小學(xué)數(shù)學(xué)之 容斥原理

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1、第三十五周 容斥原理 專(zhuān)題簡(jiǎn)析： 容斥問(wèn)題涉及到一個(gè)重要原理——包含與排除原理，也叫容斥 原理。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它 們的和中排除重復(fù)部分。 容斥原理：對(duì) n 個(gè)事物，如果采用不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，按性質(zhì) a 分類(lèi)與性質(zhì) b 分類(lèi)（如圖），那么具有性質(zhì) a 或性質(zhì) b 的事物的個(gè) 數(shù)=N ＋N －N 。 a b ab Na  Nab  Nb 例 1：一個(gè)班有 48 人，班主任在班會(huì)上問(wèn)：“誰(shuí)做完語(yǔ)文作業(yè)？請(qǐng) 舉手！”有 37 人舉手。又問(wèn)：“誰(shuí)做完數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有 42 人舉手。最后

2、問(wèn)：“誰(shuí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒(méi)有做完？”沒(méi)有人舉手。 求這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)。 分析 完成語(yǔ)文作業(yè)的有 37 人，完成數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42 人，一 共有 37＋42=79 人，多于全班人數(shù)。這是因?yàn)檎Z(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完 成的人數(shù)在統(tǒng)計(jì)做完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)時(shí)算過(guò)一次，在統(tǒng)計(jì)做完數(shù)學(xué) 作業(yè)的人數(shù)時(shí)又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個(gè)班語(yǔ)文、 數(shù)作業(yè)都完成的有：79－48=31 人。 練  習(xí)  一 1，五年級(jí)有 122 名學(xué)生參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一 門(mén)功課取得優(yōu)秀成績(jī)。其中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的有 65 人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的 有 87

3、 人。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？ 2，四年級(jí)一班有 54 人，訂閱《小學(xué)生優(yōu)秀作文》和《數(shù)學(xué)大 世界》兩種讀物的有 13 人，訂《小學(xué)生優(yōu)秀作文》的有 45 人，每 人至少訂一種讀物，訂《數(shù)學(xué)大世界》的有多少人？ 3 ，學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂(lè)器，已知會(huì)拉手風(fēng)琴的 有 24 人，會(huì)彈電子琴的有 17 人，其中兩種樂(lè)器都會(huì)演奏的有 8 人。 這個(gè)文藝組一共有多少人？ 例 2：某班有 36 個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測(cè)試中，答對(duì)第一題的有 25 人，答 對(duì)第二題的有 23 人，兩題都答對(duì)的有 15 人。問(wèn)多少個(gè)同學(xué)兩題都 答得不對(duì)？ 分析與解答：已知答對(duì)第一

4、題的有 25 人，兩題都答對(duì)的有 15 人，可以求出只答對(duì)第一題的有 25－15=10 人。又已知答對(duì)第二題 的有 23 人，用只答對(duì)第一題的人數(shù)，加上答對(duì)第二題的人數(shù)就得 到至少有一題答對(duì)的人數(shù)：10＋23=33 人。所以，兩題都答得不對(duì) 的有 36－33=3 人。 練  習(xí)  二 1，五（1）班有 40 個(gè)學(xué)生，其中 25 人參加數(shù)學(xué)小組，23 人參 加科技小組，有 19 人兩個(gè)小組都參加了。那么，有多少人兩個(gè)小 組都沒(méi)有參加？ 2，一個(gè)班有 55 名學(xué)生，訂閱《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》的有 32 人， 訂閱《中國(guó)少年報(bào)》的有 29

5、 人，兩種報(bào)紙都訂閱的有 25 人。兩種 報(bào)紙都沒(méi)有訂閱的有多少人？ 3，某校選出 50 名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽，結(jié)果 3 人 兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)了，有 27 人兩項(xiàng)比賽都沒(méi)有獲獎(jiǎng)。已知作文比賽 獲獎(jiǎng)的有 14 人，問(wèn)數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有多少人？ 例 3：某班有 56 人，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有 28 人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有 27 人，如果兩科都沒(méi)有參加的有 25 人，那么同時(shí)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué) 兩科競(jìng)賽的有多少人？ 分析與解答：要求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù)，應(yīng)先求出至少參 加一科競(jìng)賽的人數(shù)：56－25=31 人，再求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù)： 28＋27－31=24

