中南大學(xué)《自動(dòng)控制理論》第五章頻率法分析5.3

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1、Wednesday, September 23, 2020,1,第五節(jié) 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù),Wednesday, September 23, 2020,2,主要內(nèi)容 幅角定理 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù) 奈氏穩(wěn)定判據(jù)在、 型系統(tǒng)中的應(yīng)用 在波德圖或尼柯爾斯圖上判別系統(tǒng)穩(wěn)定性,奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。,Wednesday, September 23, 2020,3,一、幅角定理：,設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，其中：為前向通道傳遞函數(shù)， 為反饋通道傳遞函數(shù)。

2、,閉環(huán)傳遞函數(shù)為： ，如下圖所示：,令：,Wednesday, September 23, 2020,4,顯然，輔助方程即是閉環(huán)特征方程。其階數(shù)為n階，且分子分母同階。則輔助方程可寫成以下形式：,。式中， 為F(s)的零、極點(diǎn)。,Wednesday, September 23, 2020,5,F(s)是復(fù)變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對于此區(qū)域內(nèi)的任何一點(diǎn) 都可以在F(s)平面上找到一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn) ， 稱為 在F(s)平面上的映射。,同樣，對于s平面上任意一條不通過F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線 ，也可在F(s)平面上找到一條與之相對應(yīng)的

3、封閉曲線 （為 的映射）。,例輔助方程為： ，則s平面上 點(diǎn)（-1，j1），映射 到F(s)平面上的點(diǎn) 為（0，-j1）,見下圖：,Wednesday, September 23, 2020,6,同樣我們還可以發(fā)現(xiàn)以下事實(shí)：s平面上 曲線 映射到F(s)平面的曲線為 ，如下圖：,曲線 是順時(shí)針運(yùn)動(dòng)的，且包圍了F(s)的一個(gè)極點(diǎn)（0），不包圍其零點(diǎn)（-2）；曲線 包圍原點(diǎn)，且逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。,再進(jìn)一步試探，發(fā)現(xiàn)：若 順時(shí)針包圍F(s)的一個(gè)極點(diǎn)（0）和一個(gè)零點(diǎn)（-2），則 不包圍原點(diǎn)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)；若 順時(shí)針只包圍F(s)的一個(gè)零點(diǎn)（-2），則 包圍原點(diǎn)且順時(shí)針運(yùn)動(dòng)。,這里有一

4、定的規(guī)律，就是下面介紹的柯西幅角定理。,Wednesday, September 23, 2020,7,柯西幅角定理：s平面上不通過F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線 包圍s平面上F(s)的z個(gè)零點(diǎn)和p個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)s以順時(shí)針方向沿封閉曲線 移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上相對應(yīng)于封閉曲線 將以順時(shí)針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N，z，p的關(guān)系為：N=z-p。,若N為正，表示 順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)；,若N為0，表示 順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，不包圍原點(diǎn)；,若N為負(fù)，表示 逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)。,Wednesday, September 23, 2020,8,二、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：,對于一個(gè)控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系

5、統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于上面討論的輔助方程 ，其零點(diǎn)恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，只要搞清F(s)的的零點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點(diǎn)個(gè)數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,我們這里是應(yīng)用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開環(huán)頻率特性是已知的。設(shè)想：,如果有一個(gè)s平面的封閉曲線能包圍整個(gè)s右半平面，則根據(jù)柯西幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為： 當(dāng)已知開環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時(shí)，便可由N判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。,Wednesday, September 23, 2020,9,這里需要解決兩個(gè)問

6、題： 1、如何構(gòu)造一個(gè)能夠包圍整個(gè)s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？ 2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對原點(diǎn)的包圍次數(shù)N，并將它和開環(huán)頻率特性 相聯(lián)系？,它可分為三部分：部分是正虛軸， 部分是右半平面上半徑為無窮大的半圓； ；部分是負(fù)虛軸， 。,第1個(gè)問題：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒有零、極點(diǎn)。按順時(shí)針方向做一條曲線 包圍整個(gè)s右半平面，這條封閉曲線稱為奈魁斯特路徑。如下圖：,Wednesday, September 23, 2020,10,F(s)平面上的映射是這樣得到的：以 代入F(s)并令 從 變化，得第一部分的映射；在F(s

7、)中取 使角度由 ， 得第二部分的映射；令 從 ，得第三部分 的映射。稍后將介紹具體求法。,得到映射曲線后，就可由柯西幅角定理計(jì)算 ，式中：是F(s)在s右半平面的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)。確定了N，可求出 。當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。,第2個(gè)問題：輔助方程與開環(huán)頻率特性的關(guān)系。我們所構(gòu)造的的輔助方程為 ， 為開環(huán)頻率特性。因此，有以下三點(diǎn)是明顯的：,Wednesday, September 23, 2020,11,F(s)對原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于 對(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對原點(diǎn)的包圍次數(shù)N與 對(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣

8、。,奈魁斯特路徑的第部分的映射是 曲線向右移1；第部分的映射對應(yīng) ，即F(s)=1;第部分的映射是第部分映射的關(guān)于實(shí)軸的對稱。,F(s)的極點(diǎn)就是 的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是 在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。,由 可求得 ，而 是開環(huán)頻率特性。一般在 中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當(dāng) 時(shí)， ，即F(s)=1。（對應(yīng)于映射曲線第部分）,Wednesday, September 23, 2020,12,Wednesday, September 23, 2020,13,根據(jù)上面的討論，如果將柯西幅角定理中的封閉曲線取奈魁斯特路徑，則可將柯西幅角定理用于判

9、斷閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。就是下面所述的奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)。,奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有 個(gè)極點(diǎn)，且幅相曲線逆時(shí)針包圍臨界點(diǎn)的圈數(shù)(-1,j0)點(diǎn)為R，（R0逆時(shí)針，R<0順時(shí)針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)為： 。若 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。,Wednesday, September 23, 2020,14,例5-6開環(huán)傳遞函數(shù)為： ， 試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為0，繞(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)R=0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個(gè)數(shù)： 。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,Wednesday, S

10、eptember 23, 2020,15,例5-7設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： ，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：開環(huán)極點(diǎn)為-1， -1 j2，都在s左半平面，所以 。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時(shí)針圍繞 (-1,j2)點(diǎn)2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點(diǎn)數(shù)為： ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,Wednesday, September 23, 2020,16,解：開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個(gè)半徑為 ，圓心在 的圓。顯然，k=1時(shí)，包圍(-1,j0)點(diǎn)，k<1時(shí)不包圍(-1,j0)點(diǎn)。,由圖中看出：當(dāng)k1時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針包圍 (-1 , j0)點(diǎn)一圈，R=1 ，

11、而 ，則 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,Wednesday, September 23, 2020,17,當(dāng)k=1時(shí)，奈氏曲線通過(-1,j0)點(diǎn)，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,當(dāng)k<1時(shí)，奈氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，R=0， ，所以 ，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,上面討論的奈魁斯特判據(jù)和例子，都是假設(shè)虛軸上沒有開環(huán)極點(diǎn)，即開環(huán)系統(tǒng)都是0型的，這是為了滿足柯西幅角定理的條件。但是對于、型的開環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點(diǎn)）有極點(diǎn)，因此不能使用柯西幅角定理來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問題，需要重構(gòu)奈魁斯特路徑。,作業(yè)：5-6,5-7,5-8,Wednesday, September 23, 2020

12、,18,三、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)在、型系統(tǒng)中的應(yīng)用：,具有開環(huán)0極點(diǎn)系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：,可見，在原點(diǎn)有 重0極點(diǎn)。也就是在s=0點(diǎn)， 不解析，若取奈氏路徑同上時(shí)（通過虛軸的整個(gè)s右半平面），不滿足柯西幅角定理。為了使奈氏路徑不經(jīng)過原點(diǎn)而仍然能包圍整個(gè)s右半平面，重構(gòu)奈氏路徑如下：以原點(diǎn)為圓心，半徑為無窮小做右半圓。這時(shí)的奈氏路徑由以下四部分組成：,Wednesday, September 23, 2020,19,部分：正虛軸， ，部分為半徑為無窮大的右半圓 ； 部分負(fù)虛軸， ，部分為半徑為無窮小的右半圓，,下面討論對于這種奈魁斯特路徑的映射 ：,1、第和

13、第部分：常規(guī)的奈氏圖 ，關(guān)于實(shí)軸對稱； 2、第部分： ， 。假設(shè) 的分母階數(shù)比分子階數(shù)高； 3、第部分： (a)對于型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn) 代入 中得：,Wednesday, September 23, 2020,20,(b)對于型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn) 代入 中得：,,所以這一段的映射為：半徑為 ，角度從 變到 的整個(gè)圓（順時(shí)針）。,,所以這一段的映射為：半徑為 ，角度從 變到 的右半圓。,Wednesday, September 23, 2020,21,結(jié)論用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應(yīng)用于、型系

14、統(tǒng)。,例5-9設(shè)型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。,解：顯然這是1型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線。,從圖上看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，逆時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而 ，故 ，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,Wednesday, September 23, 2020,22,例5-10某型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 如下圖所示，且s右半平面無極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。,解：首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：,從圖上可以看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)兩圈。因 ，所以

