高一數(shù)學立體幾何練習題及部分答案匯編.doc

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立體幾何試題 一．選擇題（每題4分，共40分） 1.已知AB//PQ，BC//QR,則∠PQP等于（ ） A B C D 以上結(jié)論都不對 2.在空間，下列命題正確的個數(shù)為（ ） （1）有兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形,（2）四邊相等的四邊形是菱形 （3）平行于同一條直線的兩條直線平行 ;（4）有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行，那么這條直線與另一個平面的位置關(guān)系是（ ） A 平行 B 相交 C 在平面內(nèi) D 平行或在平面內(nèi) 4.已知直線m//平面，直線n在內(nèi)，則m與n的關(guān)系為（ ） A 平行 B 相交 C 平行或異面 D 相交或異面 5.經(jīng)過平面外一點，作與平行的平面，則這樣的平面可作（ ） A 1個 或2個 B 0個或1個 C 1個 D 0個 6.如圖,如果菱形所在平面,那么MA與BD的位置關(guān)系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 異面 D 相交但不垂直 7.經(jīng)過平面外一點和平面內(nèi)一點與平面垂直的平面有（ ） A 0個 B 1個 C 無數(shù)個 D 1個或無數(shù)個 8.下列條件中,能判斷兩個平面平行的是( ) A 一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面; B 一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面 C 一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面 D 一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面 9.對于直線,和平面,使成立的一個條件是( ) A B C D 10 .已知四棱錐,則中,直角三角形最多可以有( ) A 1個 B 2個 C 3個 D 4個 二．填空題（每題4分，共16分） 11.已知ABC的兩邊AC,BC分別交平面于點M,N，設(shè)直線AB與平面交于點O，則點O與直線MN的位置關(guān)系為_________ 12.過直線外一點與該直線平行的平面有___________個，過平面外一點與該平面平行的直線有 _____________條 13.一塊西瓜切3刀最多能切_________塊 14.將邊長是a的正方形ABCD沿對角線AC折起,使得折起后BD得長為a,則三棱錐D-ABC的體積為___________ 三、 解答題 15（10分）如圖，已知E,F分別是正方形的棱和棱上的點，且。求證：四邊形是平行四邊形 16（10分）如圖，P為所在平面外一點，AP=AC,BP=BC,D為PC的中點， 證明：直線PC與平面ABD垂直 17（12分）如圖，正三棱錐A-BCD，底面邊長為a，則側(cè)棱長為2a，E,F分別為AC,AD上的動點，求截面周長的最小值和這時E,F的位置. 18（12分）如圖，長方形的三個面的對角線長分別是a,b,c，求長方體對角線的長 答案 1.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D 9.A 10.D 1三點共線2無數(shù) 無數(shù) 3. 7 4 1證明: 過作 又由∥且= 可知 ∴四邊形是平行四邊形 2 ∵ 為的中點 ∴ ∵ 為的中點 ∴ ∴平面 ∴ 3 提示:沿線剪開 ,則為周長最小值.易求得的值為,則周長最小值為. 4解: 15（10分）如圖，已知E,F分別是正方形的棱和棱上的點，且。求證：四邊形是平行四邊形 6（10分）如圖，P為所在平面外一點，AP=AC,BP=BC,D為PC的中點， 證明：直線PC與平面ABD垂直 17（12分）如圖，正三棱錐A-BCD，底面邊長為a，則側(cè)棱長為2a，E,F分別為AC,AD上的動點，求截面周長的最小值和這時E,F的位置. 18（12分）如圖，長方形的三個面的對角線長分別是a,b,c，求長方體對角線的長 答案 1證明: 過作 又由∥且= 可知 ∴四邊形是平行四邊形 4 ∵ 為的中點 ∴ ∵ 為的中點 ∴ ∴平面 ∴ 5 提示:沿線剪開 ,則為周長最小值.易求得的值為,則周長最小值為. 