6、人。 練  習(xí)  三 1，一個(gè)旅行社有 36 人，其中會(huì)英語(yǔ)的有 24 人，會(huì)法語(yǔ)的有 18 人，兩樣都不會(huì)的有 4 人。兩樣都會(huì)的有多少人？ 2，一個(gè)俱樂(lè)部有 103 人，其中會(huì)下中國(guó)象棋的有 69 人，會(huì)下 國(guó)際象棋的有 52 人，這兩種棋都不會(huì)下的有 12 人。問(wèn)這兩種棋都 會(huì)下的有多少人？ 3，三年級(jí)一班參加合唱隊(duì)的有 40 人，參加舞蹈隊(duì)的有 20 人， 既參加合唱隊(duì)又參加舞蹈隊(duì)的有 14 人。這兩隊(duì)都沒(méi)有參加的有 10 人。請(qǐng)算一算，這個(gè)班共有多少人？ 例 4：在 1 到 100 的自然數(shù)中，既不是 5 的倍數(shù)也不是

7、 6 的倍數(shù)的 數(shù)有多少個(gè)？ 分析與解答：從 1 到 100 的自然數(shù)中，減去 5 或 6 的倍數(shù)的個(gè) 數(shù)。從 1 到 100 的自然數(shù)中，5 的倍數(shù)有 100÷5=20 個(gè)，6 的倍數(shù) 有 16 個(gè)（100÷6=16……4），其中既是 5 的倍數(shù)又是 6 的倍數(shù)（即 5 和 6 的公倍數(shù)）的數(shù)有 3 個(gè)（100÷30=3……10）。因此，是 6 或 5 的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是 16＋20－3=33 個(gè)，既不是 5 的倍數(shù)又不是 6 的 倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是：100－33=67 個(gè)。 練  習(xí)  四 1，在 1 到 200 的全部自然數(shù)中，既不

8、是 5 的倍數(shù)又不是 8 的 倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 2，在 1 到 130 的全部自然數(shù)中，既不是 6 的倍數(shù)又不是 5 的 倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 3，五（1）班做廣播操，全班排成 4 行，每行的人數(shù)相等。小 華排的位置是：從前面數(shù)第 5 個(gè)，從后面數(shù)第 8 個(gè)。這個(gè)班共有多 少個(gè)學(xué)生？ 例 5：光明小學(xué)舉辦學(xué)生書(shū)法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí) 學(xué)生的書(shū)法作品，其中有 24 幅不是五年級(jí)的，有 22 幅不是六年級(jí) 的，五、六年級(jí)參展的書(shū)法作品共有 10 幅，其他年級(jí)參展的書(shū)法 作品共有多少幅？ 分析與解答：由題意知， 24 幅作品是一、二、三、四、

9、六年 級(jí)參展作品的總數(shù)，22 幅是一、二、三、四、五年級(jí)參展作品的總 數(shù)。24＋22=46 幅，這是一個(gè)五、六年級(jí)和兩個(gè)一、二、三、四年 級(jí)參展的作品數(shù)，從其中去掉五、六兩個(gè)年級(jí)共參展的 10 幅作品， 即得到兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展作品的總數(shù)，再除以 2，即可 求出其他年級(jí)參展作品的總數(shù)。（24＋22－10）÷2=18 幅。 練  習(xí)  五 1 ，科技節(jié)那天，學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的科技 作品，其中有 110 件不是一年級(jí)的，有 100 件不是二年級(jí)的，一、 二年級(jí)參展的作品共有 32 件。其他年級(jí)參展的作品共有多少件？ 2，六（1）兒童節(jié)那天，學(xué)校的畫(huà)廊里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的 圖畫(huà)作品，其中有 25 幅畫(huà)不是三年級(jí)的，有 19 幅畫(huà)不是四年級(jí)的， 三、四兩個(gè)年級(jí)參展的畫(huà)共有 8 幅。其他年級(jí)參展的畫(huà)共有多少幅？ 3 ，實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉辦學(xué)生書(shū)法展，學(xué)校的櫥窗里展出每個(gè)年級(jí)學(xué) 生的書(shū)法作品，其中有 28 幅不是五年級(jí)的，有 24 幅不是六年級(jí)的， 五、六年級(jí)參展的書(shū)法作品共有 20 幅。一、二年級(jí)參展的作品總 數(shù)比三、四年級(jí)參展作品的總數(shù)少 4 幅。一、二年級(jí)參展的書(shū)法作 品共有多少幅？ 1 2 3 4