15、 ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,Wednesday, September 23, 2020,23,特殊情況：1、若開環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點(diǎn)，這時(shí)應(yīng)將奈氏路徑做相應(yīng)的改變。如下圖：,以極點(diǎn)為圓心，做半徑為無窮小的右半圓，使奈氏路徑不通過虛軸上極點(diǎn)（確保滿足柯西幅角定理?xiàng)l件），但仍能包圍整個(gè)s右半平面。映射情況，由于較復(fù)雜，略。,2、如果開環(huán)頻率特性曲線通過(-1,j0)點(diǎn)，說明閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，閉環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點(diǎn)。,Wednesday, September 23, 2020,24,通常，只畫出 的開環(huán)奈氏圖，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點(diǎn)數(shù)為： 。式中， 為

16、 變化時(shí)，開環(huán)奈氏圖順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。,Wednesday, September 23, 2020,25,注意： 1.包圍臨界點(diǎn)的圈數(shù)R也可以根據(jù)幅相曲線計(jì)算： 設(shè)N為幅相曲線穿越(-1,j0)點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)，N+表示正穿越的次 數(shù)和（從上向下穿越），N-表示負(fù)穿越的次數(shù)和（從下向上穿越）， 則R=2N=2(N+ -N-)。 2.如果系統(tǒng)含有個(gè)積分環(huán)節(jié)，則在幅相曲線=0處逆時(shí)針補(bǔ)作 v/4 圓弧，再計(jì)算N。,（圖a）N- = 1, N+= 0, R= -2N- = -2,Wednesday, September 23, 2020,26,例58 已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線

17、如圖所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán) 穩(wěn)定時(shí)K值的范圍。解: 如圖所示，開環(huán)幅相曲線與負(fù)實(shí)軸有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)處穿越 頻率分別為1,2,3，,Wednesday, September 23, 2020,27,對應(yīng)地，分別取0K3時(shí)，開環(huán)幅相曲線分別如圖 所示，圖中按V補(bǔ)作虛圓弧得半閉合曲線G.,.,,Wednesday, September 23, 2020,28,四、在對數(shù)坐標(biāo)圖上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：,開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖和對數(shù)坐標(biāo)圖（波德圖）有如下的對應(yīng)關(guān)系： 1、極坐標(biāo)圖上單位圓對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖上的零分貝線； 。 2、極坐標(biāo)圖上的負(fù)實(shí)軸對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖上的-180度相位線。,極坐標(biāo)圖頻

18、率特性曲線在 上的正負(fù)穿越在對數(shù)坐標(biāo)圖上的對應(yīng)關(guān)系：在對數(shù)坐標(biāo)圖上 的范圍內(nèi)，當(dāng) 增加時(shí)，相頻特性曲線從下向上穿過-180度相位線稱為正穿越。因?yàn)橄嘟侵翟黾恿?。反之稱為負(fù)穿越。,Wednesday, September 23, 2020,29,對照圖如下：,穿越次數(shù)計(jì)算 正穿越一次：在L（）0時(shí)，（）由下向上穿越-線一次。負(fù)穿越一次：在L（）0時(shí)， （） 由上向下穿越-線一次。正穿越半次：在L（）0時(shí)， （）由下向上止于或由下向上起于-線。 負(fù)穿越半次：在L（）0時(shí)， （）由上向下止于或由下向上起于-線。,如果系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)，需從對數(shù)相頻特性曲線(n-)點(diǎn)起向上補(bǔ)作V1

19、*180的虛直線 至(n)處，由()曲線和補(bǔ)作的虛直線構(gòu)成曲線判斷穿越次數(shù)。,Wednesday, September 23, 2020,30,對數(shù)坐標(biāo)圖上奈氏穩(wěn)定判據(jù)如下：,設(shè)開環(huán)頻率特性 在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P，對數(shù)坐標(biāo)圖上幅頻特性 的所有頻段內(nèi)，當(dāng)頻率增加時(shí)，對數(shù)相頻特性對-180度線的正負(fù)穿越次數(shù)差為 N=N+ - N- ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 若Z0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,Wednesday, September 23, 2020,31,例:利用對數(shù)頻率特性判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,解：作出其開環(huán)對數(shù)頻率特性，如下圖所示。P0，因而該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 由圖可見在L()0的頻域內(nèi)()總大于180，N=0，故閉環(huán) 系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,,Wednesday, September 23, 2020,32,例 利用對數(shù)頻率特性判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,解：作出其開環(huán)對數(shù)頻率特性，如下圖所示。該系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 含有2個(gè)積分環(huán)節(jié),且由00+時(shí),()由0-180，用虛線 繪出相頻特性的增補(bǔ)部分。由圖知L()0dB的頻段上, N+0，N-1，R 2，而P 0，則Z2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,,