4解: 高一數(shù)學必修2立體幾何測試題 試卷滿分：100分 考試時間：120分鐘 班級___________ 姓名__________ 學號_________ 分數(shù)___________ 第Ⅰ卷 一、選擇題（每小題3分，共30分） 1、線段在平面內(nèi)，則直線與平面的位置關(guān)系是 A、 B、 C、由線段的長短而定 D、以上都不對 2、下列說法正確的是 A、三點確定一個平面 B、四邊形一定是平面圖形 C、梯形一定是平面圖形 D、平面和平面有不同在一條直線上的三個交點 3、垂直于同一條直線的兩條直線一定 A、平行 B、相交 C、異面 D、以上都有可能 4、在正方體中，下列幾種說法正確的是 A、 B、 C、與成角 D、與成角 5、若直線l∥平面，直線，則與的位置關(guān)系是 A、l∥a B、與異面 C、與相交 D、與沒有公共點 6、下列命題中：（1）平行于同一直線的兩個平面平行；（2）平行于同一平面的兩個平面平行；（3）垂直于同一直線的兩直線平行；（4）垂直于同一平面的兩直線平行.其中正確的個數(shù)有 A、1 B、2 C、3 D、4 7、在空間四邊形各邊上分別取四點，如果與能相交于點，那么 A、點不在直線上 B、點必在直線BD上 C、點必在平面內(nèi) D、點必在平面外 8、a，b，c表示直線，M表示平面，給出下列四個命題：①若a∥M，b∥M，則a∥b；②若bM，a∥b，則a∥M；③若a⊥c，b⊥c，則a∥b；④若a⊥M，b⊥M，則a∥b.其中正確命題的個數(shù)有 A、0個 B、1個 C、2個 D、3個 9、已知二面角的平面角是銳角，內(nèi)一點到的距離為3，點C到棱的距離為4，那么的值等于 A、 B、 C、 D、 10、如圖:直三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，點P、Q分別在側(cè)棱AA1 和CC1上，AP=C1Q，則四棱錐B—APQC的體積為 A、 B、 C、 D、 二、填空題（每小題4分，共16分） 11、等體積的球和正方體,它們的表面積的大小關(guān)系是_____ (填”大于、小于或等于”). 12、正方體中，平面和平面的位置關(guān)系為 13、已知垂直平行四邊形所在平面，若，平行則四邊形一定是 . 14、如圖，在直四棱柱A1B1C1 D1－ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_________時，有A1 B⊥B1 D1．(注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形.) 第Ⅱ卷 一、選擇題（每小題3分，共30分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空題（每小題4分，共16分） 11、 12、 13、 14、 三、解答題(共54分,要求寫出主要的證明、解答過程) 15、已知圓臺的上下底面半徑分別是2、5,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和,求該圓臺的母線長. (7分) 16、已知E、F、G、H為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點,且ＥＨ∥ＦＧ． 求證：EH∥BD. (8分) 17、已知中,面,,求證：面．(8分) 18、一塊邊長為10的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器,試建立容器的容積與的函數(shù)關(guān)系式,并求出函數(shù)的定義域. (9分) 19、已知正方體，是底對角線的交點. 求證：(１) C1O∥面；(2)面． (10分) 20、已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD， ∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且 （Ⅰ）求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC； （Ⅱ）當λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD？ (12分) 高一立體幾何試題 一、選擇題：(每題5分) 1.下列說法中正確的個數(shù)為 （ ） ①以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺②用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺③各個面都是三角形的幾何體是三棱錐④以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐⑤棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐⑥圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 如圖,一幾何體的三視圖如下：則這個幾何體是 （ ） A. 圓柱 B. 空心圓柱 C. 圓 D. 