C2121220n2n2,則2C2120221n2n1,即n2n900,因?yàn)閚N*且n1,故n9,從而最小正整數(shù)n的值是10.

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