第十七講容斥原理

第十七講 容斥原理 在應(yīng)用加法原理時，關(guān)鍵在于把所要計數(shù)的對象分為若干個不重不漏的類，使得每類便于計數(shù)。但是具體問題往往是復(fù)雜的，常常扭成一團，難以分為不重不漏的類，而要把條理分清楚就得用加法原理的推廣——容斥原理。先請看一個例子。 例1．某校同學(xué)參加全市的數(shù)學(xué)和語文學(xué)科競賽，結(jié)果有23人得數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝獎，有15人獲得語文競賽優(yōu)勝獎，其中有8人兩門學(xué)科競賽都獲得優(yōu)勝獎，問這個學(xué)校有多少名學(xué)生獲獎？ 例2．如圖17-2，在邊長為1的正方形中，以其一對相對頂點為圓心，邊長為半徑作圓弧，則圖中陰影部分的面積是 。 例3．在1到100的全部自然數(shù)中，不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？ 例4．在1到100個自然數(shù)中，既非3的倍數(shù)也不是4與5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？ 例5．如圖17-6，A，B，C分別是面積為12，28，16的三張不同形狀的紙片，它們疊放在一起蓋住的總面積為38平方米，若A與B，B與C，C與A的公共部分的面積分別為8，7，6，求A，B，C三張紙片的公共部分的面積（圖中陰影部分）。 例6．在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成十等份，第二種將木棍分成十二等份，第三種將木棍分成十五等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸段，木棍總共被鋸成多少段？ 練習(xí)題17 一、填空題 1．某校有500名學(xué)生報名參加學(xué)科競賽 ，數(shù)學(xué)競賽參加者共312名，作文競賽 參加者共353名，其中這兩科都參加的有292名，那么這兩科都沒有參加的人數(shù) 為 人。 2．某門診部統(tǒng)計一天掛號的病人，內(nèi)科150人，外科92人，其中內(nèi)、外兩科都求診的18人，這一天共來了 個病人。 3．兩個正方形的紙片蓋在桌面上，位置與尺寸如 圖17-7所示，則它們蓋住 （平方厘米）。 4．不超過30的正整數(shù)中，是3的倍數(shù)或4的倍 數(shù)的數(shù)有 個。 5．在一次運動會中，甲班參加田賽的有15人，參加徑賽的有12人，既參加田賽又參加徑賽的有7人，沒有參加比賽的有21人，那么甲班共 人。 6．在桌面上放置著三個兩兩重疊的圓紙片（如圖17-8）， 它們的面積都是100（cm2）并知A、B兩重疊的面積 是20（cm2）， A、C兩重疊的面積為45（cm2），B、 C兩圓重疊面積為31（cm2），三個圓共同重疊的面積 為15（cm2）。求蓋住桌子的總面積是 平方厘米。 7．在一次考試中，某班數(shù)學(xué)得100分的有17人，語文得100分的有13人，兩科都得100分的有7人，那么兩科中至少有一科得100分的共有 人。全班45人中兩科都不得100分的有 人。 8．在1，2，3，…，1000這1000個自然數(shù)中，既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)的數(shù)共有 個。 9．小于1000的自然數(shù)中，是完全平方數(shù)而不是完全立方數(shù)的數(shù)有 個。 10．某校有學(xué)生960人，其中有510人訂閱“作文報”，有330人訂閱“數(shù)學(xué)報”，有120人訂閱“科學(xué)愛好者”，全校學(xué)生中有270人訂閱兩種報刊，有58人三種報刊都訂，那么這學(xué)校中沒有訂閱任何報刊的有 人。 二、解答題 11．70名學(xué)生參加體育比賽，短跑得獎的31人，投擲得獎的36人，彈跳得獎的 29人，短跑與擲二項均得獎的12人，跑、跳、投三項均得獎的有5人，只得彈跳獎的 有7人，只得投擲獎的有15人。求（1）只得短跑獎的人數(shù)。（2）得二項獎的總?cè)藬?shù)。 （3）一項獎均未得的人數(shù)。 12．64人訂A，B，C三種雜志。訂A種雜志的28人，訂B種雜志的有41人， 訂C種雜志的有20人，訂A，B兩種雜志的有10人，訂B，C兩種雜志的有12人， 訂A，C兩種雜志的有12人，問三中雜志都訂的有多少人？ 13．求從1到1994中不能被5整除，也不能被6或7整除的自然數(shù)的個數(shù)。 14．夏日的一天，有10個同學(xué)去吃冷飲。向服務(wù)他員交出需要冷飲的統(tǒng)計，數(shù)字如下，有6個人要可可，有5個人要咖啡，有5個人要果汁，有3個人既要可可又要咖啡，有2個人既要咖啡又要果汁，有3個人既要可可又要果汁，有一個人人既要可可、咖啡又要了果汁。求證其中一定有一個人什么冷飲也沒要。