圓錐 O 450 俯視圖 正 視 圖 側(cè)視圖 3．一梯形的直觀圖是一個如上圖所示的等腰梯形，且梯形OA/B/C/的面積為，則原梯形的面積為 ( ) A. B. C. D. 4. 圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是，則圓錐的體積是 （ ） A． B C D 5. 一個圓臺的上、下底面面積分別是1和49，一個平行底面的截面面積為25，則這個截面與上、下底面的距離之比是 ( ) A : 1 B. 3: 1 C. : 1 D. : 1 6. 長方體的一個頂點上三條棱的邊長分別為3、4、5，且它的八個頂點都在同一個球面上，這個球的表面積是 （ ） A. B. C. D. 7. 下列命題中正確的個數(shù)是 （ ） ①若直線上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則 ②若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行 ③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行 ④若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知直線，有以下幾個判斷：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．上述判斷中正確的是 （ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 9. 如圖是正方體的展開圖，則在這個正方體中，以下四個命題中正確的序號是（ ） ①與平行． ②與是異面直線． ③與成角．④與垂直． A. ①②③ B. ③④ C. ②④ D. ②③④ 10．在四面體中，分別是的中點， 若，則與所成的角的度數(shù)為 （ ） A． B． C． D． 11. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=，B1B=BC=1，則面BD1C與面AD1D所成二面角的大小為 （ ） A． B． C． D． 12. 螞蟻搬家都選擇最短路線行走，有一只螞蟻沿棱長分別為 1cm,2cm,3cm的長方體木塊的頂點A處沿表面達到頂點B處 （如圖所示），這只螞蟻走的路程是（ ） A． B． C． D．1+ 二、填空題（每題5分） 13. 半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為________________. 14．已知是一對異面直線，且成角，為空間一定點，則在過點的直線中與所成的角為的直線有 條。 15. 三個平面可將空間分成 部分（填出所有可能結(jié)果）。 16.如果直線和平面滿足∥，∥那么直線的位置關(guān)系是 三．解答題。（17題10分，其余每題12分） 17. 已知：四邊形ABCD是空間四邊形，E, H分別是邊AB，AD的中點，F(xiàn), G分別是邊CB，CD上的點，且,求證 FE和GH的交點在直線AC上. 18. 已知圓臺的上、下底面半徑分別是2、6，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和． （Ⅰ）求該圓臺的母線長；（Ⅱ）求該圓臺的體積。 19．如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a, E F D C B A F是BE的中點，求證： （1） FD∥平面ABC;（2）AF⊥平面EDB 20.如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積. 21. 三棱柱中ABC-A1B1C1中,側(cè)棱A1A垂直于底面ABC ，B1C1=A1C1,，AC1⊥A1B, M,N分別為A1B1,AB中點，求證： M N A1 B1 C1 C B A （1）平面AMC1∥平面NB1C （2）A1B⊥AM． 22如圖，在三棱錐中，底面， 點，分別在棱上，且 （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）當為的中點時，求與平面所成的角的大?。? （Ⅲ）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明 理由. . 高一數(shù)學必修2立體幾何測試題參考答案 一、選擇題（每小題5分，共60分） ACDDD BCBDB 二、填空題（每小題4分，共16分） 11、小于 12、平行 13、菱形 14、對角線A1C1與B1D1互相垂直 三、解答題（共74分,要求寫出主要的證明、解答過程） 15、解:設(shè)圓臺的母線長為,則 1分 圓臺的上底面面積為 2分 圓臺的上底面面積為 3分 所以圓臺的底面面積為 4分 又圓臺的側(cè)面積 5分 于是 6分 即為所求. 7分 16、證明：面，面 ∴EH∥面 4分 又面，面面， ∴EH∥BD 8分 17、證明： 1分 又面 3分 面 4分 6分 又 面 8分 18、解:如圖,設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長為. 在Rt△EOF中, , 2分 所以, 5分 于是 7分 依題意函數(shù)的定義域為 9分 19、證明：（1）連結(jié)，設(shè) 連結(jié)， 是正方體 是平行四邊形 ∴A1C1∥AC且 1分 又分別是的中點，∴O1C1∥AO且 是平行四邊形 3分 面，面 ∴C1O∥面 5分 （2）面 6分 又， 7分 8分 同理可證， 9分 又 面 10分 20、證明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD， ∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC. 2分 又 ∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF, ∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC. 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD， ∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC. 7分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴ 9分 由AB2=AE·AC 得 11分 故當時，平面BEF⊥平面ACD. 12分 高一立幾復習題（一） 1．用符號表示“點A在直線l上，l在平面外”為 2．右圖所示的直觀圖，其原來平面圖形的面積是 3．若一個底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示， 則這個棱柱的側(cè)面積為 。 4．a(chǎn)，b，c分別表示三條直線，M表示平面，給出下列四個命題：①若a∥M，b∥M，則a∥b；②若bM，a∥b，則a∥M；③若a⊥c，b⊥c，則a∥b；④若a⊥M，b⊥M，則a∥b.其中不正確命題的有 （填序號） 5．已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于 6.經(jīng)過一點和一直線垂直的直線有 條；經(jīng)過一點和一平面垂直的直線有 （） 條；經(jīng)過平面外一點和平面平行的直線有 條. 7．在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體,則截去8個三棱錐后,剩下的凸多面體的體積是 8.PA垂直于⊿ABC所在的平面，若AB=AC=13，BC=10，PA=12，則P到BC的距離為 . 9.長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=a，AB=b，則AA1到對角面DD1B1B的距離是 . 10.下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出的圖形的序號是 . 11.已知是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命題： （1）. （2）m∥β，m⊥n，則n⊥β. （3）如果點M是兩條異面直線外的一點，則過點M且與a，b都平行的平面有且只有一個. （4）若 其中正確的命題是 ▲ . 12.正方體的全面積是6a2,它的頂點都在球面上，這個球的表面積是______,體積是_______． 13.正四面體的四個頂點都在表面積為36π的一個球面上，則這個四面體的高等于________． 14.棱長為的正四面體內(nèi)任意一點到各面距離之和為定值，則這個定值等于_________． 1 2 主視圖 2 1 左視圖 1 1 俯視圖 15.某師傅需用合板制作零件，其大致形狀的三視圖如右圖所示(單位長度: cm) ，圖中的水平線與豎線垂直. （1）作出此零件的直觀圖； （2）若按圖中尺寸，求做成的零件用去的合板的面積.（制作過程合板的損耗和合板厚度忽略不計）. C A B 16已知Rt⊿ABC中，∠C=90o，C∈a，AB∥平面a，AB=8，AC、BC與平面a所成角分別30o、60o，求AB到平面a的距離. D A B C 17.正三棱錐的高為1，底面邊長為，此三棱錐內(nèi)有一個球和四個面都相切． （１）求棱錐的全面積； （２）求球的體積． . 18.在四棱錐P-ABCD中,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,問底面的邊BC上是否存在點E, B Q C D P A (1)使得∠PED=900; (2)使∠PED為銳角．證明你的結(jié)論． 19.三棱錐各側(cè)面與底面成45°角，底面三角形各角成等差數(shù)列，而最大邊和最小邊的長是方程兩根，求此三棱錐的側(cè)面積和體積． 20.如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD于A，E、F分別是AB、PD之中點． （1）求證：AF∥平面PCE； （2）若二面角P－CD－B為45°，求證：平面PCE⊥平面PCD； （3）在（2）的條件下，若AD=2，CD=，求F點到平面PCE距離． E B C F P D A 立體幾何測試題 1．[原創(chuàng)]以下關(guān)于幾何體的三視圖的論述中，正確的是（ ） A．球的三視圖總為全等的圓 B．正方體的三個視圖總是正三個全等的正方形 C．水平放置的正四面體的三個視圖都是正三角形 D．水平放置的圓臺的俯視圖是一個圓 2．[原創(chuàng)]圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是（ ） A． B． C． D． 3．正方體中，、、分別是、、的中點．那么，正方體的過、、的截面圖形是（ ）。 A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 4．[改編]將棱長為1的正方體木塊切削成一個體積最大的球，則該球的體積為（ ） A． B． C． D． 5．正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1，則側(cè)棱與底面所成的角為（ ） A．75° B．60° C．45° D．30° 6．正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為，則它的側(cè)面積為（ ） A．24 B．12 　 　　C． 　 D． 7．設(shè)是三個不重合的平面，l是直線，給出下列命題 ①若，則； ②若l上兩點到的距離相等，則； ③若 ④若 其中正確的命題是 （ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 8．在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是（ ）。 A．BC//平面PDF B．DF⊥平面PA E C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面 ABC 9．[原創(chuàng)]一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為，腰和上底邊均為1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是 （ ） A. B. C. D. 10．（文科）如圖1，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成的角的余弦值是（ ）。 A． B． C． D． A B C D A1 B1 C1 D1 E F G 圖1 （理科）甲烷分子結(jié)構(gòu)是：中心一個碳原子，外圍四個氫原子構(gòu)成四面體，中心碳原子與四個氫原子等距離，且連成四線段，兩兩所成角為θ，則cosθ值為（ ） A． B． 　C． D． 11．在正三棱柱中，若AB=2，則點A到平面的距離為（ ） A． B． C． D． 12．[改編]已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體的表面上與點A距離是的點的集合形成一條曲線，這條曲線的長度是 （ ） A． B C． D． 13．正三棱錐P－ABC中，三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為，則P點到面ABC的距離是 14．[改編]（文科）三個平面兩兩垂直，它們的三條交線交于一點O，P到三個面的距離分別是6，8，10，則OP的長為 。 （理科）已長方體的全面積是8，則其對角線長的最小值是 P A B D C M 圖2 15．如圖2，在四棱錐P－ABCD中，PA底面ABCD， 底面各邊都相等，M是PC上的一個動點，當點M滿足 時，平面MBD平面PCD． 16．在空間中：①若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線；②若兩條直線沒有共點，則這兩條直線是異面直線． 以上兩個命題中，逆命題為真命題的是 ．（把符合要求的命題序號都填上） 17．[原創(chuàng)]如圖3所示，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會溢出杯子嗎？ 圖3 18．矩形中，，平面，邊上存在點，使得，求的取值范圍． 圖4 19．如圖4，在三棱錐P-ABC中，，　，　點Ｏ，Ｄ分別是的中點，底面.　 （1）求證//平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值的大?。? A B C D D1 C1 B1 A1 圖5 20．（文科）如圖5，已知直四棱柱中，，底面ABCD是直角梯形，A是直角，AB//CD，AB=4，AD=2，DC=1，求異面直線與DC所成角的余弦值。 A B C D F A1 B1 C1 D1 圖6 （理科）如圖6，在棱長，的長方體中，點E是平面BCC1B1上的點，點F是CD的中點． （1）試求平面AB1F的法向量； （2）試確定E的位置，使 平面。 21．[改編]如圖7所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、M、N分別為棱DD1、AB、BC的中點． （1）求二面角-MN-B的正切值； A B C M D N P 圖7 （2）畫出一個正方體的表面展開圖，使其滿足“有4個正方形相連成一個長方形”這一條件，并求展開圖中P、B兩點間的距離(設(shè)正方體的棱長為1). 22．一只小船以10 m/s的速度由南向北勻速駛過湖面，在離湖面高20米的橋上，一輛汽車由西向東以20 m/s的速度前進（如圖8），現(xiàn)在小船在水平P點以南的40米處，汽車在橋上Q點以西30米處（其中PQ⊥水面），求小船與汽車間的最短距離為.（不考慮汽車與小船本身的大?。? 圖8 P Q 參考答案： 1．選A。畫幾何體的三視圖要考慮視角，對于球無論選擇怎樣的視角，其三個視圖均為全等的圓。 2．選C。圓柱的底面積為S，則底面半徑，底面圓的周長是，故側(cè)面積。 3．選D。通過畫圖，可以得到這個截面與正方體的六個面都相交，所以截面為六邊形。 A B C D S 第5題圖 O 4．選C。正方體削成最大的球，即正方體棱長為球的直徑，即，，故。 5．如圖所示，設(shè)側(cè)棱與底面所成的角為，則，所以。 6．選A。由底面邊長為2，可知底面半徑為2，由勾股定理可知側(cè)棱長為2，所以。 7．選D。命題①和可能平行；命題②中和相交。 A B C D 第9題圖 P A B C O 第8題圖 H 8．選C。如圖所示：取DF的中點O，易證為二面角的平面角，因為P點在底面上的射影是底面的中心，故不可能為直角，所以平面PDF與平面ABC不垂直。 9．選B。還原成平面圖形為如圖所示的直角梯形，且，，，故。 A B C D A1 B1 C1 D1 E F G 第10題（文）圖 P A B C H O D 第10題（理）圖 10．（文科）如圖所示，連結(jié)、，則或其補角是異面直線A1E與GF所成的角，由余弦定理：，所以。 A B C A1 B1 C1 第11題圖 （理科）選A。 即正四面體的各頂點與中心連線所成的角，如圖，設(shè)棱長為1，則有：，，，設(shè)，在中，由得：，故。 11．設(shè)點A到平面的距離為，則由可得：。 12．曲線在過A的三個面上都是以A為圓心，為半徑的四分之一圓弧，所以曲線的總長度為。 Ａ Ｂ Ｃ Ａ1 Ｂ1 O Ｐ 第14題圖 13．設(shè)P點到面ABC的距離為，由體積公式可得：，故。 14．如圖，構(gòu)造長方體，其中側(cè)面AO，BO，A1O所在的平面即為已知的三個兩兩垂直的平面，則長方體的長、寬、高分別為6，8，10，而OP的長即為長方體的體對角線的長，所以O(shè)P2=36+64+100=200． 故。 （理科）設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，對角線 15．答案：BM⊥PC（或DM⊥PC）．底面四邊形ABCD各邊都相等，所以四邊形ABCD是菱形，故AC⊥BD，又因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又，所以BD⊥平面PAC，即有PC⊥BD，故要使平面MBD⊥平面PCD，只須BM⊥PC，或DM⊥PC． 16．答案②．①的逆命題是：“若四點中的任何三點都不共線，則這四點不共面”，為假命題，反例可以找正方形，沒有三點共線，但四個頂點共面；②的逆命題是：“若兩條直線是異面直線，那么這兩條直線沒有公共點”，由異面直線的定義知這個命題正確． 17．解：；。因為，故冰淇淋融化了，不會溢出杯子。 18．如圖，連結(jié)AQ，∵PQ⊥QD，PA⊥QD，PQ∩PA=P，∴QD⊥平面PQA，于是QD⊥AQ，∴在線段BC上存在一點Q，使得QD⊥AQ，等價于以AD為直徑的圓與線段BC有交點，∴,2. P A B C D Q 第18題圖 P A B C D E F O 第19題圖 19．（1）Ｏ、Ｄ分別為、的中點．∴ ，又平面，，∴ 平面. (2) ，，∴又平面，∴.取中點Ｅ，連結(jié),則平面.作于F,連結(jié),則平面,∴是與平面所成的角．在中，．所以與平面所成的角正弦值為. A B C D D1 C1 B1 A1 H 第20題文圖 20．（文科）由題意AB∥CD，∴∠C1BA是異面直線BC1與DC所成的角。連結(jié)AC1與AC，在Rt△ADC中，可得AC=。 又在Rt△ACC1中，可得AC1=3。在梯形ABCD中，過C作CH∥AD交AB于H,得∠CHB=90°，CH=2，HB=3, ∴CB=。又在Rt△CBC1中，可得BC1=，在△ABC1中,cos∠C1BA=，∴∠C1BA=arccos．所以異面直線BC1與DC所成角的余弦值大小為． A B C D F A1 B1 C1 D1 第20題理圖 x y z （理）如圖，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則A（0，0，0），B1（2，0，3），F(xiàn)（1，2，0），∴，（1，2，0）。 （1）設(shè)平面AB1F的一個法向量為，由得即∴，∴可取平面AB1F的一個法向量為． （2）∵D1（0，2，3），設(shè)E（2，y，z），則，由（1）知，平面AB1F的一個法向量為，∴要使D1E平面AB1F，只須使，∴令，即∴∴當E點坐標為（2，1，時，D1E平面AB1F． 21．A B C M D N P E A B D C C D B P P ② ① ③ ④ 第21題（1） 第21題（2） 設(shè)棱長為1,取MN的中點E,連結(jié)BE, 正方體ABCD-A1B1C1D1中， M、N分別為棱AB、BC的中點，∴，∴，∵，∴,∴∠是二面角的平面角.且BE=. (2)展開圖如右圖所示. P、B兩點間的距離共計4種情況,①PB=； ②PB=；③PB=； ④PB=.求得其中一個即可. A Q P B C 22．設(shè)經(jīng)過時間t汽車在A點，船在B點，如圖所示，則AQ=30–20t，BP=40—10t，PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，設(shè)小船所在平面為α,AQ,QP確定平面為β,記α∩β=l,由AQ∥α，AQβ得AQ∥l，又AQ⊥PQ，得PQ⊥l，又PQ⊥PB，及l(fā)∩PB=P得PQ⊥α.作AC∥PQ，則AC⊥α.連CB，則AC⊥CB，進而AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP，∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（40－10t）2+(30—20t)2=100［5(t—2)2+9］，t=2時AB最短，最短距離為30 m.． 備用題： 1．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點，則A1C與DE所成的角的余弦值為（ ） A． B． C． D． A1 A B B1 D D1 C C1 R ·E 圖 解：選A．分別以DA、DC、DD1為軸、軸、軸， 設(shè)棱長為2，則，，，故 有：，，由 。所以A1C與DE所成的角的余弦值為。 2．如圖，是幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是 . 解：這種題型最直接的解決方法就是還原法，根據(jù)三視圖畫出它的立體圖形。本題的立體圖形如下，所以正確答案應(yīng)該是5個。 3．已知A，B，C，D為同一球面上的四點，且連接每兩點的線段長都等于2，則球心到平面BCD的距離等于_____________。 解：易知四面體ABCD是以棱長為2的正四面體，球心為正面體的中心，可求得正四面體的高為，球的半徑為，所球心到底面的距離為。 4．已知平面a與平面b交于直線l，P是空間一點，PA⊥a，垂足為A，PB⊥b，垂足為B，且PA=1，PB=2，若點A在b 內(nèi)的射影與點B在a內(nèi)的射影重合，則點P到l的距離為________. 解：因為“點A在b 內(nèi)的射影與點B在a內(nèi)的射影重合”，記為H，則四邊形PAHB為矩形，所以點P到l的距離為矩形的對角線，對角線的長度為，所以P到l的距離。 5．在中，，，所在平面外一點到A、B、C的距離都是14，則點P到面ABC的距離為 解：由P到A、B、C的距離知，P點在底面上的射影O為底面的外心，故，即，設(shè)P到面ABC的距離為，則。 6．在梯形中，分別是上的點，，的中點．現(xiàn)沿將四邊形折起，使（如圖9－11－4）． (1)求證：平面平面； (2)確定的值并計算二面角的大??； (3)求點到平面的距離． C B F E D A G · B E F D A C G · 圖9－11－4 B E F D A C G · 圖 C B F E D A G · x y z (1)在原圖中:.∵，∴，，折起后：由 及已知, 所以,平面. (2)知兩兩垂直,建立以為空間坐標系原點分別為軸.則，，,,解得. 即,.設(shè)平面的一個法向量為,由，,即．又平面的一個法向量.∴,又因為二面角的平面角為鈍角,所以為. (3)點到面的距離為．